Хвостовая стоимость под угрозой

Хвостовое значение риска ( TVaR ), также известное как хвостовое условное ожидание ( TCE ) или условное хвостовое ожидание ( CTE ), является мерой риска, связанной с более общим значением в риске . Он количественно оценивает ожидаемую величину убытка с учетом того, что произошло событие за пределами заданного уровня вероятности.

Фон [ править ]

В литературе есть ряд связанных, но несколько отличающихся друг от друга формулировок TVaR. В литературе распространен случай, когда TVaR и среднее значение риска являются одним и тем же критерием. ^[1] В некоторых составах, это эквивалентно только ожидаемый дефицит , когда основная функция распределения является непрерывной в , значение риски уровня . ^[2] При некоторых других настройках TVaR - это условное ожидание убытка, превышающего заданное значение, тогда как ожидаемый дефицит - это произведение этого значения на вероятность его возникновения. ^[3] Первое определение не может быть последовательной мерой риска.${\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)}$${\ displaystyle \ alpha}$в целом, однако, оно согласовано, если лежащее в основе распределение является непрерывным. ^[4] Последнее определение является последовательной мерой риска. ^[3] TVaR определяет серьезность отказа, а не только вероятность отказа. TVaR является мерой ожидания только в хвосте распределения.

Математическое определение [ править ]

Каноническое значение хвоста в опасности - это левый хвост (большие отрицательные значения) в некоторых дисциплинах и правый хвост (большие положительные значения) в других, например, в актуарной науке . Обычно это происходит из-за разницы в правилах рассмотрения убытков как больших отрицательных или положительных значений. Используя соглашение об отрицательных значениях, Артцнер и другие определяют конечное значение риска как:

Если задана случайная величина, которая представляет собой доходность портфеля в будущем, и задан параметр, то конечная величина риска определяется как ^{[5] [6] [7] [8]}${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle 0 <\ альфа <1}$

${\ displaystyle \ operatorname {TVaR} _ {\ alpha} (X) = \ operatorname {E} [-X | X \ leq - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)] = \ operatorname {E} [-X | X \ leq x ^ {\ alpha}],}$

где находится верхний - квантиль дается . Обычно случайная величина выигрыша находится в некотором L p -пространстве, где гарантируется существование математического ожидания. Типичные значения для 5% и 1%.${\ Displaystyle х ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: \ Pr (X \ leq x)> \ alpha \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ displaystyle \ alpha}$

Формулы для непрерывных распределений вероятностей [ править ]

Существуют закрытые формулы для расчета TVaR, когда выплата по портфелю или соответствующий убыток следует определенному непрерывному распределению. Если следовать некоторому распределению вероятностей с функцией плотности вероятности (pdf) и кумулятивной функцией распределения (cdf) , левый хвост TVaR может быть представлен как${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle L = -X}$${\ displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{F^{-1}(\alpha )}xf(x)dx.}$

Для инженерных или актуарных приложений обычно рассматривают распределение потерь , в этом случае рассматривается правосторонний TVaR (обычно для 95% или 99%):${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=E[L\mid L\geq VaR_{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}VaR_{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{F^{-1}(\alpha )}^{+\infty }yf(y)dy}$.

Поскольку некоторые формулы, приведенные ниже, были получены для случая левого хвоста, а некоторые - для случая правого хвоста, следующие согласования могут быть полезны:

${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}E[X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)}$и .${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {1}{1-\alpha }}E[L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)}$

Нормальное распределение [ править ]

Если выигрыш портфеля следует нормальному (гауссовскому) распределению с pdf, то левый хвост TVaR равен , где - стандартный нормальный pdf, - стандартный нормальный cdf, стандартный нормальный квантиль. ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Если убыток портфеля следует за нормальным распределением, TVaR правого хвоста будет равен . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Обобщенное t-распределение Стьюдента [ править ]

Если выигрыш портфеля следует обобщенному t-распределению Стьюдента с pdf, то левый хвост TVaR равен , где - стандартное t-распределение pdf, - стандартное t-распределение cdf, и квантиль стандартного t-распределения . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}{\Bigl (}1+{\frac {1}{\nu }}{\bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\bigr )}^{2}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

Если потеря портфеля соответствует обобщенному t-распределению Стьюдента, TVaR для правого хвоста будет равно . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

Распределение Лапласа [ править ]

Если выплата портфеля соответствует распределению Лапласа с pdf и cdf, тогда левый хвост TVaR равен для . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

Если потеря портфеля следует за распределением Лапласа, TVaR правого хвоста будет равно . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

Логистическая дистрибуция [ править ]

Если доходность портфеля соответствует логистическому распределению с pdf и cdf, то левый TVaR равен . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$${\displaystyle F(x)={\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

Если потеря портфеля следует за логистическим распределением , TVaR правого хвоста будет равно . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

Экспоненциальное распределение [ править ]

Если убыток портфеля следует экспоненциальному распределению с pdf и cdf, тогда TVaR правого хвоста будет равен . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

