Теорема Белла

Теорема Белла доказывает, что квантовая физика несовместима с локальными теориями скрытых переменных . Он был введен физиком Джоном Стюартом Беллом в статье 1964 года под названием «О парадоксе Эйнштейна Подольского и Розена », относящейся к мысленному эксперименту 1935 года, который Альберт Эйнштейн , Борис Подольский и Натан Розен использовали, чтобы доказать, что квантовая физика является «неполной» теорией. ^[1]^[2] К 1935 году уже было признано, что предсказания квантовой физики являются вероятностными.. Эйнштейн, Подольский и Розен представили сценарий, который, по их мнению, показал, что квантовые частицы, такие как электроны и фотоны , должны нести физические свойства или атрибуты, не включенные в квантовую теорию, а неопределенности в предсказаниях квантовой теории были вызваны незнанием этих свойств. , позже названные «скрытыми переменными». Их сценарий включает в себя пару широко разделенных физических объектов, подготовленных таким образом, что квантовое состояние пары запутано .

Белл продвинул анализ квантовой запутанности намного дальше. Он пришел к выводу, что если измерения выполняются независимо на двух разделенных половинах пары, то предположение о том, что результаты зависят от скрытых переменных в каждой половине, подразумевает ограничение на то, как коррелируются результаты на двух половинах. Это ограничение позже будет названо неравенством Белла. Затем Белл показал, что квантовая физика предсказывает корреляции, нарушающие это неравенство. Следовательно, единственный способ, которым скрытые переменные могли бы объяснить предсказания квантовой физики, - это если они «нелокальны», каким-то образом связаны с обеими половинами пары и способны мгновенно переносить влияния между ними, независимо от того, насколько широко разделены две половины. ^[3]^[4]Как позже писал Белл, «если [теория скрытых переменных] является локальной, она не будет соответствовать квантовой механике, а если она согласуется с квантовой механикой, то она не будет локальной». ^[5]

В последующие годы были доказаны многочисленные вариации теоремы Белла, в которых были введены другие тесно связанные условия, обычно известные как неравенства Белла (или «неравенства типа Белла»). Они были экспериментально проверены в лабораториях физики много раз с 1972 г. Часто эти эксперименты имели целью облегчения задач экспериментального проектирования или наладок , что в принципе может повлиять на достоверность результатов предыдущих испытаний Bell. Это известно как «закрытие лазеек в тестовых экспериментах Белла ». На сегодняшний день тесты Белла показали, что гипотеза о локальных скрытых переменных несовместима с тем, как фактически ведут себя физические системы. ^[6]^[7]

Точная природа допущений, необходимых для доказательства ограничения типа Белла на корреляции, обсуждалась физиками и философами . Хотя значение теоремы Белла не вызывает сомнений, ее полное значение для интерпретации квантовой механики остается нерешенным.

Историческая справка [ править ]

В начале 1930-х годов философские последствия нынешних интерпретаций квантовой теории беспокоили многих выдающихся физиков того времени, включая Альберта Эйнштейна . В известной статье 1935 года Борис Подольский и соавторы Эйнштейн и Натан Розен (вместе «ЭПР») стремились продемонстрировать с помощью парадокса ЭПР, что квантовая механика неполна. Это давало надежду на то, что однажды может быть открыта более полная (и менее тревожная) теория. Но этот вывод основывался на кажущихся разумными предположениях о локальности и реализме (вместе называемых «локальный реализм» или « локальные скрытые переменные»).", часто взаимозаменяемо). На просторечии Эйнштейна: локальность означала отсутствие мгновенных (" жутких ") действий на расстоянии ; реализм означал, что Луна находится там, даже когда ее не наблюдают. Эти предположения горячо обсуждались в сообществе физиков, особенно между Эйнштейн и Нильс Бор .

В своей новаторской статье 1964 года «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» ^[2]^[8] физик Джон Стюарт Белл представил дальнейшее развитие гипотетического парадокса ЭПР , основанное на измерениях спина пар запутанных электронов. Используя их рассуждения, он сказал, что выбор настройки измерения поблизости не должен влиять на результат измерения вдали (и наоборот). После предоставления математической формулировки локальности и реализма, основанной на этом, он показал конкретные случаи, когда это противоречило предсказаниям квантовой механики.

В экспериментальных испытаниях по примеру Белла, использующих теперь квантовую запутанность фотонов вместо электронов, Джон Клаузер и Стюарт Фридман (1972) и Ален Аспект и др . (1981) продемонстрировали, что предсказания квантовой механики верны в этом отношении, хотя и полагались на дополнительные непроверяемые предположения, которые открывают лазейки для локального реализма. Более поздние эксперименты помогли закрыть эти лазейки. ^[9]^[10]

Обзор [ править ]

В этом разделе слишком много внимания уделяется конкретным примерам, не объясняя их важность для основной темы. Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , цитируя надежные вторичные источники, которые оценивают и синтезируют эти или аналогичные примеры в более широком контексте . ( Июнь 2019 г. )

Теорема обычно доказывается рассмотрением квантовой системы двух запутанных кубитов с исходными тестами, как указано выше, выполненными на фотонах. Наиболее распространенные примеры относятся к системам частиц, запутанных по спину или поляризации . Квантовая механика позволяет предсказывать корреляции, которые наблюдались бы, если бы спин или поляризация этих двух частиц измерялись в разных направлениях. Белл показал, что если верна теория локальных скрытых переменных, то эти корреляции должны удовлетворять определенным ограничениям, называемым неравенствами Белла.

Для частиц с двумя состояниями и наблюдаемых A, B и C (как на картинке) возникает нарушение неравенства типа Белла. Согласно квантовой механике, сумма вероятностей получения равных результатов при измерении различных наблюдаемых составляет 3/4. Но, предполагая заранее определенные результаты (равные для одних и тех же наблюдаемых), эта сумма должна быть не менее 1, поскольку в каждой паре по крайней мере два из трех наблюдаемых тогда предварительно определены как равные.

Следуя аргументам в статье о парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР) (но используя пример спина, как в версии аргумента ЭПР Дэвида Бома ^[11] ), Белл рассмотрел мысленный эксперимент, в котором " пара частиц со спином половина образовалась каким-то образом в состоянии синглетного спина и свободно движется в противоположных направлениях ». ^[2] Две частицы перемещаются друг от друга к двум удаленным точкам, в которых выполняются измерения спина, вдоль осей, которые выбираются независимо. Каждое измерение дает результат либо увеличения (+), либо уменьшения (-); это означает вращение в положительном или отрицательном направлении выбранной оси.

Вероятность получения одного и того же результата в двух местах зависит от относительных углов, под которыми выполняются два измерения вращения, и находится строго между нулем и единицей для всех относительных углов, кроме идеально параллельных или антипараллельных совмещений (0 ° или 180 °. ). Поскольку полный угловой момент сохраняется, и поскольку полный спин равен нулю в синглетном состоянии, вероятность того же результата при параллельном (антипараллельном) выравнивании равна 0 (1). Это последнее предсказание верно как с классической, так и с квантово-механической точки зрения.

Теорема Белла касается корреляций, определенных в терминах средних значений, взятых во время очень многих попыток эксперимента. Корреляции двух двоичных переменных, как правило , определяется в квантовой физике , как среднее из продуктов пар измерений. Обратите внимание, что это отличается от обычного определения корреляции в статистике. «Корреляция» квантового физика - это «сырой (нецентрированный, ненормализованный) момент продукта».". Они похожи в том, что при любом определении, если пары результатов всегда одинаковы, корреляция равна +1; если пары результатов всегда противоположны, корреляция равна -1; и если пары результатов совпадают В 50% случаев корреляция равна 0. Корреляция связана простым способом с вероятностью равных результатов, а именно, она равна удвоенной вероятности равных результатов минус один.

Измерение вращения этих запутанных частиц в антипараллельных направлениях (то есть, обращенных в точно противоположных направлениях, возможно, смещенных на какое-то произвольное расстояние), набор всех результатов полностью коррелирует. С другой стороны, если измерения выполняются в параллельных направлениях (т. Е. В одном и том же направлении, возможно, со смещением на какое-то произвольное расстояние), они всегда дают противоположные результаты, и набор измерений показывает идеальную антикорреляцию. Это согласуется с указанными выше вероятностями измерения одного и того же результата в этих двух случаях. Наконец, измерения в перпендикулярных направлениях имеют 50% -ную вероятность совпадения, а общий набор измерений не коррелирован. Эти основные случаи показаны в таблице ниже. Столбцы следует читать как примеры пар значений, которые могут быть записаны Алисой и Бобом, с увеличением времени вправо.

Антипараллельный	Пара
Антипараллельный	1	2	3	4	...	$п$
Алиса , 0 °	+	-	+	+	...	-
Боб , 180 °	+	-	+	+	...	-
Корреляция	(+1	+1	+1	+1	...	+1)	/ $п$ = +1
							(100% идентичны)
Параллельный	1	2	3	4	...	$п$
Алиса , 0 °	+	-	-	+	...	+
Боб , 0 ° или 360 °	-	+	+	-	...	-
Корреляция	(−1	−1	−1	−1	...	−1)	/ $п$ = -1
							(100% напротив)
Ортогональный	1	2	3	4	...	$п$
Алиса, 0 °	+	-	+	-	...	-
Боб, 90 ° или 270 °	-	-	+	+	...	-
Корреляция	(−1	+1	+1	−1	...	+1)	/ $п$ = 0
							(50% идентичны, 50% противоположны)

Наилучшая возможная имитация локального реалиста (красный) для квантовой корреляции двух спинов в синглетном состоянии (синий), настаивающая на идеальной антикорреляции при 0 °, идеальной корреляции при 180 °. Существует множество других возможностей для классической корреляции с учетом этих побочных условий, но все они характеризуются резкими пиками (и впадинами) при 0 °, 180 ° и 360 °, и ни одна из них не имеет более экстремальных значений (± 0,5) при 45 °, 135 °, 225 ° и 315 °. Эти значения отмечены звездочками на графике и представляют собой значения, измеренные в стандартном эксперименте типа Bell-CHSH: QM допускает ± 1 / √ 2 = ± 0,7071… , местный реализм предсказывает ± 0,5 или меньше.

