В аксиоматической теории множеств , то аксиома пустого множества является утверждением , что утверждает существование множества без каких - либо элементов. Это аксиома из теории множеств Крипке Платек и вариант общей теории множеств , что Burgess (2005) называет «ST» и доказуемо правда в теории множеств Цермело и теории множеств Цермело-Френкеля , с или без аксиомы выбора . [1]
Официальное заявление
На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:
или словами:
- Существует множество таких , что ни один элемент не является членом.
Интерпретация
Мы можем использовать аксиому экстенсиональности, чтобы показать, что существует только одно пустое множество. Поскольку он уникален, мы можем назвать его. Это называется пустым множеством (обозначается {} или ∅). Аксиома, изложенная на естественном языке, по сути:
- Пустой набор существует .
Эта формула является теоремой и считается верной во всех версиях теории множеств. Единственная полемика заключается в том, как это должно быть оправдано: сделав это аксиомой; выводя его из аксиомы (или логики) существования множества и аксиомы разделения; выводя это из аксиомы бесконечности; или каким-то другим способом.
В некоторых формулировках ZF аксиома пустого множества фактически повторяется в аксиоме бесконечности . Однако есть и другие формулировки этой аксиомы, которые не предполагают существования пустого множества. Аксиомы ZF также могут быть записаны с использованием постоянного символа, представляющего пустое множество; тогда аксиома бесконечности использует этот символ, не требуя, чтобы он был пустым, в то время как аксиома пустого множества необходима, чтобы утверждать, что он на самом деле пуст.
Более того, иногда рассматриваются теории множеств, в которых нет бесконечных множеств, и тогда может потребоваться аксиома пустого множества. Однако любая аксиома теории множеств или логики, которая подразумевает существование любого множества, будет подразумевать существование пустого множества, если у кого-то есть схема аксиом разделения . Это верно, поскольку пустое множество - это подмножество любого набора, состоящего из тех элементов, которые удовлетворяют противоречивой формуле.
Во многих формулировках логики предикатов первого порядка всегда гарантируется существование по крайней мере одного объекта. Если аксиоматизация теории множеств сформулирована в такой логической системе со схемой разделения аксиом, как аксиомы, и если теория не делает различий между множествами и другими видами объектов (что справедливо для ZF, KP и подобных теорий), тогда существование пустого множества - это теорема.
Если разделение не постулируется как схема аксиом, а выводится как схема теорем из схемы замещения (как это иногда делается), ситуация усложняется и зависит от точной формулировки схемы замещения. Формулировка, используемая в схеме аксиом замещающего артикля, позволяет построить изображение F [ a ] только тогда, когда a содержится в области определения функции класса F ; тогда для вывода разделения требуется аксиома пустого множества. С другой стороны, ограничение на тотальность F часто удаляется из схемы замены, и в этом случае это подразумевает схему разделения без использования аксиомы пустого множества (или любой другой аксиомы, если на то пошло).
Рекомендации
- ^ Jech, Томас Дж (2003). Теория множеств (изд. 3-го тысячелетия, перераб. И расширенное изд.). Берлин: Springer. п. 3. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 50422939 .
Источники
- Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Princeton Univ. Нажмите.
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .