Ожидаемый дефицит

Ожидаемый дефицит ( ES ) - это мера риска - концепция, используемая в области измерения финансового риска для оценки рыночного риска или кредитного риска портфеля. «Ожидаемый дефицит на уровне q%» - это ожидаемая доходность портфеля в худшем случае. ES - это альтернатива стоимости, подверженной риску, которая более чувствительна к форме хвоста распределения убытков.${\ displaystyle q \%}$

Ожидаемый дефицит также называется условной величиной риска ( CVaR ) ^[1], средней величиной риска ( AVaR ), ожидаемой потерей хвоста ( ETL ) и суперквантилем . ^[2]

ES оценивает риск инвестиций консервативно, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При высоких значениях он игнорирует наиболее прибыльные, но маловероятные возможности, а при малых значениях он фокусируется на худших потерях. С другой стороны, в отличие от дисконтированного максимального убытка , даже для более низких значений ожидаемого дефицита не учитывается только единственный наиболее катастрофический исход. На практике часто используется значение 5%. ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

Ожидаемый дефицит считается более полезной мерой риска , чем VaR , поскольку она является когерентным , и притом спектральная , мера риска финансового портфеля. Он рассчитывается для данного квантильных -й и определяется как средняя потеря портфеля стоимости , учитывая , что потеря происходит на уровне или ниже -quantile.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

Формальное определение [ править ]

Если ( пространство Lp ) является выплатой портфеля в какое-то время в будущем, и тогда мы определяем ожидаемый дефицит как${\ Displaystyle X \ в L ^ {p} ({\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle 0 <\ альфа <1}$

${\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (X) \, d \ gamma}$

где - стоимость, подверженная риску . Это может быть эквивалентно записано как${\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ left (\ operatorname {E} [X \ 1 _ {\ {X \ leq x _ {\ alpha} \}}] + x _ {\ alpha} (\ alpha -P [X \ leq x _ {\ alpha}]) \ right)}$

где находится нижний - квантиль и является функцией индикатора . ^[3] Двойственное представление${\ displaystyle x _ {\ alpha} = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: P (X \ leq x) \ geq \ alpha \}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

где - множество вероятностных мер, которые абсолютно непрерывны по отношению к физической мере , так что почти наверняка . ^[4] Обратите внимание, что это производная Радона – Никодима от по .${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Ожидаемый недостаток можно обобщить на общий класс когерентных мер риска на пространствах (пространство Lp ) с соответствующей дуальной характеризацией в соответствующем двойственном пространстве . Домен может быть расширен для более общих Orlicz Hearts. ^[5]${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{q}}$

Если базовое распределение для является непрерывным распределением, то ожидаемый дефицит эквивалентен хвостовому условному ожиданию, определяемому как . ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

Неформально и не строго, это уравнение сводится к тому, чтобы сказать: «В случае потерь настолько серьезных, что они происходят только в альфа-процентах случаев, каковы наши средние потери».

Ожидаемый дефицит также может быть записан как мера риска искажения, заданная функцией искажения.

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[7] [8]}

Примеры [ править ]

Пример 1. Если мы полагаем, что наш средний убыток на худших 5% возможных исходов для нашего портфеля составляет 1000 евро, то мы можем сказать, что наш ожидаемый дефицит составляет 1000 евро для хвоста 5%.

Пример 2. Рассмотрим портфель, который будет иметь следующие возможные значения в конце периода:

вероятность	конечное значение
события	портфолио
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Теперь предположим, что мы заплатили 100 в начале периода за этот портфель. Тогда прибыль в каждом случае будет ( конечное значение −100) или:

вероятность
события	выгода
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

Из этой таблицы давайте рассчитаем ожидаемый дефицит для нескольких значений :${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle q}$	ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46. 6
40%	40
50%	32
60%	26. 6
80%	20
90%	12. 2
100%	6

Чтобы увидеть, как были рассчитаны эти значения, рассмотрим расчет ожидания в 5% худших случаев. Эти случаи принадлежат (являются подмножеством ) строки 1 в таблице прибыли, которая имеет прибыль -100 (общий убыток из 100 вложенных). Ожидаемая прибыль для этих случаев - 100.${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

Теперь рассмотрим расчет ожидания в худших 20 случаях из 100. Это следующие варианты: 10 случаев из первой строки и 10 случаев из второй строки (обратите внимание, что 10 + 10 равняются желаемым 20 случаям). Для строки 1 прибыль составляет −100, а для строки 2 - −20. Используя формулу ожидаемого значения, получаем${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

Аналогично для любого значения . Мы выбираем столько строк, начиная сверху, сколько необходимо, чтобы получить кумулятивную вероятность, а затем вычисляем математическое ожидание по этим случаям. Как правило, последняя выбранная строка может использоваться не полностью (например, при вычислении мы использовали только 10 из 30 случаев на 100, предоставленных строкой 2).${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

В качестве последнего примера вычислим . Это ожидание во всех случаях, или${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

Значение риска (VaR) приводится ниже для сравнения.