При измерениях, ориентированных под промежуточными углами между этими основными случаями, существование локальных скрытых переменных могло бы согласовываться с / согласовывалось бы с линейной зависимостью корреляции по углу, но, согласно неравенству Белла (см. Ниже), не могло согласовываться с зависимость, предсказываемая квантово-механической теорией, а именно, что корреляция - это отрицательный косинус угла. Экспериментальные результаты соответствуют кривой, предсказанной квантовой механикой. ^[3]

За прошедшие годы теорема Белла прошла множество экспериментальных проверок. Однако были выявлены различные общие недостатки при проверке теоремы , включая лазейку в обнаружении ^[12] и лазейку в связи . ^[12] С годами эксперименты постепенно улучшались, чтобы лучше устранять эти лазейки. В 2015 году был проведен первый эксперимент по одновременному устранению всех лазеек. ^[9]

На сегодняшний день теорема Белла обычно рассматривается как подтвержденная значительным количеством доказательств, и есть несколько сторонников локальных скрытых переменных, хотя теорема постоянно является предметом изучения, критики и уточнения. ^[13]^[14]

Важность [ править ]

Теорема Белла, выведенная в его основополагающей статье 1964 года под названием «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» ^[2] , была названа, исходя из предположения, что теория верна, «самой глубокой в науке». ^[15] Возможно, не меньшее значение имеют преднамеренные усилия Белла по поощрению и приданию легитимности работе над вопросами полноты, которая приобрела дурную славу. ^[16] Позже Белл выразил надежду, что такая работа «продолжит вдохновлять тех, кто подозревает, что то, что доказывается доказательствами невозможности, является недостатком воображения». ^[16] Н. Дэвид Мермин описал оценки важности теоремы Белла в физическом сообществе в диапазоне от «безразличия» до «безразличия».дикая расточительность ». ^[17] Генри Стапп заявил: «Теорема Белла - самое глубокое открытие науки». ^[18]

Название основополагающей статьи Белла отсылает к статье 1935 года Эйнштейна, Подольского и Розена ^{[19], в} которой подвергалась сомнению полнота квантовой механики. В своей статье Белл исходил из тех же двух предположений, что и ЭПР, а именно: (i) реальность (что микроскопические объекты обладают реальными свойствами, определяющими результаты квантово-механических измерений), и (ii) локальность (что реальность в одном месте не подвергается влиянию. по измерениям, выполняемым одновременно в удаленном месте). Белл смог получить из этих двух предположений важный результат, а именно неравенство Белла. Теоретическое (а затем и экспериментальное) нарушение этого неравенства означает, что хотя бы одно из двух предположений должно быть ложным.

В двух отношениях статья Белла 1964 года была шагом вперед по сравнению с статьей EPR: во-первых, она рассматривала больше скрытых переменных, чем просто элемент физической реальности в статье EPR; и неравенство Белла было частично экспериментально проверено, что увеличивало возможность проверки гипотезы локального реализма. Ограничения на такие тесты на сегодняшний день указаны ниже. В то время как статья Белла касается только детерминированных теорий скрытых переменных, теорема Белла позже была обобщена и на стохастические теории ^[20] , и она также была реализована ^[21].что теорема не столько о скрытых переменных, сколько о результатах измерений, которые можно было бы провести вместо того, что было действительно сделано. Существование этих переменных называется предположением реализма или предположением контрфактической определенности .

После статьи ЭПР квантовая механика оказалась в неудовлетворительном положении: либо она была неполной в том смысле, что не могла учесть некоторые элементы физической реальности, либо нарушала принцип конечной скорости распространения физических эффектов. В модифицированной версии мысленного эксперимента ЭПР два гипотетических наблюдателя , теперь обычно называемые Алисой и Бобом , проводят независимые измерения спина пары электронов, подготовленных в источнике в особом состоянии, называемом спиновым синглетным состоянием . Это вывод ЭПР, что как только Алиса измеряет спин в одном направлении (например, на оси xось), измерение Боба в этом направлении определяется с уверенностью, как результат, противоположный результату Алисы, тогда как непосредственно перед измерением Алисы результат Боба был определен только статистически (т. е. был только вероятностью, а не достоверностью); таким образом, либо вращение в каждом направлении является элементом физической реальности , либо эффекты передаются от Алисы к Бобу мгновенно.

В КМ прогнозы формулируются в терминах вероятностей - например, вероятности того, что электрон будет обнаружен в определенном месте, или вероятности того, что его спин будет вверх или вниз. Однако сохранялась идея, что электрон на самом деле имеет определенное положение и спин, и что слабость КМ - его неспособность точно предсказать эти значения. Существовала возможность того, что какая-то неизвестная теория, такая как теория скрытых переменных , могла бы точно предсказать эти величины, в то же время находясь в полном согласии с вероятностями, предсказанными КМ. Если такая теория скрытых переменных существует, то, поскольку скрытые переменные не описываются КМ, последняя будет неполной теорией.

Местный реализм [ править ]

Концепция локального реализма формализована для утверждения и доказательства теоремы Белла и обобщений. Общий подход следующий:

Существует вероятностное пространство $Λ,$ и результаты, наблюдаемые как Алисой, так и Бобом, являются результатом случайной выборки (неизвестного, «скрытого») параметра $λ \in Λ$ .
Значения, наблюдаемые Алисой или Бобом, являются функциями локальных настроек детектора, состояния входящего события (спин для материала или фазы для фотона) и только скрытого параметра. Таким образом, существуют функции , В : S ² × Λ → {-1, + 1} , где установка детектора моделируется как точка на единичной сфере S ² , таким образом, что
- Значение, наблюдаемое Алисой при настройке детектора $a,$ равно $A (a, λ).$
- Значение, наблюдаемое Бобом с настройкой детектора $b,$ равно $B (b, λ).$

Для идеальной антикорреляции потребуется $B (c, λ) = - A (c, λ), c \in S 2$ . Неявно в предположении 1) выше, пространство скрытых параметров $Λ$ имеет вероятностную меру $μ,$ и математическое ожидание случайной величины $X$ на $Λ$ относительно $μ$ записывается

\operatorname {E} (X)=\int _{\Lambda }X(\lambda )p(\lambda )\,d\lambda ,

где для доступности обозначений мы предполагаем, что вероятностная мера имеет плотность вероятности $p,$ которая поэтому неотрицательна и интегрируется до $1$ . Скрытый параметр часто считается связанным с источником, но он также может содержать компоненты, связанные с двумя измерительными устройствами.

Неравенства Белла [ править ]

Неравенства Белла касаются измерений, сделанных наблюдателями над парами частиц, которые взаимодействовали, а затем разделялись. Предполагая локальный реализм, определенные ограничения должны удерживать взаимосвязи между корреляциями между последующими измерениями частиц при различных возможных параметрах измерения. Пусть $A$ и $B такие$ , как указано выше. Определите для настоящих целей три корреляционные функции:

Обозначим через $C e (a, b)$ экспериментально измеренную корреляцию, определяемую формулой
$C_{e}(a,b)={\frac {N_{++}+N_{--}-N_{+-}-N_{-+}}{N_{++}+N_{--}+N_{+-}+N_{-+}}},$

где

N ++

- количество измерений, дающих "раскрутку" в направлении

a,

измеренную Алисой (первый индекс

+

), и "раскрутку" в направлении

b,

измеренную Бобом. Остальные вхождения

N

определяются аналогично. Другими словами, это выражение обозначает количество раз, когда Алиса и Боб находили одно и то же вращение, за вычетом количества раз, когда они находили противоположное вращение, деленное на общее количество измерений для данной пары углов.

Пусть $C q (a, b)$ обозначает корреляцию, предсказанную квантовой механикой. Это дается выражением ^{[ необходима цитата ]}
$C_{q}(a,b)=\left\langle \Psi \left|({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )^{(2)}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )^{(1)}\right|\Psi \right\rangle ,$

где - антисимметричная спиновая волновая функция, - вектор Паули . Это значение рассчитывается как

\Psi

{\boldsymbol {\sigma }}

C_{q}(a,b)=-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} .

где и - единичные векторы, которые представляют каждое измерительное устройство, а внутреннее произведение равно косинусу угла между этими векторами.

