Мера риска

В финансовой математике показатель риска используется для определения суммы актива или набора активов (традиционно валюты ), которые должны храниться в резерве. Цель этого резерва - сделать риски, принимаемые на себя финансовыми учреждениями , такими как банки и страховые компании, приемлемыми для регулирующего органа . В последние годы внимание переключилось на выпуклую и последовательную оценку рисков .

Математически [ править ]

Мера риска определяется как отображение набора случайных величин в действительные числа. Этот набор случайных величин представляет доходность портфеля. Общепринятое обозначение меры риска, связанного со случайной величиной, - . Мера риска должна обладать определенными свойствами: ^[1]${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ rho (X)}$${\ Displaystyle \ rho: {\ mathcal {L}} \ to \ mathbb {R} \ чашка \ {+ \ infty \}}$

Нормализованный

${\ Displaystyle \ rho (0) = 0}$

Переводчик

${\displaystyle \mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a}$

Монотонный

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}$

Установленное значение [ править ]

В ситуации с портфелями с оценкой стоимости, когда риск может быть измерен по активам, набор портфелей является правильным способом изобразить риск. Установленные меры риска полезны для рынков с транзакционными издержками . ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle m\leq d}$

Математически [ править ]

Многозначная мера риски является функцией , где есть -мерное Lp пространство , и где постоянная Платежеспособность конус и есть множество портфелей ссылочных активов. должны иметь следующие свойства: ^[3]${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$${\displaystyle L_{d}^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$

Нормализованный

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

Переводчик на M

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Монотонный

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Примеры [ править ]

• Ценность под угрозой
• Ожидаемый дефицит
• Дополнительные меры риска ^[4]
• Энтропийная ценность под угрозой
• Просадка
• Условное ожидание хвоста
• Мера энтропийного риска
• Цена суперхеджирования
• Expectile

Дисперсия [ править ]

Дисперсия (или стандартное отклонение ) не является мерой риска в указанном выше смысле. Это видно, поскольку у него нет ни свойства перевода, ни монотонности. То есть для всех и простой контрпример монотонности можно найти. Стандартное отклонение - это мера риска отклонения . Чтобы избежать путаницы, обратите внимание, что меры риска отклонения, такие как дисперсия и стандартное отклонение , иногда называют мерами риска в разных областях.${\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Отношение к набору приемки [ править ]

Между приемочным набором и соответствующей мерой риска существует взаимно однозначное соответствие . Как определено ниже, можно показать, что и . ^[5]${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

Набор мер риска для принятия [ править ]

• Если - (скалярная) мера риска, то это набор приемлемости.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• Если - установленная мера риска, то это приемочный набор.${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

Принятие установлено для меры риска [ править ]

• Если - набор приемлемости (в 1-d), то определяет (скалярную) меру риска.${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• Если - приемочный набор, то это установленная мера риска.${\displaystyle A}$${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

Связь с мерой риска отклонения [ править ]

Между мерой риска отклонения D и мерой риска, ограниченным ожиданиями, существует взаимно однозначная связь, где для любого ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

${\displaystyle \rho }$называется ожидание ограниченной , если она удовлетворяет условию для любого непостоянного X и для любой константы X . ^[6]${\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}$${\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}$

См. Также [ править ]

• Согласованная мера риска
• Мера динамического риска
• Учет управленческих рисков
• Управление рисками
• Метрика риска - абстрактное понятие, которое количественно оценивает мера риска.
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Мера спектрального риска
• Мера риска искажения
• Ценность под угрозой
• Условная стоимость, подверженная риску
• Энтропийная ценность под угрозой
• Коэффициент доходности риска

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кроухи, Мишель; Д. Галаи; Р. Марк (2001). Управление рисками . Макгроу-Хилл . С. 752 стр. ISBN 978-0-07-135731-9.
• Кевин, Дауд (2005). Измерение рыночного риска (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 410 стр. ISBN 978-0-470-01303-8.

• Foellmer, Ганс; Щид, Александр (2004). Стохастические финансы . Серия де Грюйтера по математике. 27 . Берлин: Вальтер де Грюйтер . С. xi + 459. ISBN 978-311-0183467. Руководство по ремонту  2169807 .
• Шапиро, Александр; Дентчева, Даринка; Рущинский, Анджей (2009). Лекции по стохастическому программированию. Моделирование и теория . Серия MPS / SIAM по оптимизации. 9 . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики . С. xvi + 436. ISBN 978-0898716870. Руководство по ремонту  2562798 .