${\displaystyle q}$	${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$
${\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$	−100
${\displaystyle 10\%\leq q<40\%}$	−20
${\displaystyle 40\%\leq q<80\%}$	0
${\displaystyle 80\%\leq q\leq 100\%}$	50

Свойства [ править ]

Ожидаемый дефицит увеличивается с уменьшением.${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

100% -ный квантильный ожидаемый дефицит равен отрицательному значению ожидаемой стоимости портфеля.${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

Для данного портфеля ожидаемый дефицит больше или равен стоимости, подверженной риску на том же уровне.${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$${\displaystyle q}$

Оптимизация ожидаемого дефицита [ править ]

Ожидаемый недостаток в его стандартной форме, как известно, приводит к обычно невыпуклой проблеме оптимизации. Однако можно преобразовать задачу в линейную программу и найти глобальное решение. ^[9] Это свойство делает ожидаемый дефицит краеугольным камнем альтернатив оптимизации портфеля со средней дисперсией , которая учитывает более высокие моменты (например, асимметрию и эксцесс) распределения доходности.

Предположим, мы хотим минимизировать ожидаемый дефицит портфеля. Ключевым вкладом Рокафеллара и Урясева в их статье 2000 года является введение вспомогательной функции для ожидаемого дефицита:${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$

Где и - функция потерь для набора весов портфеля , применяемого к доходности. Рокафеллар / Uryasev доказал , что является выпуклым относительно и эквивалентен ожидаемым дефицитом в точке минимума. Чтобы численно вычислить ожидаемый дефицит для набора доходностей портфеля, необходимо сгенерировать моделирование составляющих портфеля; это часто делается с помощью связок . С помощью этого моделирования вспомогательная функция может быть аппроксимирована следующим образом:${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \ell (w,x)}$${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J}$Это эквивалентно формулировке:Наконец, выбор линейной функции потерь превращает задачу оптимизации в линейную программу. Затем, используя стандартные методы, легко найти портфель, который минимизирует ожидаемый дефицит.${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

Формулы для непрерывных распределений вероятностей [ править ]

Существуют закрытые формулы для расчета ожидаемого дефицита, когда выплата по портфелю или соответствующий убыток следует определенному непрерывному распределению. В первом случае ожидаемый дефицит соответствует противоположному числу условного ожидания левого хвоста ниже :${\displaystyle X}$${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

Типичные значения в этом случае составляют 5% и 1%.${\textstyle \alpha }$

Для инженерных или актуарных приложений обычно рассматривают распределение потерь , ожидаемый дефицит в этом случае соответствует условному ожиданию правого хвоста выше, а типичные значения составляют 95% и 99%:${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

Поскольку некоторые формулы, приведенные ниже, были получены для случая левого хвоста, а некоторые - для случая правого хвоста, следующие согласования могут быть полезны:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

Нормальное распределение [ править ]

Если доходность портфеля следует нормальному (гауссовскому) распределению с pdf, то ожидаемый дефицит равен , где - стандартный нормальный pdf, - стандартный нормальный cdf, стандартный нормальный квантиль. ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Если убыток портфеля соответствует нормальному распределению, ожидаемый дефицит равен . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Обобщенное t-распределение Стьюдента [ править ]

Если доходность портфеля соответствует обобщенному t-распределению Стьюдента с pdf, то ожидаемый дефицит равен , где - стандартное t-распределение pdf, - стандартное t-распределение cdf, то же самое - квантиль стандартного t-распределения. ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

Если потеря портфеля соответствует обобщенному t-распределению Стьюдента, ожидаемый дефицит равен . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Распределение Лапласа [ править ]

Если выплата портфеля соответствует распределению Лапласа с pdf${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

и cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

тогда ожидаемый дефицит равен для . ^[10]${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

Если убыток портфеля соответствует распределению Лапласа, ожидаемый дефицит равен${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}\quad }$^[11]

Логистическая дистрибуция [ править ]

Если доходность портфеля соответствует логистическому распределению с pdf и cdf, то ожидаемый дефицит равен . ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$${\displaystyle F(x)={\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

Если потеря портфеля следует за логистическим распределением , ожидаемый дефицит равен . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

Экспоненциальное распределение [ править ]

Если убыток портфеля следует экспоненциальному распределению с PDF и cdf, то ожидаемый дефицит равен . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

Распределение Парето [ править ]

Если потеря портфеля следует за распределением Парето с pdf и cdf, то ожидаемый дефицит равен . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

Обобщенное распределение Парето (GPD) [ править ]

Если потеря портфеля следует за GPD с pdf${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}{\Bigl (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Bigr )}^{{\bigl (}-{\frac {1}{\xi }}-1{\bigr )}}}$

и cdf

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\Big (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp {\bigl (}-{\frac {x-\mu }{s}}{\bigr )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

тогда ожидаемый дефицит равен

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\Bigl [}{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

а VaR равен

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}\quad }$^[11]

Распределение Вейбулла [ править ]

Если потеря портфеля соответствует распределению Вейбулла с PDF и CDF, то ожидаемый дефицит равен , где - верхняя неполная гамма-функция . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big )}^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma {\Big (}1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha ){\Big )}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV) [ править ]