\mathbf {a}

\mathbf {b}

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}

Пусть $C h (a, b)$ обозначает корреляцию, предсказываемую любой теорией скрытых переменных. В формализации вышеизложенного это
$C_{h}(a,b)=E(A(\mathbf {a} ,\lambda )B(\mathbf {b} ,\lambda ))=\int _{\Lambda }A(\mathbf {a} ,\lambda )B(\mathbf {b} ,\lambda )p(\lambda )\,d\lambda .$

Подробности расчета

C q (a, b)

Двухчастичное спиновое пространство является тензорным произведением двумерных спиновых гильбертовых пространств отдельных частиц. Каждое отдельное пространство является неприводимым пространством представления группы вращений SO (3) . Пространство продукта распадается как прямая сумма неприводимых представлений с определенными полными спинами $0$ и $1$ размерностей $1$ и $3$ соответственно. Полную информацию можно найти в разложении Клебша — Гордана . Подпространство с полным нулевым спином натянуто на синглетное состояние в пространстве произведения, вектор, явно заданный формулой

|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\alpha ^{(1)}\beta ^{(2)}-\beta ^{(1)}\alpha ^{(2)})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right),

с сопряженным в этом представлении

\langle A|={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\right).

То, как операторы с одной частицей действуют в пространстве продукта, показано ниже на рассматриваемом примере; определяется тензорное произведение операторов, где множители являются одночастичными операторами, таким образом, если $Π, Ω$ - одночастичные операторы,

(\Pi \otimes \Omega )(|x\rangle \otimes |y\rangle )\equiv \Pi |x\rangle \otimes \Omega |y\rangle ,

а также

\Pi ^{(1)}(|x\rangle \otimes |y\rangle )\equiv \Pi |x\rangle \otimes \operatorname {Id} |y\rangle ,

и т. д., где верхний индекс в круглых скобках указывает, на каком гильбертовом пространстве в пространстве тензорного произведения предполагается действие, а действие определяется правой частью. Синглетное состояние имеет полный спин $0,$ что может быть проверено применением оператора полного спина $J \cdot J = (J 1 + J 2) \cdot (J 1 + J 2)$ вычислением, аналогичным приведенному ниже.

Математическое ожидание оператора

\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} \right)^{(2)}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} \right)^{(1)}=\left(\operatorname {Id} \otimes {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} \right)\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} \otimes \operatorname {Id} \right),

в синглетном состоянии вычисляется напрямую. Надо, по определению матриц Паули ,

{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} \otimes \operatorname {Id} ={\begin{bmatrix}a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&-a_{z}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.

После оставленного применения этого на | А ⟩ Получаем

{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} \otimes \mathrm {Id} |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{bmatrix}a_{z}\\a_{x}+ia_{y}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}a_{x}-ia_{y}\\-a_{z}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right).

Подобным же образом, применение (слева) от оператора , отвечающего $б$ на ⟨ A | дает

\langle A|\operatorname {Id} \otimes {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{x}+ib_{y}&-b_{z}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{z}&b_{x}-ib_{y}\end{bmatrix}}\right).

Внутренние произведения в пространстве тензорных произведений определяются как

\left(\left\langle x\right|\otimes \left\langle y\right|\right)\left(\left|u\right\rangle \otimes \left|v\right\rangle \right)\equiv \left\langle x|u\right\rangle \left\langle y|v\right\rangle

Учитывая это, математическое ожидание уменьшается до

\langle A|({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )^{(2)}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )^{(1)}|A\rangle =-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} .

С помощью этих обозначений можно сделать краткое изложение того, что следует ниже.

Теоретически существует $a, b$ такие, что

C_{q}\neq C_{h},

каковы бы ни были конкретные характеристики теории скрытых переменных, пока она подчиняется правилам локального реализма, как определено выше. Другими словами, никакая теория локальных скрытых переменных не может делать таких же предсказаний, как квантовая механика.

Экспериментально экземпляры

C_{e}\neq C_{h}

были обнаружены (независимо от теории скрытых переменных), но

C_{e}\neq C_{q}\quad {\text{(not found)}}

никогда не был найден. То есть предсказания квантовой механики никогда не опровергались экспериментом. Эти эксперименты включают такие, которые могут исключить теории локальных скрытых переменных. Но смотрите ниже о возможных лазейках.

Оригинальное неравенство Белла [ править ]

Неравенство, выведенное Беллом, можно записать в виде: ^[2]

\mid C_{h}(a,b)-C_{h}(a,c)\mid \leq 1+C_{h}(b,c),

где $a, b$ и $c$ относятся к трем произвольным настройкам двух анализаторов. Однако это неравенство ограничено в своем применении довольно частным случаем, когда результаты обеих сторон эксперимента всегда точно антикоррелированы, когда анализаторы параллельны. Преимущество ограничения внимания этим частным случаем заключается в простоте вывода. В экспериментальной работе неравенство не очень полезно, потому что трудно, если не невозможно, создать идеальную антикорреляцию.

Однако у этой простой формы есть интуитивное объяснение. Это эквивалентно следующему элементарному результату теории вероятностей. Рассмотрим три (сильно коррелированных и, возможно, предвзятых) монетки $X, Y$ и Z , обладающих тем свойством, что:

X и Y дают одинаковый результат (обе решки или орла) в 99% случаев
Y и Z также дают одинаковый результат в 99% случаев,

тогда X и Z должны давать одинаковый результат, по крайней мере, в 98% случаев. Количество несовпадений между X и Y (1/100) плюс количество несовпадений между Y и Z (1/100) вместе составляют максимально возможное количество несовпадений между X и Z (простое неравенство Буля – Фреше ).

Представьте себе пару частиц, которые можно измерить в удаленных местах. Предположим, что у измерительных устройств есть настройки, которыми являются углы - например, устройства измеряют что-то, называемое вращением, в каком-то направлении. Экспериментатор выбирает направления, по одному для каждой частицы, отдельно. Предположим, результат измерения двоичный (например, увеличение или уменьшение скорости). Предположим, что две частицы совершенно антикоррелированы - в том смысле, что всякий раз, когда обе частицы измеряются в одном направлении, одна получает идентично противоположные результаты, когда обе частицы измеряются в противоположных направлениях, они всегда дают один и тот же результат. Единственный способ представить, как это работает, - это то, что обе частицы покидают свой общий источник, каким-то образом с теми результатами, которые они дадут при измерении в любом возможном направлении.(Как еще частица 1 могла знать, как дать тот же ответ, что и частица 2 при измерении в том же направлении? Они не знают заранее, как они будут измеряться ...). Измерение частицы 2 (после смены ее знака) можно рассматривать как показание того, что дало бы то же измерение частицы 1.

Начните с одной настройки, прямо противоположной другой. Все пары частиц дают одинаковый результат (каждая пара имеет либо вращение вверх, либо вращение вниз). Теперь сместите настройку Алисы на один градус относительно настройки Боба. Теперь они на один градус отстают друг от друга. Небольшая часть пар, скажем f , теперь дает разные результаты. Если бы вместо этого мы оставили настройку Алисы без изменений, но сместили настройку Боба на один градус (в противоположном направлении), то снова дробь fпар частиц дает разные результаты. Наконец, подумайте, что происходит, когда оба сдвига выполняются одновременно: две настройки теперь находятся ровно в двух градусах от того, чтобы быть противоположными друг другу. Согласно аргументу несоответствия, вероятность несовпадения в двух градусах не может быть более чем в два раза выше шанса несоответствия в одной степени: она не может быть больше, чем 2 f . ^{[ необходима цитата ]}

Сравните это с предсказаниями квантовой механики для синглетного состояния. Для малого угла $θ$ , измеряемого в радианах, вероятность другого результата приблизительно соответствует тому, что объясняется приближением малого угла . Таким образом, при двукратном превышении этого малого угла вероятность несоответствия примерно в 4 раза больше, поскольку . Но мы просто утверждали, что он не может быть больше, чем в 2 раза. $f_{1}=\theta ^{2}/4$ $f_{2}=(2\theta )^{2}/4=2^{2}\theta ^{2}/4\approx 4f_{1}$

Эта интуитивно понятная формулировка принадлежит Дэвиду Мермину . Предел малых углов обсуждается в оригинальной статье Белла и, следовательно, восходит к истокам неравенств Белла. ^{[ необходима цитата ]}

ЧШ неравенство [ править ]

Оригинальное неравенство Обобщая Беллы, ^[2] Джон Клаузера , Майкл Хорн , Абнер Шимони и Р. Холт представили неравенство CHSH , ^[22] , который ставит классические пределы на множестве четырех корреляций в опыте Элис и Боба, без каких - либо предположений о совершенных корреляциях ( или антикорреляции) при одинаковых настройках

(1)\quad C_{h}(a,b)+C_{h}(a,b')+C_{h}(a',b)-C_{h}(a',b')\leq 2.

Создание особого выбора , обозначая , и предполагая , совершенное анти-корреляцию при равных параметрах, совершенной корреляции в противоположных условиях, поэтому и неравенство CHSH сводится к исходному неравенству Беллы. В настоящее время (1) также часто называют просто «неравенством Белла», но иногда более полно «неравенством Белла-ЧШШ». $a'=b+\pi$ $b'=c$ $\rho (a,a+\pi )=1$ $\rho (b,a+\pi )=-\rho (b,a)$

Вывод классической оценки [ править ]

С сокращенными обозначениями

A=A(a,\lambda ),A'=A(a',\lambda ),B=B(b,\lambda ),B'=B(b',\lambda ),

неравенство CHSH можно вывести следующим образом. Каждая из четырех величин есть и каждая зависит от . Отсюда следует, что для любого одно из и равно нулю, а другое - нулю . Из этого следует, что $\pm 1$ $\lambda$ $\lambda \in \Lambda$ $B+B'$ $B-B'$ $\pm 2$

AB+AB'+A'B-A'B'=A(B+B')+A'(B-B')\leq 2,

и поэтому

{\begin{aligned}C_{h}(a,b)+C_{h}(a,b')+C_{h}(a',b)-C_{h}(a',b')&=\int _{\Lambda }ABp\,d\lambda +\int _{\Lambda }AB'p\,d\lambda +\int _{\Lambda }A'Bp\,d\lambda -\int _{\Lambda }A'B'p\,d\lambda \\&=\int _{\Lambda }(AB+AB'+A'B-A'B')p\,d\lambda \\&=\int _{\Lambda }(A(B+B')+A'(B-B'))p\,d\lambda \leq 2.\end{aligned}}

В основе этого вывода лежит простое алгебраическое неравенство относительно четырех переменных , которые принимают только значения : $A,A',B,B'$ $\pm 1$

AB+AB'+A'B-A'B'=A(B+B')+A'(B-B')\leq 2.

