В математике , в частности в алгебраической топологии , покрывающая карта (также покрывающая проекция ) является непрерывной функцией из топологического пространства в топологическое пространство так что каждая точка в имеет открытую окрестность равномерно покрыта по(как показано на изображении). [1] В этом случаеназывается накрывающим ибазовое пространство проекции накрытия. Из определения следует, что каждое накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом .
Накрывающие пространства играют важную роль в теории гомотопий , гармоническом анализе , римановой геометрии и дифференциальной топологии . Например, в римановой геометрии ветвление является обобщением понятия покрывающих отображений. Накрывающие пространства также тесно связаны с изучением гомотопических групп и, в частности, фундаментальной группы . Важное применение возникает из-за того, что еслиявляется «достаточно хорошо» топологическое пространство , существует взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех классов изоморфизма из соединенных покрытийи классы сопряженности из подгрупп в фундаментальных группы из.
Формальное определение
Позволять быть топологическим пространством . Накрытие из топологическое пространство вместе с непрерывным сюръективным отображением
такой, что для каждого , существует открытая окрестность из , такое что ( прообраз из под ) является объединением непересекающихся открытых множеств в, каждая из которых гомеоморфно отображается на от . [2] [3]
Эквивалентно площадь покрытия можно определить как пучок волокон с дискретными волокнами.
Карта называется накрытие , [3] пространствочасто называют базовым пространством покрытия, а пространствоназывается общим пространством покрытия. Для любой точки в основе прообраз в обязательно дискретное пространство [3], называемое слоем над.
Особые открытые кварталы из данные в определении называются равномерно покрытыми окрестностями . Равномерно укрытые кварталы образуют открытую обложку пространства.. Гомеоморфные копии в равномерно покрытого квартала называются листами над. Один вообще картинки как "парящий над" , с участием отображение «вниз», листы поверх располагаются горизонтально друг над другом и выше , а волокно над состоящий из тех точек что лежат "вертикально вверху" . В частности, накрывающие карты локально тривиальны. Это означает, что локально каждое накрывающее отображение «изоморфно» проекции в том смысле, что существует гомеоморфизм,, из прообраза, равномерно покрытого квартала, на, гдеявляется слоем, удовлетворяющим локальному условию тривиализации , а именно: если мы спроецируем на , , поэтому композиция проекции с гомеоморфизмом будет карта из прообраза на , то производная композиция будет равно локально (в пределах ).
Альтернативные определения
Многие авторы накладывают на пространства некоторые условия связности. а также в определении покрывающей карты. В частности, многие авторы требуют, чтобы оба пространства были линейно связанными и локально путевыми . [4] [5] Это может оказаться полезным, потому что многие теоремы верны, только если рассматриваемые пространства обладают этими свойствами. Некоторые авторы опускают предположение о сюръективности, поскольку если связан и непусто, то сюръективность накрывающего отображения фактически следует из других аксиом.
Примеры
- Каждое пространство тривиально покрывает себя.
- Связное и локально линейно связное топологическое пространство имеет универсальное покрытие тогда и только тогда, когда оно полулокально односвязно .
- универсальное покрытие круга
- Спина группа двойное покрытие специальной ортогональной группы и универсальное покрытие, когда. Случайные или исключительные изоморфизмы групп Ли затем дают изоморфизмы между спиновыми группами низкой размерности и классическими группами Ли.
- Унитарная группа имеет универсальный чехол .
- Гиперсфера является двойным покрытием реального проективного пространства и является универсальным чехлом для .
- Каждое многообразие имеет ориентируемое двойное покрытие , связное тогда и только тогда, когда многообразие неориентируемо.
- Теорема униформизации утверждает, что каждая риманова поверхность имеет универсальное покрытие, конформно эквивалентное сфере Римана , комплексной плоскости или единичному кругу.
- Универсальный чехол клин. кругах - граф Кэли свободной группы нагенераторы, т.е. решетка Бете .
