Уравнение Бейтмана

В ядерной физике , то уравнение Бейтман является математической моделью , описывающие содержаний и деятельность в цепочке распада в зависимости от времени, на основе скорости распада и начальных содержания. Модель была сформулирована Эрнестом Резерфордом в 1905 году ^[1], а аналитическое решение было предоставлено Гарри Бейтманом в 1910 году ^[2].

Если в момент времени t есть атомы изотопа, который распадается на изотоп со скоростью , количество изотопов в цепочке распада k- ступеней изменяется следующим образом:${\ Displaystyle N_ {я} (т)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i + 1}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

(это может быть адаптировано для обработки ветвей распада). Хотя это можно решить явно для i  = 2, формулы быстро становятся громоздкими для более длинных цепей. ^[3] Уравнение Бейтмана - это классическое основное уравнение, в котором скорости перехода разрешены только от одного вида (i) к другому (i + 1), но никогда в обратном смысле (от i + 1 к i запрещено).

Бейтман нашел общую явную формулу для сумм, взяв преобразование Лапласа переменных.

${\displaystyle N_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}\left[N_{i}(0)\times \left(\prod _{j=i}^{n-1}\lambda _{j}\right)\times \left(\sum _{j=i}^{n}\left({\frac {e^{-\lambda _{j}t}}{\prod _{p=i,p\neq j}^{n}(\lambda _{p}-\lambda _{j})}}\right)\right)\right]}$

(он также может быть расширен за счет источников, если больше атомов изотопа i поступает извне с постоянной скоростью). ^[4]

Расчет количества с помощью функции Бейтмана для 241Pu

Хотя формула Бейтмана может быть реализована в компьютерном коде, если для некоторой пары изотопов отмена может привести к вычислительным ошибкам. Поэтому используются и другие методы, такие как численное интегрирование или метод матричных экспонент . ^[5]${\displaystyle \lambda _{p}\approx \lambda _{j}}$

Например, для простого случая цепочки из трех изотопов соответствующее уравнение Бейтмана сводится к

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Гарри Бейтман
• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Переходное равновесие
• Светское равновесие
• Фармакокинетика , сыпучая применимость

Ссылки [ править ]