Неравенство CHSH зависит только от следующих трех ключевых характеристик теории локальных скрытых переменных: (1) реализм: наряду с результатами фактически выполненных измерений, результаты потенциально выполненных измерений также существуют в то же время; (2) локальность, результаты измерений частицы Алисы не зависят от того, какое измерение Боб выберет для другой частицы; (3) свобода: Алиса и Боб действительно могут свободно выбирать, какие измерения проводить.

Реализм предположение фактически несколько идеалистический, и теорема Белла доказывает только нелокальность по отношению к переменным , которые только существуют для метафизических причин ^{[ править ]} . Однако до открытия квантовой механики и реализм, и локальность были совершенно бесспорными чертами физических теорий.

Предсказания квантовой механики нарушают неравенства CHSH [ править ]

Измерения, выполненные Алисой и Бобом, являются измерениями спина электронов. Алиса может выбрать одну из двух настроек детектора, помеченных и ; эти настройки соответствуют измерению вращения вдоль оси или . Боб может выбрать одну из двух настроек детектора, помеченных и ; они соответствуют измерению вращения вдоль оси или , где система координат повернута на 135 ° относительно системы координат. Спиновые наблюдаемые представлены самосопряженными матрицами 2 × 2: $a$ $a'$ $z$ $x$ $b$ $b'$ $z'$ $x'$ $x'-z'$ $x-z$

S_{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad S_{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

Это спиновые матрицы Паули , собственные значения которых, как известно, равны . Как обычно, мы будем использовать брэкет-нотацию для обозначения собственных векторов as , где $\pm 1$ $S_{z}$ $|0\rangle ,|1\rangle$

|0\rangle \equiv {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.

Рассмотрим теперь единственное состояние, определенное как

|\Phi ^{-}\rangle

|\Phi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0,1\rangle -|1,0\rangle \right),

где мы использовали сокращенные обозначения

|0,1\rangle \equiv |0\rangle \otimes |1\rangle ,|1,0\rangle \equiv |1\rangle \otimes |0\rangle .

Согласно квантовой механике, выбор измерений закодирован в выборе эрмитовых операторов, применяемых к этому состоянию. В частности, рассмотрите следующие операторы:

{\begin{aligned}A(a)&=S_{z}\otimes I\\A(a')&=S_{x}\otimes I\\B(b)&={\frac {-1}{\sqrt {2}}}\ I\otimes (S_{z}+S_{x})\\B(b')&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ I\otimes (S_{z}-S_{x}),\end{aligned}}

где представляют два варианта измерения Алисы и два варианта измерения Боба. $A(a),A(a')$ $B(b),B(b')$

Чтобы получить ожидаемое значение, заданное данным выбором измерения Алисы и Боба, необходимо вычислить математическое ожидание соответствующей пары операторов (например, если выбраны входные данные ) для общего состояния . $A(a)B(b)$ $a,b$ $|\Phi ^{-}\rangle$

Например, ожидаемое значение, соответствующее Алисе, выбирающей параметр измерения, и Бобу, выбирающему параметр измерения, вычисляется как $\langle A(a)B(b)\rangle$ $a$ $b$

\langle A(a)B(b)\rangle \equiv \langle \Phi ^{-}|\left({\frac {-1}{\sqrt {2}}}S_{z}\otimes (S_{x}+S_{z})\right)|\Phi ^{-}\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle \Phi ^{-}|{\Big [}|0\rangle \otimes (|0\rangle -|1\rangle )+|1\rangle \otimes (|1\rangle +|0\rangle ){\Big ]}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.

Аналогичные вычисления используются для получения

{\begin{aligned}\left\langle A(a)B(b)\right\rangle =\left\langle A(a')B(b)\right\rangle =\left\langle A(a')B(b')\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\left\langle A(a)B(b')\right\rangle &=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}

Отсюда следует, что значение, данное данной конкретной экспериментальной установкой, равно

S

\left\langle A(a)B(b)\right\rangle +\left\langle A(a')B(b')\right\rangle +\left\langle A\left(a'\right)B(b)\right\rangle -\left\langle A(a)B(b')\right\rangle ={\frac {4}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}>2.

Теорема Белла: если квантово-механический формализм верен, то система, состоящая из пары запутанных электронов, не может удовлетворять принципу локального реализма. Обратите внимание, что это действительно верхняя граница квантовой механики, называемая границей Цирельсона . Операторы, задающие это максимальное значение, всегда изоморфны матрицам Паули. ^[23] $2{\sqrt {2}}$

Проверка практическими экспериментами [ править ]

Схема «двухканального» теста Белла
Источник S производит пары «фотонов», посылаемые в противоположных направлениях. Каждый фотон встречает двухканальный поляризатор, ориентация которого (a или b) может быть установлена экспериментатором. Сигналы, возникающие из каждого канала, обнаруживаются, а совпадения четырех типов (++, −−, + - и - +) подсчитываются монитором совпадений.

Экспериментальные тесты могут определить, соответствуют ли неравенства Белла, требуемые местным реализмом, эмпирическим данным.

Фактически, большинство экспериментов было выполнено с использованием поляризации фотонов, а не спина электронов (или других частиц со спином половинной длины). Квантовое состояние пары запутанных фотонов не является синглетным состоянием, и соответствие между углами и исходами отличается от такового в установке с половинчатым спином. Поляризация фотона измеряется в паре перпендикулярных направлений. Относительно данной ориентации поляризация бывает вертикальной (обозначается V или +) или горизонтальной (обозначается H или -). Фотонные пары генерируются в квантовом состоянии

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|V\rangle \otimes |V\rangle +|H\rangle \otimes |H\rangle \right)

где и обозначает состояние одного вертикально или горизонтально поляризованного фотона, соответственно ( по отношению к фиксированной и общим опорным направлением для обеих частиц). $|V\rangle$ $|H\rangle$

Когда поляризация обоих фотонов измеряется в одном направлении, оба дают один и тот же результат: идеальную корреляцию. При измерении в направлениях, составляющих угол 45 ° друг с другом, результаты полностью случайны (некоррелированы). Измеряя в направлениях под углом 90 ° друг к другу, эти два изображения идеально антикоррелированы. В общем, когда поляризаторы расположены под углом $θ друг$ к другу, корреляция равна $cos (2 θ)$ . Таким образом, относительно корреляционной функции для синглетного состояния спиновых получастиц у нас есть положительная, а не отрицательная косинусная функция, а углы уменьшены вдвое: корреляция периодическая с периодом $π$ вместо $2 π$ .

Неравенства Белла проверяются «подсчетом совпадений» из тестового эксперимента Белла, такого как оптический эксперимент, показанный на диаграмме. Пары частиц испускаются в результате квантового процесса, анализируются в отношении некоторых ключевых свойств, таких как направление поляризации, а затем обнаруживаются. Установку (ориентацию) анализаторов выбирает экспериментатор.

На сегодняшний день тестовые эксперименты Белла в подавляющем большинстве нарушают неравенство Белла.

Два класса неравенств Белла [ править ]

Проблема честной выборки открыто стояла перед лицом 1970-х годов. В ранних планах своего эксперимента 1973 года Фридман и Клаузер ^[24] использовали справедливую выборку в форме гипотезы Клаузера – Хорна – Шимони – Холта (CHSH ^[22] ). Однако вскоре после этого Клаузер и Хорн ^[20] сделали важное различие между неоднородным (IBI) и однородным (HBI) неравенствами Белла. Тестирование IBI требует, чтобы мы сравнили определенные скорости совпадения в двух отдельных детекторах с одиночными скоростями двух детекторов. Никто не нуждался в проведении эксперимента, потому что одиночные ставки со всеми детекторами в 1970-х годах как минимум в десять раз превышали все уровни совпадений. Итак, принимая во внимание такую низкую эффективность детектора, предсказание QM фактически удовлетворило IBI. Чтобы прийти к экспериментальному плану, в котором предсказание КМ нарушает IBI, нам необходимы детекторы, эффективность которых превышает 82,8% для синглетных состояний ^[25].но имеют очень низкую темноту и короткое время простоя и разрешения. Однако Эберхард (1976) обнаружил, что с вариантом неравенства Клаузера-Хорна и с использованием менее чем максимально запутанных состояний требовалось только 66,67% эффективности обнаружения. Это было достигнуто в 2015 году двумя успешными экспериментами типа Белла «без лазеек» в Вене (Джустина и др.) И в NIST в Боулдере, Колорадо (Шалм и др.) [Ссылки будут добавлены].