- Тор представляет собой двойную крышку бутылки Клейна . Это можно увидеть, используя многоугольники для тора и бутылки Клейна и заметив, что двойная крышка круга (встраивание в отправка ).
- Каждый граф имеет двудольное двойное покрытие . Поскольку каждый граф гомотопен клину окружностей, его универсальное покрытие является графом Кэли.
- Каждое погружение с компактного многообразия на многообразие той же размерности является покрытием его образа.
- Другой эффективный инструмент для построения покрывающих пространств - использование факторов по свободным действиям конечной группы.
- Например, пространство определяется как частное от (встроен в ) через -действие . Это пространство, называемое линзовым пространством , имеет фундаментальную группу и имеет универсальную крышку .
- Карта аффинных схем образует закрывающее пространство с как его группа преобразований колоды. Это пример циклического покрытия Галуа .
Характеристики
Общие местные свойства
- Каждая обложка - локальный гомеоморфизм ; [6] то есть для каждого, существует окрестность из с и окрестности из таким образом, что сужение р на U дает гомеоморфизм из U в V . Это означает, что C и X разделяют все локальные свойства. Если Х является односвязной и С связано, то это имеет место во всем мире , а также, и покрытие р есть гомеоморфизм.
- Если а также покрывают карты, то и карта дано . [7]
Гомеоморфизм волокон
Для каждого х в X , слой над й является дискретным подмножеством C . [3] На каждом компоненте связности из X , волокна гомеоморфны.
Если Х соединено, существует дискретное пространство F , что для любого х в Й слой над й является гомеоморфным к F и, кроме того, для каждого х в X найдется окрестность U из й таких , что ее полного прообраза р -1 ( U ) гомеоморфно U × F . В частности, мощность слоя над й равна мощностью Р , и это называется степенью крышки р : C → X . Таким образом, если в каждом слое n элементов, мы говорим о n -кратном покрытии (для случая n = 1 покрытие тривиально; при n = 2 покрытие является двойным ; при n = 3 покрытие есть тройная крышка и так далее).
Подъемные свойства
Если p : C → X - покрытие, γ - путь в X (т. Е. Непрерывное отображение единичного интервала [0, 1] в X ) и c ∈ C - точка, «лежащая над» γ (0) (т. Е. p ( c ) = γ (0)) , то существует единственный путь Γ в C, лежащий над γ (т. е. p ∘ Γ = γ ), такой, что Γ (0) = c . Кривая Γ называется подъемом кривой γ. Если x и y - две точки в X, соединенные путем, то этот путь обеспечивает биекцию между слоем над x и слоем над y через свойство подъема.
В более общем плане , пусть F : Z → X непрерывное отображение на X из пути , подключенного и локально линейно связное пространство Z . Зафиксируем базовую точку z ∈ Z и выберем точку c ∈ C, «лежащую над» f ( z ) (т.е. p ( c ) = f ( z ) ). Тогда существует подъем из F (то есть, непрерывное отображение г : Z → C , для которых р ∘ г = е и г ( г ) = C ) тогда и только тогда , когда эти индуцированные гомоморфизмы F # : π 1 ( Z , г ) → π 1 ( X , f ( z )) и p # : π 1 ( C , c ) → π 1 ( X , f ( z )) на уровне фундаментальных групп удовлетворяют
( ♠ )
Более того, если такой подъем g функции f существует, он единственен.
В частности, если пространство Z предполагается односвязным (так что π 1 ( Z , z ) тривиально), условие (♠) автоматически выполняется, и любое непрерывное отображение из Z в X может быть поднято. Поскольку единичный интервал [0, 1] односвязен, свойство подъема для путей является частным случаем свойства подъема для отображений, указанных выше.