Распределение Парето [ править ]

Если потеря портфеля следует за распределением Парето с pdf и cdf, тогда TVaR правого хвоста будет равна . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/\alpha }(a-1)}}}$

Обобщенное распределение Парето (GPD) [ править ]

Если потеря портфеля следует за GPD с pdf и cdf, тогда TVaR правого хвоста равно, а VaR равно . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}{\Bigl (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Bigr )}^{{\bigl (}-{\frac {1}{\xi }}-1{\bigr )}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\Big (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp {\bigl (}-{\frac {x-\mu }{s}}{\bigr )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +s{\Bigl [}{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle VaR_{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

Распределение Вейбулла [ править ]

Если потеря портфеля соответствует распределению Вейбулла с PDF и cdf, тогда TVaR правого хвоста равна , где - верхняя неполная гамма-функция . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big )}^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma {\Big (}1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha ){\Big )}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV) [ править ]

Если выигрыш портфеля следует за GEV с pdf и cdf, тогда левый хвост TVaR равен, а VaR равен , где - верхняя неполная гамма-функция , - логарифмическая интегральная функция . ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp {\Bigl [}-{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}-{\big (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp {\Big (}-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle VaR_{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}{\big [}(-\ln \alpha )^{-\xi }-1{\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$${\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

Если убыток портфеля следует за GEV , то TVaR правого хвоста равна , где - нижняя неполная гамма-функция , - константа Эйлера-Маскерони . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\big [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\big [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle y}$

Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS) [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению GHS с pdf и cdf, тогда левый хвост TVaR равен , где - функция Спенса , - мнимая единица. ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}{\text{sech}}({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan {\Big [}\exp {\Big (}{\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln {\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i{\Big [}{\text{Li}}_{2}{\Big (}-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-{\text{Li}}_{2}{\Big (}i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle {\text{Li}}_{2}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

SU-распределение Джонсона [ править ]

Если доходность портфеля соответствует SU-распределению Джонсона с cdf, тогда левый хвост TVaR равен , где cdf стандартного нормального распределения. ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)=\Phi {\Big [}\gamma +\delta \sinh ^{-1}{\Big (}{\frac {x-\xi }{\lambda }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}{\Big [}exp{\Big (}{\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}{\Big )}-exp{\Big (}{\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle \Phi }$

Распределение заусенцев типа XII [ править ]

Если выплата портфеля соответствует распределению типа XII Берра с pdf и cdf , левый хвост TVaR равен , где - гипергеометрическая функция . В качестве альтернативы . ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=1-{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1/c}{\Big [}\alpha -1+{_{2}F_{1}}{\Big (}{\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}{\Big ]}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}}$

Распределение Dagum [ править ]

Если выплата портфеля соответствует распределению Дагума с pdf и cdf , левый хвост TVaR равен , где - гипергеометрическая функция . ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{ck-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)={\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{-c}{\Big ]}^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}{\Big (}\alpha ^{-1/k}-1{\Big )}^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}{\Big )}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Логнормальное распределение [ править ]

Если выигрыш портфеля следует логнормальному распределению , то есть случайная величина следует нормальному распределению с pdf , тогда левый хвост TVaR равен , где - стандартный нормальный cdf, то есть стандартный нормальный квантиль. ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-\exp {\Bigl (}\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\Bigr )}{\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

Логистическая дистрибуция [ править ]

Если выигрыш портфеля следует лог-логистическое распределение , т.е. случайная величина следует логистическое распределение с PDF , то левый хвост TVAR равно , где это регуляризованная неполная бета - функция , .${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$${\displaystyle I_{\alpha }}$${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

Как неполная бета - функция определена только для положительных аргументов, для более общем случае левого хвоста Тварь может быть выражена с гипергеометрической функцией : . ^[13]${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

Если потеря портфеля следует за лог-логистическим распределением с pdf и cdf , тогда TVaR правого хвоста будет равен , где - неполная бета-функция . ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {a}{1-\alpha }}{\Bigl [}{\frac {\pi }{b}}\csc {\Bigl (}{\frac {\pi }{b}}{\Bigr )}-\mathrm {B} _{\alpha }{\Bigl (}{\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$${\displaystyle B_{\alpha }}$

Распределение Лог-Лапласа [ править ]

Если выигрыш портфеля соответствует логарифмическому распределению Лапласа , т. Е. Случайная величина следует распределению Лапласа pdf , то TVaR для левого хвоста равна . ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}{\big [}(1-\alpha )^{(1-b)}-1{\big ]}&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$

Распределение лог-обобщенного гиперболического секанса (log-GHS) [ править ]

Если доходность портфеля соответствует распределению log-GHS, т. Е. Случайная величина следует распределению GHS с pdf , то TVaR левого хвоста равна , где - гипергеометрическая функция . ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}{\text{sech}}({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}{\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}{\Big )}^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan {\big (}{\frac {\pi \alpha }{2}}{\big )}^{2}{\Big )}}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Ссылки [ править ]