Практические задачи [ править ]

Поскольку в то время даже самые лучшие детекторы не регистрировали большую часть всех фотонов, Клаузер и Хорн ^[20] признали, что проверка неравенства Белла требует некоторых дополнительных предположений. Они представили гипотезу об отсутствии улучшений (NEH):

Световой сигнал, возникающий, например, в атомном каскаде , имеет определенную вероятность активировать детектор. Тогда, если между каскадом и детектором установить поляризатор, вероятность обнаружения не может увеличиться.

При таком предположении существует неравенство Белла между частотами совпадений с поляризаторами и частотами совпадений без поляризаторов.

Эксперимент был проведен Фридманом и Клаузером ^[24], которые обнаружили, что неравенство Белла нарушается. Таким образом, гипотеза об отсутствии улучшений не может быть верной в модели локальных скрытых переменных.

В то время как в ранних экспериментах использовались атомные каскады, в более поздних экспериментах использовалось параметрическое преобразование с понижением частоты, следуя предложению Рейда и Уоллса ^{[26], что} дало улучшенные характеристики генерации и обнаружения. В результате недавние эксперименты с фотонами больше не страдают от лазейки для обнаружения. Это сделало фотон первой экспериментальной системой, для которой были преодолены все основные экспериментальные лазейки, хотя сначала только в отдельных экспериментах. С 2015 года экспериментаторы смогли преодолеть все основные экспериментальные лазейки одновременно; см. Тестовые эксперименты Белла .

Интерпретации теоремы Белла [ править ]

Нелокальные скрытые переменные [ править ]

Большинство сторонников идеи скрытых переменных считают, что эксперименты исключили локальные скрытые переменные. Они готовы отказаться от локальности, объясняя нарушение неравенства Белла с помощью нелокальной теории скрытых переменных , в которой частицы обмениваются информацией о своих состояниях. Это основа интерпретации Бома квантовой механики, которая требует, чтобы все частицы во Вселенной могли мгновенно обмениваться информацией со всеми остальными. Эксперимент 2007 года исключил большой класс небомовских нелокальных теорий скрытых переменных. ^[27]

Транзакционная интерпретация квантовой механики [ править ]

Если скрытые переменные могут взаимодействовать друг с другом быстрее света, неравенство Белла может быть легко нарушено. После измерения одной частицы она может сообщить необходимые корреляции другой частице. Поскольку в теории относительности понятие одновременности не является абсолютным, это непривлекательно. Одна из идей состоит в том, чтобы заменить мгновенное общение процессом, который движется назад во времени по световому конусу прошлого . Это идея, лежащая в основе транзакционной интерпретации квантовой механики, которая интерпретирует статистическое появление квантовой истории как постепенное достижение согласия между историями, идущими как вперед, так и назад во времени. ^[28]

Многомировая интерпретация квантовой механики [ править ]

Многомировая интерпретация является локальной и детерминированной, так как она состоит из унитарной части квантовой механики без коллапса. Он может генерировать корреляции, которые нарушают неравенство Белла, поскольку не удовлетворяют неявному предположению, сделанному Беллом, что измерения имеют единственный результат. Фактически, теорема Белла может быть доказана в рамках многомировой системы, исходя из предположения, что измерение имеет единственный результат. Следовательно, нарушение неравенства Белла можно интерпретировать как демонстрацию того, что измерения имеют несколько результатов. ^[29]

Корреляции Белла объясняются тем, что когда Алиса и Боб проводят измерения, они разделяются на локальные ветви. С точки зрения каждой копии Алисы, существует несколько копий Боба, получающих разные результаты, поэтому у Боба не может быть определенного результата, и то же самое верно с точки зрения каждой копии Боба. Они получат взаимно определенный результат только тогда, когда их будущие световые конусы будут перекрывать друг друга. С этого момента мы можем сказать, что корреляция Белла начинает существовать, но она была произведена чисто локальным механизмом. Поэтому нарушение неравенства Белла нельзя интерпретировать как доказательство нелокальности. ^[30]

Супердетерминизм [ править ]

Сам Белл резюмировал один из возможных способов решения этой теоремы, супердетерминизм , в интервью Радио Би-би-си 1985 года:

Есть способ избежать предположений о сверхсветовых скоростях и жутких действиях на расстоянии. Но это предполагает абсолютный детерминизм Вселенной, полное отсутствие свободы воли . Предположим, что мир супердетерминирован, и не только неодушевленная природа работает на закулисных часах, но и наше поведение, в том числе наша вера в то, что мы вправе проводить один эксперимент, а не другой, абсолютно предопределенный, включая ' решение экспериментатора провести одну серию измерений, а не другую, трудность исчезает. Нет необходимости в сигнале, превышающем скорость света, чтобы сообщить частице A, какое измерение было выполнено на частице B., потому что Вселенная, включая частицу A , уже «знает», каким будет это измерение и его результат. ^[31]

Некоторые сторонники детерминированных моделей не отказались от локальных скрытых переменных. Например, Джерард т Хоофт утверждал, что нельзя игнорировать вышеупомянутую лазейку в супердетерминизме . ^[32] Для теории скрытых переменных , если условия Белла верны, результаты, которые согласуются с квантово-механической теорией, по-видимому, указывают на сверхсветовые (опережающие свет) эффекты, что противоречит релятивистской физике .

Также неоднократно заявлялось, что аргументы Белла неуместны, потому что они зависят от скрытых предположений, которые на самом деле сомнительны. Например, ET Jaynes ^[33] утверждал в 1989 г., что в теореме Белла есть два скрытых предположения, которые ограничивают ее общность. По словам Джейнса:

Белл интерпретировал условную вероятность P ( X | Y ) как причинное влияние, то есть Y оказывает причинное влияние на X в действительности. Эта интерпретация является неправильным пониманием теории вероятностей. Как показывает Джейнс ^[33], «невозможно даже правильно рассуждать в такой простой задаче, как извлечение двух шаров из урны Бернулли, если он интерпретирует вероятности таким образом».
Неравенство Белла неприменимо к некоторым возможным теориям скрытых переменных. Это применимо только к определенному классу теорий локальных скрытых переменных. Фактически, он мог просто упустить те теории скрытых переменных, которые больше всего интересуют Эйнштейна.

Ричард Д. Гилл утверждал, что Джейнс неправильно понял анализ Белла. Гилл отмечает, что в том же томе конференции, в котором Джейнс выступает против Белла, Джейнс признается, что был чрезвычайно впечатлен кратким доказательством Стива Галла, представленным на той же конференции, что синглетные корреляции не могут быть воспроизведены компьютерным моделированием местного теория скрытых переменных. ^[34] По словам Джейнса (написавшего почти через 30 лет после выдающегося вклада Белла), нам, вероятно, понадобится еще 30 лет, чтобы полностью оценить потрясающий результат Гулла.

В 2006 году бурная деятельность о последствиях для детерминизма возникла с Конвей и Саймон Б. Кохен «s теоремы свободной воли , ^[35] , который заявил , что «ответ спин 1 частицы в тройном эксперимента свободно , то есть , не является функцией свойств той части вселенной, которая предшествует этому отклику по отношению к любой данной инерциальной системе отсчета ". ^[36] Эта теорема повысила осведомленность о противоречии между детерминизмом, полностью управляющим экспериментом (с одной стороны), и свободой Алисы и Боба выбирать любые настройки, которые им нравятся для своих наблюдений (с другой). ^[37]^[38]Философ Дэвид Ходжсон поддерживает эту теорему как показывающую, что детерминизм ненаучен , тем самым оставляя дверь открытой для нашей собственной свободной воли. ^[39]

Общие замечания [ править ]

Нарушения неравенств Белла из-за квантовой запутанности обеспечивают почти окончательные демонстрации того, о чем уже сильно подозревали: квантовая физика не может быть представлена какой-либо версией классической картины физики. ^[40] Некоторые более ранние элементы, которые казались несовместимыми с классическими изображениями, включали комплементарность и коллапс волновой функции . Нарушения Белла показывают, что никакое решение таких проблем не может избежать крайних странностей квантового поведения. ^[41]

В документе EPR «точно определены» необычные свойства запутанных состояний , например, вышеупомянутое синглетное состояние, которое является основой для современных приложений квантовой физики, таких как квантовая криптография ; одно приложение включает измерение квантовой запутанности как физического источника битов для незаметной передачи Рабина протокол. Эта нелокальность изначально предполагалась иллюзорной, потому что стандартная интерпретация могла легко покончить с действием на расстоянии, просто назначив каждой частице определенные спиновые состояния для всех возможных направлений вращения. Аргумент ЭПР заключался в следующем: следовательно, эти определенные состояния существуют, следовательно, квантовая теория неполна в смысле ЭПР, поскольку они не появляются в теории. Теорема Белла показала, что предсказание квантовой механики о «запутанности» имеет степень нелокальности, которую нельзя объяснить ни одной классической теорией локальных скрытых переменных.