Если p : C → X - покрытие и c ∈ C и x ∈ X таковы, что p ( c ) = x , то p # инъективно на уровне фундаментальных групп и индуцированные гомоморфизмы p # : π n ( C , c ) → π n ( X , x ) - изоморфизмы для всех n ≥ 2 . Оба эти утверждения могут быть выведены из свойства подъема для непрерывных отображений. Сюръективность р # для п ≥ 2 следует из того , что для всех таких п , то п -сферы S п односвязно и , следовательно , каждое непрерывное отображение из S п к X можно поднять до C .
Эквивалентность
Пусть p 1 : C 1 → X и p 2 : C 2 → X - два покрытия. Один говорит , что два покрытия р 1 и р 2 являются эквивалентны , если существует гомеоморфизм р 21 : С 2 → С 1 и такое , что р 2 = р 1 ∘ р 21 . Классы эквивалентности покрытий соответствуют классам сопряженных подгрупп фундаментальной группы из X , как описано ниже. Если p 21 : C 2 → C 1 - покрытие (а не гомеоморфизм) и p 2 = p 1 ∘ p 21 , то говорят, что p 2 доминирует над p 1 .
Покрытие коллектора
Так как покрытия являются локальными гомеоморфизмами , покрытие топологического п - многообразие является п -многообразием. (Можно доказать, что накрывающее пространство счетно до второго, исходя из того факта, что фундаментальная группа многообразия всегда счетна .) Однако пространство, покрытое n -многообразием, может быть нехаусдорфовым многообразием . Например, пусть C будет плоскостью с удаленным началом, а X - фактор-пространством, полученным путем отождествления каждой точки ( x , y ) с (2 x , y / 2) . Если p : C → X - фактор-отображение, то это покрытие, поскольку действие Z на C, порожденное f ( x , y ) = (2 x , y / 2) , собственно разрывно . Точки р (1, 0) и р (0, 1) не имеют непересекающиеся окрестности в X .
Любое накрывающее пространство дифференцируемого многообразия может быть оснащено (естественной) дифференцируемой структурой, которая превращает p (рассматриваемое накрывающее отображение) в локальный диффеоморфизм - отображение с постоянным рангом n .
Универсальные чехлы
Покрытие - это универсальное покрытие, если оно односвязно . Название универсальное покрытие происходит от следующего важного свойства: если отображение q : D → X является универсальным покрытием пространства X, а отображение p : C → X является любым покрытием пространства X, где накрытие C связно, то существует накрывающее отображение f : D → C такое, что p ∘ f = q . Это можно сформулировать как
Универсальное покрытие (пространства X ) покрывает любое связное покрытие (пространства X ).
Отображение f уникально в следующем смысле: если мы зафиксируем точку x в пространстве X и точку d в пространстве D с q ( d ) = x и точку c в пространстве C с p ( c ) = x , то существует единственное накрывающее отображение f : D → C такое, что p ∘ f = q и f ( d ) = c .
Если пространство X имеет универсальное покрытие, то это универсальное покрытие существенно уникально: если отображения q 1 : D 1 → X и q 2 : D 2 → X являются двумя универсальными покрытиями пространства X, то существует гомеоморфизм f : D 1 → D 2 такой, что q 2 ∘ f = q 1 .
Пространство X имеет универсальную оболочку, если оно связно , локально линейно связно и полулокально односвязно . Универсальное покрытие пространства X можно построить как некое пространство траекторий в пространстве X . Более явно, оно образует главное расслоение с фундаментальной группой π 1 ( X ) в качестве структурной группы.
Приведенный выше пример R → S 1 является универсальной крышкой. Карта S 3 → SO (3) от единичных кватернионов до вращений трехмерного пространства, описанных в кватернионах и пространственном вращении , также является универсальным покрытием.
Если пространство несет некоторую дополнительную структуру, то ее универсальное покрытие обычно наследует эту структуру:
- Если пространство - многообразие , то универсальная накрывающая D - тоже .
- Если пространство является римановой поверхностью , то ее универсальная накрывающая D тоже , иявляется голоморфным отображением.