Если выигрыш портфеля следует за GEV с pdf и cdf, тогда ожидаемый дефицит равен, а VaR равен , где - верхняя неполная гамма-функция , - логарифмическая интегральная функция . ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp {\Bigl [}-{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}-{\big (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp {\Big (}-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}{\big [}(-\ln \alpha )^{-\xi }-1{\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$${\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

Если убыток портфеля следует за GEV , то ожидаемый дефицит равен , где - нижняя неполная гамма-функция , - константа Эйлера-Маскерони . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\big [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\big [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle y}$

Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS) [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению GHS с pdf и cdf, то ожидаемый дефицит равен , где - функция Спенса , - мнимая единица. ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} ({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan {\Big [}\exp {\Big (}{\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln {\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i{\Big [}{\text{Li}}_{2}{\Big (}-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-\operatorname {Li} _{2}{\Big (}i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

SU-распределение Джонсона [ править ]

Если доходность портфеля соответствует SU-распределению Джонсона с cdf, то ожидаемый дефицит равен , где cdf стандартного нормального распределения. ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)=\Phi {\Big [}\gamma +\delta \sinh ^{-1}{\Big (}{\frac {x-\xi }{\lambda }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}{\Big [}\exp {\Big (}{\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}{\Big )}-\exp {\Big (}{\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \Phi }$

Распределение заусенцев типа XII [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению типа XII Берра с pdf и cdf , ожидаемый дефицит равен , где - гипергеометрическая функция . В качестве альтернативы . ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=1-{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1/c}{\Big [}\alpha -1+{_{2}F_{1}}{\Big (}{\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}}$

Распределение Dagum [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению Дагума с pdf и cdf , ожидаемый дефицит равен , где - гипергеометрическая функция . ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{ck-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)={\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{-c}{\Big ]}^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}{\Big (}\alpha ^{-1/k}-1{\Big )}^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}{\Big )}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Логнормальное распределение [ править ]

Если доходность портфеля следует логнормальному распределению , т. Е. Случайная величина следует нормальному распределению с pdf , тогда ожидаемый дефицит равен , где - стандартный нормальный cdf, а также стандартный нормальный квантиль. ^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp {\Bigl (}\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\Bigr )}{\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Логистическая дистрибуция [ править ]

Если выигрыш портфеля следует лог-логистическое распределение , т.е. случайная величина следует логистическое распределение с PDF , то ожидаемый дефицит равен , где это регуляризованная неполная бета - функция , .${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$${\displaystyle I_{\alpha }}$${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

Как неполная бета - функция определена только для положительных аргументов, для более общем случае ожидаемого дефицит может быть выражен с гипергеометрической функцией : . ^[14]${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

Если потеря портфеля следует за лог-логистическим распределением с pdf и cdf , то ожидаемый дефицит равен , где - неполная бета-функция . ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}{\Bigl [}{\frac {\pi }{b}}\csc {\Bigl (}{\frac {\pi }{b}}{\Bigr )}-\mathrm {B} _{\alpha }{\Bigl (}{\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$${\displaystyle B_{\alpha }}$

Распределение Лог-Лапласа [ править ]

Если доходность портфеля соответствует логарифмическому распределению Лапласа , т. Е. Случайная величина следует распределению Лапласа в pdf , то ожидаемый дефицит равен . ^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}{\big [}(1-\alpha )^{(1-b)}-1{\big ]}&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$

Распределение лог-обобщенного гиперболического секанса (log-GHS) [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению log-GHS, т. Е. Случайная величина следует распределению GHS с pdf , то ожидаемый дефицит равен , где - гипергеометрическая функция . ^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} ({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}{\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}{\Big )}^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan {\big (}{\frac {\pi \alpha }{2}}{\big )}^{2}{\Big )}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Ожидаемый динамический дефицит [ править ]

Условная версия ожидаемого дефицита в момент времени т определяется

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

где . ^{[15] [16]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\}}$

Это не временная мера риска. Согласованная по времени версия дается формулой

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

такой, что

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$^[17]

См. Также [ править ]

• Согласованная мера риска
• EMP для стохастического программирования - технология решения задач оптимизации с участием ES и VaR
• Энтропийная ценность под угрозой
• Ценность под угрозой

Методы статистической оценки VaR и ES можно найти в Embrechts et al. ^[18] и Новак. ^[19] При прогнозировании VaR и ES или оптимизации портфелей для минимизации хвостового риска важно учитывать асимметричную зависимость и ненормальности в распределении доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс. ^[20]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Урясев: Оптимизация условной стоимости под риском, 2000.
• К. Ачерби и Д. Таше: о согласованности ожидаемого дефицита, 2002.
• Рокафеллар, Урясев: Условная стоимость под риском для распределения общих убытков, 2002.
• Ачерби: Спектральные меры риска, 2005 г.
• Оптимальные портфели Phi-Alpha и экстремальное управление рисками, Best of Wilmott, 2003
• CTAC Антуан