Что сильна в теореме Белла, так это то, что она не относится к какой-либо конкретной теории локальных скрытых переменных. Это показывает, что природа нарушает самые общие предположения, лежащие в основе классических картинок, а не только детали некоторых конкретных моделей. Никакая комбинация локальных детерминированных и локальных случайных скрытых переменных не может воспроизвести явления, предсказанные квантовой механикой и неоднократно наблюдаемые в экспериментах. ^[42]

См. Также [ править ]

Мысленные эксперименты Эйнштейна
Эпистемологические письма
Фундаментальная Группа Фысикс
GHZ эксперимент
Теорема Глисона
Теорема Кохена – Шпекера
Неравенство леггетта
Неравенство Леггетта – Гарга
Измерение в квантовой механике
Проблема Мотта
PBR теорема
Квантовая контекстуальность
Квантовая нелокальность
Эксперимент Реннингера с отрицательным результатом

Заметки [ править ]

^ Эйнштейн, А .; Подольский, Б .; Розен, Н. (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» . Физический обзор . 47 (10): 777–780. Полномочный код : 1935PhRv ... 47..777E . DOI : 10.1103 / PhysRev.47.777 .
^ Б с д е е Bell, JS (1964). "О парадоксе Эйнштейна Подольского и Розена" (PDF) . Физика Физика Физика . 1 (3): 195–200. DOI : 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
^ a b Паркер, Сибил Б. (1994). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 542 . ISBN 978-0-07-051400-3.
^ Мермин, Н. Дэвид (июль 1993). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла» (PDF) . Обзоры современной физики . 65 (3): 803–15. arXiv : 1802.10119 . Bibcode : 1993RvMP ... 65..803M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .
^ Белл, Джон С. (1987). Разговорчивый и невыразимый в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. п. 65. ISBN 9780521368698. OCLC 15053677 .
↑ The BIG Bell Test Collaboration (9 мая 2018 г.). «Бросить вызов местному реализму с помощью человеческого выбора». Природа . 557 (7704): 212–216. arXiv : 1805.04431 . Bibcode : 2018Natur.557..212B . DOI : 10.1038 / s41586-018-0085-3 . PMID 29743691 . S2CID 13665914 .
^ Wolchover, Натали (2017-02-07). «Эксперимент подтверждает квантовую странность» . Журнал Quanta . Проверено 8 февраля 2020 .
↑ Перепечатано в JS Bell (2004). «Глава 2: О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» . Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy (Введение Алена Аспекта к изданию 1987 г.). Издательство Кембриджского университета. С. 14–21. ISBN 978-0521523387.
^ а б Хенсен, В; Bernien, H; Dréau, AE; Райзерер, А; Kalb, N; Блок М.С. Ruitenberg, J; Вермёлен, РФ; Schouten, RN; Абеллан, К; Амая, Вт; Pruneri, V; Митчелл, штат Массачусетс; Маркхэм, М; Твитчен, диджей; Elkouss, D; Венер, S; Таминиау, TH; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode : 2015Natur.526..682H . DOI : 10.1038 / nature15759 . PMID 26503041 . S2CID 205246446 .
^ Zeeya Мерали (2015-08-27). «Квантовая« жуткость »проходит сложнейшее испытание» . Природа . 525 (7567): 14–15. Bibcode : 2015Natur.525 ... 14M . DOI : 10.1038 / nature.2015.18255 . PMID 26333448 .
^ Бом, Дэвид (1951). Квантовая теория . Прентис-Холл.
^ a b Статья Эбнера Шимони о теореме Белла в Стэнфордской энциклопедии философии (2004 г.).
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . п. 423.
^ Мерцбахер, Евгений (2005). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 18, 362.
^ Stapp 1975
^ а б Белл, Дж. С. (1982). «На невозможной пилотной волне» (PDF) . Основы физики . 12 (10): 989–99. Bibcode : 1982FoPh ... 12..989B . DOI : 10.1007 / bf01889272 . S2CID 120592799 . Перепечатано в « Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collection Papers on Quantum Philosophy» . Издательство Кембриджского университета, 2004 г., стр. 160.
^ Мермин, Дэвид (апрель 1985). «Есть ли там луна, когда никто не смотрит? Реальность и квантовая теория» (PDF) . Физика сегодня . 38 (4): 38–47. Bibcode : 1985PhT .... 38d..38M . DOI : 10.1063 / 1.880968 .
^ Стапп, Генри П. (1975). «Теорема Белла и мировой процесс» . Nuovo Cimento . 29B (2): 270–276. Bibcode : 1975NCimB..29..270S . DOI : 10.1007 / BF02728310 . S2CID 117358907 . (Цитата на стр. 271)
^ Эйнштейн, А .; Подольский, Б .; Розен, Н. (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Физический обзор . 47 (10): 777–780. Полномочный код : 1935PhRv ... 47..777E . DOI : 10.1103 / PhysRev.47.777 .
^ a b c Клаузер, Джон Ф. (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий» (PDF) . Physical Review D . 10 (2): 526–535. Полномочный код : 1974PhRvD..10..526C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.10.526 . Архивировано из оригинального (PDF) 25 декабря 2013 года.
Перейти ↑ Eberhard, PH (1977). «Теорема Белла без скрытых переменных» (PDF) . Nuovo Cimento Б . 38 (1): 75–80. arXiv : квант-ph / 0010047 . Bibcode : 1977NCimB..38 ... 75E . CiteSeerX 10.1.1.252.6568 . DOI : 10.1007 / BF02726212 . S2CID 51759163 .
^ a b Клаузер, Джон; Хорн, Майкл; Шимони, Абнер; Холт, Ричард (1969). «Предлагаемый эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных». Письма с физическим обзором . 23 (15): 880–884. Bibcode : 1969PhRvL..23..880C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.23.880 . S2CID 18467053 .
^ Вернер, Рейнхард Ф .; Вольф, Майкл М. (2001). «Колокол неравенства и запутанность». Квантовая информация и вычисления . 1 (3): 1-25. arXiv : квант-ph / 0107093 . Bibcode : 2001quant.ph..7093W .(Раздел 5.3 «Операторы максимального нарушения».) Саммерс, Стивен Дж .; Вернер, Рейнхард Ф. (1987). «Неравенства Белла и квантовая теория поля. I. Общие положения». Журнал математической физики . 28 (10): 2440–2447. Bibcode : 1987JMP .... 28.2440S . DOI : 10.1063 / 1.527733 .(Страница 2442) См. Также: Цирельсон, Борис (1987). «Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух пространственно разделенных областей». Журнал советской математики . 36 (4): 557–570. DOI : 10.1007 / BF01663472 . S2CID 119363229 . (Раздел 3 «Представление экстремальных корреляций».)
^ a b Freedman, Стюарт Дж .; Клаузер, Джон Ф. (1972). "Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных" (PDF) . Письма с физическим обзором . 28 (14): 938–941. Bibcode : 1972PhRvL..28..938F . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.28.938 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 июня 2013 года . Проверено 24 декабря 2013 .
^ Гарг, Анупам ; Н. Д. Мермин (1987), "Неэффективность детекторов в эксперименте Эйнштейна-Подольского-Розена", Phys. Rev. D , 25 (12): 3831-5, Bibcode : 1987PhRvD..35.3831G , DOI : 10,1103 / PhysRevD.35.3831 , PMID 9957644
^ Рид, Мэриленд ; Уоллс, Д.Ф. (1986). «Нарушения классических неравенств в квантовой оптике». Physical Review . 34 (2): 1260–1276. Bibcode : 1986PhRvA..34.1260R . DOI : 10.1103 / PhysRevA.34.1260 . PMID 9897387 .
^ Грёблахер, Симон; Патерек, Томаш; Кальтенбек, Райнер; Брукнер, Часлав; Луковски, Марек; Аспельмейер, Маркус; Цайлингер, Антон (2007). «Экспериментальная проверка нелокального реализма». Природа . 446 (7138): 871–5. arXiv : 0704.2529 . Bibcode : 2007Natur.446..871G . DOI : 10,1038 / природа05677 . PMID 17443179 . S2CID 4412358 .
^ Крамер, Джон (1986). «Транзакционная интерпретация квантовой механики». Обзоры современной физики . 58 (3): 647–687. Bibcode : 1986RvMP ... 58..647C . DOI : 10.1103 / RevModPhys.58.647 .
^ Дэвид Дойч; Патрик Хайден (200). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества А . 456 (1999): 1759–1774. arXiv : квант-ph / 9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759D . DOI : 10.1098 / RSPA.2000.0585 . S2CID 13998168 .
^ Харви Р. Браун; Кристофер Г. Тимпсон (2016). "Белл о теореме Белла: изменяющееся лицо нелокальности". В Мэри Белл; Шан Гао (ред.). Квантовая нелокальность и реальность: 50 лет теореме Белла . Издательство Кембриджского университета. С. 91–123. arXiv : 1501.03521 . DOI : 10.1017 / CBO9781316219393.008 . ISBN 9781316219393. S2CID 118686956 .
↑ Цитата представляет собой адаптацию отредактированной записи радиоинтервью с Джоном Беллом 1985 года. См. «Призрак в атоме: обсуждение тайн квантовой физики » Пола К.У. Дэвиса и Джулиана Р. Брауна, 1986/1993, стр. 45-46
^ 'т Хоофт, Джерард (2016). Интерпретация квантовой механики клеточным автоматом . Фундаментальные теории физики. 185 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41285-6 . ISBN 978-3-319-41284-9. OCLC 951761277 . S2CID 7779840 .
^ a b Джейнс, ET (1989). «Раскрытие тайн - изначальная цель». Раскрытие тайн - исходная цель (PDF) . Максимальная энтропия и байесовские методы . С. 1–27. CiteSeerX 10.1.1.46.1264 . DOI : 10.1007 / 978-94-015-7860-8_1 . ISBN 978-90-481-4044-2.
^ Гилл, Ричард Д. (2003). «Время, конечная статистика и пятая позиция Белла». Proc. «Основы теории вероятностей и физики - 2», сер. Математика. Моделирование в физике, машиностроении и когн. Sc . 5/2002: 179–206. arXiv : квант-ph / 0301059 . Bibcode : 2003quant.ph..1059G .
^ Конвей, Джон ; Кочен, Саймон (2006). «Теорема о свободе воли». Основы физики . 36 (10): 1441–1473. arXiv : квант-ph / 0604079 . Bibcode : 2006FoPh ... 36.1441C . DOI : 10.1007 / s10701-006-9068-6 . S2CID 12999337 .
^ Конвей, Джон Х .; Кочен, Саймон (2009). «Теорема сильной свободы воли» (PDF) . Уведомления AMS . 56 (2): 226–232. arXiv : 0807.3286 . Bibcode : 2008arXiv0807.3286C .
^ Каторый, Эрик и Клаас Ландсман (2014). «Ограничения на детерминизм: Белл против Конвея – Кохена». Основы физики . 44 (7): 781–791. arXiv : 1402,1972 . Bibcode : 2014FoPh ... 44..781C . DOI : 10.1007 / s10701-014-9815-z . S2CID 14532489 .
^ Эсфельд, Майкл (2015). «Теорема Белла и проблема детерминизма и индетерминизма». Основы физики . 45 (5): 471–482. arXiv : 1503.00660 . Bibcode : 2015FoPh ... 45..471E . DOI : 10.1007 / s10701-015-9883-8 . S2CID 49363278 .
^ Дэвид Ходжсон (2012). «Глава 7: Наука и детерминизм» . Рациональность + Сознание = Свобода Воли . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199845309.
^ Пенроуз, Роджер (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. п. 583. ISBN. 978-0-679-77631-4.
^ Абер, E. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. С. 193–195. ISBN 9780131461000.
^ RG Lerner; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ. п. 495 . ISBN 978-0-89573-752-6.