- Если пространство является римановым многообразием , то также и его универсальное покрытие, иявляется локальной изометрией .
- Если пространство является лоренцевым многообразием , то его универсальная накрывающая тоже. Кроме того, предположим, что подмножество p − 1 ( U ) представляет собой несвязное объединение открытых множеств, каждое из которых диффеоморфно U посредством отображения. Если пространствосодержит замкнутую времениподобную кривую (СТК), то пространствоявляется времениподобным многосвязным (ни один СТС не может быть времениподобным гомотопным точке, поскольку эта точка не будет каузально хорошо поведена), его универсальное (диффеоморфное) покрытие времениподобно односвязно (оно не содержит СТК).
- Если X - группа Ли (как в двух приведенных выше примерах), то также и ее универсальное покрытие D , а отображение p является гомоморфизмом групп Ли. В этом случае универсальное покрытие также называется универсальной накрывающей группой . Это имеет особое приложение к теории представлений и квантовой механике , поскольку обычные представления универсальной накрывающей группы ( D ) являются проективными представлениями исходной (классической) группы ( X ).
Универсальная оболочка впервые возникла в теории аналитических функций как естественная область аналитического продолжения .
G-покрытия
Пусть G является дискретной группа действует на топологическом пространстве X . Это означает , что каждый элемент г из G ассоциируется с гомеоморфизм Н г из X на себя, таким образом , что Н г ч всегда равна Н г ∘ Н ч для любых двух элементов г и ч из G . (Или, другими словами, группа действие группы G на пространстве X это просто группа гомоморфизм группы G в группу Homeo ( X ) из автогомеоморфизмов X .) Естественно спросить , при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует как ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.
Однако группа G действительно действует на фундаментальном группоиде X , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоидах, и соответствующие группоиды орбит . Теория этого изложена в главе 11 книги « Топология и группоиды», упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X, допускающем универсальное покрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен группоиду орбит фундаментального группоида X , т. Е. Фактор- группоиду. из этого группоида под действием группы G . Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.
Группа преобразований палубы (покрытия), регулярные покрытия
Покрытия преобразования или палубы преобразование или автоморфизм крышкиявляется гомеоморфизм такой, что . Набор всех преобразований колодыобразует группу по композиции , группа преобразования колоды . Преобразования колоды также называются покрывающими преобразованиями . Каждое преобразование колоды переставляет элементы каждого слоя. Это определяет групповое действие группы преобразований колоды на каждом слое. Обратите внимание, что благодаря уникальному свойству подъема, если это не личность и связан ли путь, тогда не имеет фиксированных точек .
Теперь предположим покрывающая карта и (и, следовательно, также ) связно и локально путево связано. Действиена каждом волокне бесплатно . Если это действие транзитивно на некотором слое, то оно транзитивно на всех слоях, и мы называем покрытие регулярным (или нормальным, или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является основным грамм {\ displaystyle G} -бандл , где рассматривается как дискретная топологическая группа.
Каждый универсальный чехол регулярна, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе .
В качестве еще одного важного примера рассмотрим комплексная плоскость и комплексная плоскость минус начало координат. Тогда карта с участием это обычная обложка. Преобразования колоды - это умножения на-корни степени из единицы, поэтому группа преобразований деки изоморфна циклической группе . Точно так же карта с участием универсальный чехол.
Монодромия действие
Снова предположим является накрывающим отображением, а C (а значит, и X ) связно и локально линейно связно. Если x принадлежит X и c принадлежит слою над x (т. Е.), а также это путь с , то этот путь поднимается до единственного пути в C с начальной точкой c . Конечная точка этого поднятого пути не обязательно должна быть c , но она должна лежать в слое над x . Оказывается, этот конец зависит только от класса γ в фундаментальной группе π 1 ( X , x ) . Таким способом мы получаем правильную группу действия из П 1 ( X , х ) на слое над й . Это известно как действие монодромии .
