Поведенческое моделирование

Поведенческий подход к теории систем и теории управления была начата в конце 1970-х годов по JC Уиллемсом в результате разрешения несоответствий , присутствующего в классических подходов , основанных на пространстве состояний, передаточной функции и свертки представлений. Этот подход также мотивирован целью получения общей основы для системного анализа и управления, которая уважает лежащие в основе физики .

Главный объект в поведенческой установке - это поведение - совокупность всех сигналов, совместимых с системой. Важной особенностью поведенческого подхода является то, что он не различает приоритеты между входными и выходными переменными. Помимо строгой основы теории систем и управления, поведенческий подход объединил существующие подходы и принес новые результаты по управляемости для nD-систем , управлению через взаимосвязь ^[1] и идентификации систем. ^[2]

Динамическая система как совокупность сигналов [ править ]

В поведенческой среде динамическая система представляет собой тройную

${\ Displaystyle \ Sigma = (\ mathbb {T}, \ mathbb {W}, {\ mathcal {B}})}$

где

• ${\ Displaystyle \ mathbb {T} \ substeq \ mathbb {R}}$ это «набор времени» - периоды времени, в течение которых система развивается,
• ${\ Displaystyle \ mathbb {W}}$ является «сигнальным пространством» - набором, в котором переменные, эволюция которых моделируется во времени, принимают свои значения, и
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ substeq \ mathbb {W} ^ {\ mathbb {T}}}$ «поведение» - набор сигналов, которые совместимы с законами системы

( обозначает набор всех сигналов, т. е. функций из в ).${\ Displaystyle \ mathbb {W} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ mathbb {W}}$

${\ displaystyle w \ in {\ mathcal {B}}}$означает, что это траектория системы, а означает, что законы системы запрещают траекторию произойти. Перед моделированием явления каждый сигнал считается возможным, в то время как после моделирования возможными остаются только результаты .${\ displaystyle w}$${\ Displaystyle ш \ notin {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle w}$${\ Displaystyle \ mathbb {W} ^ {\ mathbb {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Особые случаи:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$ - системы непрерывного времени
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$ - системы с дискретным временем
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$ - большинство физических систем
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$ конечное множество - дискретные системы событий

Линейные инвариантные во времени дифференциальные системы [ править ]

Системные свойства определяются с точки зрения поведения. Система называется ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

• "linear", если является векторным пространством и является линейным подпространством ,${\displaystyle \mathbb {W} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$
• "не зависящий от времени", если набор времени состоит из действительных или натуральных чисел и

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$для всех ,${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$

где обозначает -сдвиг, определяемый ${\displaystyle \sigma ^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

В этих определениях линейность формулирует закон суперпозиции , в то время как временная инвариантность формулирует, что временной сдвиг правовой траектории, в свою очередь, является законной траекторией.

«Линейная инвариантная во времени дифференциальная система» - это динамическая система , поведение которой является набором решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , где - матрица полиномов с действительными коэффициентами. Коэффициенты являются параметрами модели. Чтобы определить соответствующее поведение, нам нужно указать, когда мы считаем сигнал решением . Для простоты изложения часто рассматриваются бесконечные дифференцируемые решения. Существуют и другие возможности, например, принятие решений с распределением или решений в обыкновенных дифференциальных уравнениях, интерпретируемых в смысле распределений. Определяемое поведение${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R(d/dt)w=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle R(d/dt)w=0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Этот конкретный способ представления системы называется «ядерным представлением» соответствующей динамической системы. Есть много других полезных представлений того же поведения, включая передаточную функцию, пространство состояний и свертку.

Доступные источники, касающиеся поведенческого подхода, см. В ^[3] . ^[4]

Наблюдаемость скрытых переменных [ править ]

Ключевой вопрос поведенческого подхода состоит в том, можно ли вывести величину w1 с учетом наблюдаемой величины w2 и модели . Если w1 может быть выведено с учетом w2 и модели, w2 называется наблюдаемым . С точки зрения математического моделирования, величина или переменная , которые должны быть выведены, часто называют скрытой переменной, а наблюдаемая переменная - явной переменной. Такая система в таком случае называется системой наблюдаемых (скрытых переменных).

Ссылки [ править ]

Дополнительные источники [ править ]

• Паоло Раписарда и Ян К. Виллемс, 2006. Последние разработки в теории поведенческих систем , 24–28 июля 2006 г., MTNS 2006, Киото, Япония.
• JC Willems. Терминалы и порты. Журнал IEEE Circuits and Systems Magazine, том 10, выпуск 4, страницы 8–16, декабрь 2010 г.
• JC Willems и HL Trentelman. О квадратичных дифференциальных формах. Журнал SIAM по контролю и оптимизации, том 36, страницы 1702-1749, 1998
• JC Willems. Парадигмы и загадки теории динамических систем. IEEE Transactions on Automatic Control Volume 36, страницы 259-294, 1991
• JC Willems. Модели для динамики. Отчет о динамике, том 2, страницы 171-269, 1989 г.