Ссылки [ править ]

Aspect, A .; и другие. (1981). «Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла» . Phys. Rev. Lett . 47 (7): 460–463. Bibcode : 1981PhRvL..47..460A . DOI : 10.1103 / physrevlett.47.460 .
Aspect, A .; и другие. (1982). «Экспериментальная реализация геданкенэксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена – Бома: новое нарушение неравенств Белла» . Phys. Rev. Lett . 49 (2): 91–94. Bibcode : 1982PhRvL..49 ... 91А . DOI : 10.1103 / physrevlett.49.91 .
Aspect, A .; и другие. (1982). «Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием нестационарных анализаторов» . Phys. Rev. Lett . 49 (25): 1804–1807. Bibcode : 1982PhRvL..49.1804A . DOI : 10.1103 / physrevlett.49.1804 .
Aspect, A .; Гранжье, П. (1985). «О резонансном рассеянии и других гипотетических эффектах в тестах атомно-каскадного эксперимента Орсе неравенства Белла: обсуждение и некоторые новые экспериментальные данные». Lettere al Nuovo Cimento . 43 (8): 345–348. DOI : 10.1007 / bf02746964 . S2CID 120840672 .
Д'Эспанья, Б. (1979). «Квантовая теория и реальность» (PDF) . Scientific American . 241 (5): 158–181. Bibcode : 1979SciAm.241e.158D . DOI : 10.1038 / Scientificamerican1179-158 .
Белл, JS (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Ред. Мод. Phys . 38 (3): 447–452. Полномочный код : 1966RvMP ... 38..447B . DOI : 10,1103 / revmodphys.38.447 . ОСТИ 1444158 .
Белл, JS (1964). "О парадоксе Эйнштейна Подольского и Розена" (PDF) . Физика Физика Физика . 1 (3): 195–200. DOI : 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
Дж. С. Белл, Введение в вопрос о скрытых переменных , Труды Международной школы физики «Энрико Ферми», Курс IL, Основы квантовой механики (1971) 171–81
Дж. С. Белл, носки Бертльмана и природа реальности , Journal de Physique, Colloque C2, Suppl. au number 3, Tome 42 (1981) pp C2 41–61
JS Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 1987) [Сборник статей Белла, включая все вышеперечисленное].
Clauser, JF; Шимони, А. (1978). «Теорема Белла: экспериментальные проверки и выводы» (PDF) . Отчеты о достижениях физики . 41 (12): 1881–1927. Bibcode : 1978RPPh ... 41.1881C . CiteSeerX 10.1.1.482.4728 . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 41/12/002 .
Clauser, JF; Хорн, Массачусетс (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий». Phys. Rev. D . 10 (2): 526–535. Полномочный код : 1974PhRvD..10..526C . DOI : 10.1103 / physrevd.10.526 .
Фрай, ES; Вальтер, Т .; Ли, С. (1995). «Предложение для проверки неравенств Белла без лазеек» (PDF) . Phys. Rev. A . 52 (6): 4381–4395. Bibcode : 1995PhRvA..52.4381F . DOI : 10.1103 / physreva.52.4381 . ЛВП : 1969,1 / 126533 . PMID 9912775 .
Е.С. Фрай и Т. Вальтер, основанные на атомах тесты неравенств Белла - наследие Джона Белла продолжается , стр. 103–117 из Quantum [Un] Speakables , Р.А. Бертлманн и А. Цайлингер (ред.) (Springer, Berlin-Heidelberg) -Нью-Йорк, 2002 г.)
Р. Б. Гриффитс, Согласованная квантовая теория » , Издательство Кембриджского университета (2002).
Харди, Л. (1993). «Нелокальность для 2-х частиц без неравенств почти для всех запутанных состояний». Письма с физическим обзором . 71 (11): 1665–1668. Bibcode : 1993PhRvL..71.1665H . DOI : 10.1103 / physrevlett.71.1665 . PMID 10054467 . S2CID 11839894 .
М.А. Нильсен и И.Л. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация , Cambridge University Press (2000)
Перл, П. (1970). «Пример скрытой переменной, основанный на отклонении данных». Physical Review D . 2 (8): 1418–25. Полномочный код : 1970PhRvD ... 2.1418P . DOI : 10.1103 / physrevd.2.1418 .
А. Перес, Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, Dordrecht, 1993.
П. Плух, Теория квантовой вероятности , докторская диссертация, Клагенфуртский университет, 2006.
BC ван Фрассен, Квантовая механика , Clarendon Press, 1991.
Роу, Массачусетс; Kielpinski, D .; Мейер, В .; Сакетт, Калифорния; Итано, ВМ; Monroe, C .; Вайнленд, ди-джей (2001). «Экспериментальное нарушение неравенств Белла с эффективным обнаружением» (PDF) . Природа . 409 (6822): 791–794. Bibcode : 2001Natur.409..791K . DOI : 10.1038 / 35057215 . ЛВП : 2027,42 / 62731 . PMID 11236986 . S2CID 205014115 .
Sulcs, S. (2003). «Природа света и экспериментальная физика ХХ века». Основы науки . 8 (4): 365–391. DOI : 10,1023 / A: 1026323203487 . S2CID 118769677 .
Gröblacher, S .; и другие. (2007). «Экспериментальная проверка нелокального реализма». Природа . 446 (7138): 871–875. arXiv : 0704.2529 . Bibcode : 2007Natur.446..871G . DOI : 10,1038 / природа05677 . PMID 17443179 . S2CID 4412358 .
Мацукевич, Д.Н. Maunz, P .; Moehring, DL; Olmschenk, S .; Монро, К. (2008). «Нарушение неравенства Белла с двумя удаленными атомными кубитами». Phys. Rev. Lett . 100 (15): 150404. arXiv : 0801.2184 . Bibcode : 2008PhRvL.100o0404M . DOI : 10.1103 / physrevlett.100.150404 . PMID 18518088 . S2CID 11536757 .
Шимони, Абнер . «Теорема Белла» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

Дальнейшее чтение [ править ]

Следующие предназначены для широкой аудитории.

Амир Д. Акзель, Запутанность: величайшая загадка физики (Четыре стены, восемь окон, Нью-Йорк, 2001).
А. Африат и Ф. Селлери, Парадокс Эйнштейна, Подольского и Розена (Plenum Press, Нью-Йорк и Лондон, 1999)
Дж. Бэгготт, Значение квантовой теории (Oxford University Press, 1992)
Н. Дэвид Мермин, «Есть ли Луна там, когда никто не смотрит? Реальность и квантовая теория», в Physics Today , апрель 1985 г., стр. 38–47.
Луиза Гилдер, Эпоха запутанности: когда возродилась квантовая физика (Нью-Йорк: Альфред А. Кнопф, 2008 г.)
Брайан Грин, Ткань Космоса (Винтаж, 2004, ISBN 0-375-72720-5 )
Ник Герберт, Квантовая реальность: за пределами новой физики (якорь, 1987, ISBN 0-385-23569-0 )
Д. Вик, Печально известная граница: семь десятилетий противоречий в квантовой физике (Биркхаузер, Бостон, 1995)
Р. Антон Уилсон, Восход Прометея (New Falcon Publications, 1997, ISBN 1-56184-056-4 )
Гэри Зукав « Танцующие мастера Ву Ли » (Вечная классика, 2001, ISBN 0-06-095968-1 )
Гольдштейн, Шелдон; и другие. (2011). «Теорема Белла» . Scholarpedia . 6 (10): 8378. Bibcode : 2011SchpJ ... 6.8378G . DOI : 10,4249 / scholarpedia.8378 .
Мермин, Н.Д. (1981). «Возвращение домой атомного мира: квантовые загадки для всех». Американский журнал физики . 49 (10): 940–943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . DOI : 10.1119 / 1.12594 . S2CID 122724592 .