На слое над x действуют два действия : Aut ( p ) действует слева, а π 1 ( X , x ) действует справа. Эти два действия совместимы в следующем смысле:для всех f в Aut ( p ), c в p −1 ( x ) и γ в π 1 ( X , x ) .
Если р является универсальной крышкой, то Aut ( р ) может быть естественным образом идентифицирован с противоположной группой из п 1 ( Х , х ) , так что левое действие противоположной группы П 1 ( Х , х ) совпадает с действием Aut ( p ) на слое над x . Заметим, что Aut ( p ) и π 1 ( X , x ) естественно изоморфны в этом случае (поскольку группа всегда естественно изоморфна своей противоположности через g ↦ g −1 ) .
Если p - регулярное покрытие, то Aut ( p ) естественно изоморфно частному от π 1 ( X , x ) .
В общем случае (для хороших пространств), Аи ( р ) естественно изоморфно частное от нормализатора из р * ( π 1 ( С , с )) в П 1 ( Х , х ) над р * ( П 1 ( C , c )) , где p ( c ) = x .
Подробнее о структуре группы
Пусть p : C → X - накрывающее отображение, где X и C линейно связны. Пусть x ∈ X - базовая точка X и c ∈ C - один из его прообразов в C , то есть p ( c ) = x . Существует индуцированный гомоморфизм из фундаментальной группы р # : л 1 ( C , C ) → л 1 ( Х , х ) , который является инъективны подъемным свойством покрытий. В частности , если & gamma представляет собой замкнутую петлю в C таким образом, что р # ([ & gamma ]) = 1 , то есть р ∘ & gamma есть нуль-гомотопны в X , то рассмотрим нуль-гомотопию р ∘ Г как отображение F : D 2 → X с 2-диска D 2 на X такое, что ограничение f на границу S 1 круга D 2 равно p ∘ γ . По свойству подъема отображение f поднимается до непрерывного отображения g : D 2 → C такое, что ограничение g на границу S 1 области D 2 равно γ . Таким образом, γ является нуль-гомотопно в C , так что ядро из р # : л 1 ( С , с ) → л 1 ( Х , х ) тривиален и , следовательно , р # : л 1 ( С , с ) → л 1 ( X , x ) - инъективный гомоморфизм.
Следовательно, π 1 ( C , c ) изоморфна подгруппе p # ( π 1 ( C , c )) группы π 1 ( X , x ) . Если с 1 ∈ C является еще прообраз х в С , то подгруппа р # ( π 1 ( C , гр )) и р # ( π 1 ( C , C 1 )) являются сопряженными в П 1 ( Х , х ) с помощью р -image кривой в C , соединяющей гр с с 1 . Таким образом, накрывающее отображение p : C → X определяет класс сопряженных подгрупп в π 1 ( X , x ), и можно показать, что эквивалентные покрытия X определяют один и тот же класс сопряженных подгрупп в π 1 ( X , x ) .
Можно видеть, что для покрытия p : C → X группа p # ( π 1 ( C , c )) равна
множество гомотопических классов тех замкнутых кривых γ, базирующихся в x, чьи подъемы γ C в C , начиная с c , являются замкнутыми кривыми в c . Если X и C линейно связны, степень покрытия p (то есть мощность любого слоя p ) равна индексу [ π 1 ( X , x ): p # ( π 1 ( C , c )) ] подгруппы p # ( π 1 ( C , c )) в π 1 ( X , x ) .
Ключевой результат теории покрывающих пространств гласит, что для «достаточно хорошего» пространства X (а именно, если X линейно связно, локально линейно связно и полулокально односвязно ) на самом деле существует биекция между классами эквивалентности путей -связные накрытия X и классы сопряженности подгрупп фундаментальной группы π 1 ( X , x ) . Основным шагом в доказательстве этого результата является установление существования универсального покрытия, то есть покрытия, соответствующего тривиальной подгруппе в π 1 ( X , x ) . После того, как существование универсальной накрывающей С из X устанавливается, если H ≤ π 1 ( X , х ) произвольная подгруппа, пространство С / Н является покрытие X , соответствующее H . Также необходимо проверить, что два покрытия X, соответствующие одной и той же (классу сопряженности) подгруппе группы π 1 ( X , x ) , эквивалентны. Связные клеточные комплексы и связные многообразия являются примерами «достаточно хороших» пространств.
Пусть N ( Γ p ) - нормализатор Γ p в π 1 ( X , x ) . Группа преобразований колоды Aut ( p ) изоморфна фактор-группе N (Γ p ) / Γ p . Если p - универсальное покрытие, то Γ p - тривиальная группа , а Aut ( p ) изоморфна π 1 ( X ).
Давайте обратим этот аргумент. Пусть N будет нормальная подгруппа из П 1 ( Х , х ) . В силу сказанного выше аргументов, это определяет (обычный) , охватывающий р : С → Х . Пусть c 1 в C находится в слое x . Тогда для любого другого c 2 в слое x существует ровно одно преобразование колоды, переводящее c 1 в c 2 . Это преобразование колоды соответствует кривой g в C, соединяющей c 1 с c 2 .
Отношения с группоидами
Один из способов выражения алгебраического содержания теории накрывающих пространств - использование группоидов и фундаментального группоида . Последний функтор дает эквивалентность категорий
между категорией накрывающих пространств достаточно хорошего пространства X и категорией группоидных накрывающих морфизмов π 1 ( X ). Таким образом, определенный вид карты пространств хорошо моделируется определенным видом морфизма группоидов. Категория покрывающих морфизмов группоида G также эквивалентна категории действий G на множествах, и это позволяет восстановить более традиционные классификации покрытий.
Отношения с классифицирующими пространствами и когомологиями групп
Если Х является связным клеточным комплексом с гомотопических группами П п ( Х ) = 0 для все п ≥ 2 , то универсальное накрытие пространства Т из X является сжимаемым, как следует из применения теоремы Уайтхед к Т . В этом случае X - классифицирующее пространство или K ( G , 1) для G = π 1 ( X ) .
Кроме того, для каждого п ≥ 0 группы сотового п -цепи С п ( Т ) (то есть свободная абелева группа с базисом задается п -клеток в Т ) также имеет естественную Z G - модуль структуру. Здесь для n -клетки σ в T и для g в G клетка g σ является в точности сдвигом σ накрывающим преобразованием T, соответствующим g . Кроме того, С п ( Т ) является свободным Z G - модуль со свободным Z G -базиса от представителя G -орбит из п -клеток в Т . В этом случае стандартный топологический цепной комплекс
где ε является увеличение карты , является свободным Z G -Разрешение из Z (где Z оснащен тривиальным Z G - модуль структурой, GM = т для каждого г ∈ G и любой м ∈ Z ). Это разрешение можно использовать для вычисления групповых когомологий группы G с произвольными коэффициентами.
Метод Грэма Эллиса для вычисления групповых разрешений и других аспектов гомологической алгебры, как показано в его статье в J. Symbolic Comp. и его веб-страница, указанная ниже, предназначена для индуктивного построения универсального покрытия предполагаемого K ( G , 1) одновременно с сжимающейся гомотопией этого универсального покрытия. Именно последний дает вычислительный метод.
Обобщения
В качестве теории гомотопии понятие покрывающих пространств хорошо работает, когда группа преобразований колоды дискретна или, что то же самое, когда пространство локально линейно связно . Однако, когда группа преобразований колоды является топологической группой с недискретной топологией , возникают трудности. Некоторый прогресс был достигнут в создании более сложных пространств, таких как гавайская серьга ; см. ссылки там для получения дополнительной информации.
Некоторые из этих трудностей решаются с понятием semicovering из - за Джереми Бразас, см цитируемой ниже. Каждое накрывающее отображение является полупокрытием, но полупокрытие удовлетворяет правилу «2 из 3»: если задана композиция h = fg отображений пространств, если две карты являются полупокрытиями, то третье тоже. Это правило не выполняется для покрытий, так как композиция покрывающих карт не обязательно должна быть покрывающей картой.
Другое обобщение относится к действиям группы, которые не являются бесплатными. Росс Геогеган в своем обзоре 1986 года ( MR 0760769 ) двух работ М.А. Армстронга о фундаментальных группах пространств орбит писал: «Эти две статьи показывают, какие части теории элементарных накрывающих пространств переходят из свободного в несвободный случай. своего рода базовый материал, который должен был быть в стандартных учебниках по фундаментальным группам в течение последних пятидесяти лет ». В настоящее время «Топология и группоиды», перечисленные ниже, по-видимому, являются единственным основным текстом по топологии, охватывающим такие результаты.
Приложения
Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в картах на SO (3) , группе вращений . Эта группа широко встречается в инженерии из-за того, что трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO (3) - это вещественное проективное пространство RP 3 с фундаментальной группой Z / 2 и единственным (нетривиальным) накрывающим пространством гиперсфера S 3 , которая является группой Spin (3) и представлена единичными кватернионами . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом для представления пространственного вращения - см. Кватернионы и пространственное вращение .
Однако, часто желательно представлять ротацию набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (в многочисленных вариантах), и потому , что это концептуально проще для кого - то знакомого с планарным вращением, и потому , что можно построить комбинацию из трех кардановых в производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T 3 трех углов в реальное проективное пространство RP 3 вращений, и результирующее отображение имеет недостатки из-за того, что это отображение не может быть покрывающим отображением. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой кардана и демонстрируется на анимации справа - в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что только 2 измерения вращения могут быть реализованы из этой точки, изменяя углы. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрытия.
Смотрите также
- Решетка Бете - это универсальное покрытие графа Кэли.
- Покрывающий граф , накрывающее пространство для неориентированного графа и его частный случай двудольное двойное покрытие
- Группа покрытия
- Связь Галуа
- Факторное пространство (топология)
Заметки
- ^ Spanier 1994 , стр. 62
- ^ a b c d Munkres 2000 , стр. 336
- ^ Лизкориш (1997). Введение в теорию узлов . С. 66–67.
- ^ Бредон, Глен (1997). Топология и геометрия . ISBN 978-0387979267.
- ^ Манкрес 2000 , стр. 338
- ^ Манкрес 2000 , стр. 339, теорема 53.3
Рекомендации
- Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Чарльстон, С. Каролина: ООО «Буксурдж». ISBN 1-4196-2722-8. См. Главу 10.
- Чернавский А.В. (2001) [1994], "Покрытие" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Farkas, Hershel M .; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90465-4. См. Главу 1 для простого обзора.
- Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.
- Хиггинс, Филип Дж. (1971). Примечания к категориям и группоидам . Математические исследования. 32 . Лондон-Нью-Йорк-Мельбурн: Ван Ностранд Рейнхольд. Руководство по ремонту 0327946 .
- Йост, Юрген (2002). Компактные римановы поверхности . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-43299-X. См. Раздел 1.3
- Мэсси, Уильям (1991). Базовый курс алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97430-X. См. Главу 5.
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0131816292.
- Бразас, Джереми (2012). «Полупокрытия: обобщение теории накрытий». Гомологии, гомотопии и приложения . 14 (1): 33–63. arXiv : 1108.3021 . DOI : 10.4310 / HHA.2012.v14.n1.a3 . Руководство по ремонту 2954666 . S2CID 55921193 .
- Эллис, Грэм. «Программирование гомологической алгебры» .
- Эллис, Грэм (2004). «Вычислительные групповые резолюции». Журнал символических вычислений . 38 (3): 1077–1118. DOI : 10.1016 / j.jsc.2004.03.003 .
- Спаниер, Эдвин (1994) [1966]. Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.