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Quantum_Mechanics

В Викиверситете есть учебные ресурсы о Bell's_theorem

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой Белла .

Мермин: жуткие действия на расстоянии? Лекция Оппенгеймера
Квантовая запутанность, доктор Эндрю Х. Томас .
Теорема Белла с простой математикой Дэвида Р. Шнайдера . Еще одно простое объяснение неравенства Белла.
Интерактивные эксперименты с одиночными фотонами: запутанность и теорема Белла
Статья Эбнера Шимони о теореме Белла в Стэнфордской энциклопедии философии
«Теорема Белла» . Интернет-энциклопедия философии .
"Неравенства Белла" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Жуткое действие на расстоянии: объяснение теоремы Белла

[EPR-1] Эйнштейн, А .; Подольский, Б .; Розен, Н. (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» . Физический обзор . 47 (10): 777–780. Полномочный код : 1935PhRv ... 47..777E . DOI : 10.1103 / PhysRev.47.777 .

[Bell1964-2] Б с д е е Bell, JS (1964). "О парадоксе Эйнштейна Подольского и Розена" (PDF) . Физика Физика Физика . 1 (3): 195–200. DOI : 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .

[C.B._Parker_1994_542-3] Паркер, Сибил Б. (1994). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 542 . ISBN 978-0-07-051400-3.

[ND_Mermin_1993-07-4] Мермин, Н. Дэвид (июль 1993). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла» (PDF) . Обзоры современной физики . 65 (3): 803–15. arXiv : 1802.10119 . Bibcode : 1993RvMP ... 65..803M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .

[5] Белл, Джон С. (1987). Разговорчивый и невыразимый в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. п. 65. ISBN 9780521368698. OCLC 15053677 .

[NAT-20180509-6] The BIG Bell Test Collaboration (9 мая 2018 г.). «Бросить вызов местному реализму с помощью человеческого выбора». Природа . 557 (7704): 212–216. arXiv : 1805.04431 . Bibcode : 2018Natur.557..212B . DOI : 10.1038 / s41586-018-0085-3 . PMID 29743691 . S2CID 13665914 .

[7] Wolchover, Натали (2017-02-07). «Эксперимент подтверждает квантовую странность» . Журнал Quanta . Проверено 8 февраля 2020 .

[8] Перепечатано в JS Bell (2004). «Глава 2: О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» . Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy (Введение Алена Аспекта к изданию 1987 г.). Издательство Кембриджского университета. С. 14–21. ISBN 978-0521523387.

[ReferenceA-9] а б Хенсен, В; Bernien, H; Dréau, AE; Райзерер, А; Kalb, N; Блок М.С. Ruitenberg, J; Вермёлен, РФ; Schouten, RN; Абеллан, К; Амая, Вт; Pruneri, V; Митчелл, штат Массачусетс; Маркхэм, М; Твитчен, диджей; Elkouss, D; Венер, S; Таминиау, TH; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode : 2015Natur.526..682H . DOI : 10.1038 / nature15759 . PMID 26503041 . S2CID 205246446 .

[10] Zeeya Мерали (2015-08-27). «Квантовая« жуткость »проходит сложнейшее испытание» . Природа . 525 (7567): 14–15. Bibcode : 2015Natur.525 ... 14M . DOI : 10.1038 / nature.2015.18255 . PMID 26333448 .

[11] Бом, Дэвид (1951). Квантовая теория . Прентис-Холл.

[Stanford-12] Статья Эбнера Шимони о теореме Белла в Стэнфордской энциклопедии философии (2004 г.).

[13] Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . п. 423.

[14] Мерцбахер, Евгений (2005). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 18, 362.

[15] Stapp 1975

[Bell_1982-16] а б Белл, Дж. С. (1982). «На невозможной пилотной волне» (PDF) . Основы физики . 12 (10): 989–99. Bibcode : 1982FoPh ... 12..989B . DOI : 10.1007 / bf01889272 . S2CID 120592799 . Перепечатано в « Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collection Papers on Quantum Philosophy» . Издательство Кембриджского университета, 2004 г., стр. 160.

[17] Мермин, Дэвид (апрель 1985). «Есть ли там луна, когда никто не смотрит? Реальность и квантовая теория» (PDF) . Физика сегодня . 38 (4): 38–47. Bibcode : 1985PhT .... 38d..38M . DOI : 10.1063 / 1.880968 .

[18] Стапп, Генри П. (1975). «Теорема Белла и мировой процесс» . Nuovo Cimento . 29B (2): 270–276. Bibcode : 1975NCimB..29..270S . DOI : 10.1007 / BF02728310 . S2CID 117358907 . (Цитата на стр. 271)

[19] Эйнштейн, А .; Подольский, Б .; Розен, Н. (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Физический обзор . 47 (10): 777–780. Полномочный код : 1935PhRv ... 47..777E . DOI : 10.1103 / PhysRev.47.777 .

[Clauser–Horne-20] Клаузер, Джон Ф. (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий» (PDF) . Physical Review D . 10 (2): 526–535. Полномочный код : 1974PhRvD..10..526C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.10.526 . Архивировано из оригинального (PDF) 25 декабря 2013 года.

[21] Перейти ↑ Eberhard, PH (1977). «Теорема Белла без скрытых переменных» (PDF) . Nuovo Cimento Б . 38 (1): 75–80. arXiv : квант-ph / 0010047 . Bibcode : 1977NCimB..38 ... 75E . CiteSeerX 10.1.1.252.6568 . DOI : 10.1007 / BF02726212 . S2CID 51759163 .

[Clauser_1969-22] Клаузер, Джон; Хорн, Майкл; Шимони, Абнер; Холт, Ричард (1969). «Предлагаемый эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных». Письма с физическим обзором . 23 (15): 880–884. Bibcode : 1969PhRvL..23..880C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.23.880 . S2CID 18467053 .

[23] Вернер, Рейнхард Ф .; Вольф, Майкл М. (2001). «Колокол неравенства и запутанность». Квантовая информация и вычисления . 1 (3): 1-25. arXiv : квант-ph / 0107093 . Bibcode : 2001quant.ph..7093W .(Раздел 5.3 «Операторы максимального нарушения».) Саммерс, Стивен Дж .; Вернер, Рейнхард Ф. (1987). «Неравенства Белла и квантовая теория поля. I. Общие положения». Журнал математической физики . 28 (10): 2440–2447. Bibcode : 1987JMP .... 28.2440S . DOI : 10.1063 / 1.527733 .(Страница 2442) См. Также: Цирельсон, Борис (1987). «Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух пространственно разделенных областей». Журнал советской математики . 36 (4): 557–570. DOI : 10.1007 / BF01663472 . S2CID 119363229 . (Раздел 3 «Представление экстремальных корреляций».)

[Clauser–Freedman-24] Freedman, Стюарт Дж .; Клаузер, Джон Ф. (1972). "Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных" (PDF) . Письма с физическим обзором . 28 (14): 938–941. Bibcode : 1972PhRvL..28..938F . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.28.938 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 июня 2013 года . Проверено 24 декабря 2013 .

[Garg_&_Mermin,_1987-25] Гарг, Анупам ; Н. Д. Мермин (1987), "Неэффективность детекторов в эксперименте Эйнштейна-Подольского-Розена", Phys. Rev. D , 25 (12): 3831-5, Bibcode : 1987PhRvD..35.3831G , DOI : 10,1103 / PhysRevD.35.3831 , PMID 9957644

[26] Рид, Мэриленд ; Уоллс, Д.Ф. (1986). «Нарушения классических неравенств в квантовой оптике». Physical Review . 34 (2): 1260–1276. Bibcode : 1986PhRvA..34.1260R . DOI : 10.1103 / PhysRevA.34.1260 . PMID 9897387 .

[27] Грёблахер, Симон; Патерек, Томаш; Кальтенбек, Райнер; Брукнер, Часлав; Луковски, Марек; Аспельмейер, Маркус; Цайлингер, Антон (2007). «Экспериментальная проверка нелокального реализма». Природа . 446 (7138): 871–5. arXiv : 0704.2529 . Bibcode : 2007Natur.446..871G . DOI : 10,1038 / природа05677 . PMID 17443179 . S2CID 4412358 .

[28] Крамер, Джон (1986). «Транзакционная интерпретация квантовой механики». Обзоры современной физики . 58 (3): 647–687. Bibcode : 1986RvMP ... 58..647C . DOI : 10.1103 / RevModPhys.58.647 .

[29] Дэвид Дойч; Патрик Хайден (200). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества А . 456 (1999): 1759–1774. arXiv : квант-ph / 9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759D . DOI : 10.1098 / RSPA.2000.0585 . S2CID 13998168 .

[30] Харви Р. Браун; Кристофер Г. Тимпсон (2016). "Белл о теореме Белла: изменяющееся лицо нелокальности". В Мэри Белл; Шан Гао (ред.). Квантовая нелокальность и реальность: 50 лет теореме Белла . Издательство Кембриджского университета. С. 91–123. arXiv : 1501.03521 . DOI : 10.1017 / CBO9781316219393.008 . ISBN 9781316219393. S2CID 118686956 .

[31] Цитата представляет собой адаптацию отредактированной записи радиоинтервью с Джоном Беллом 1985 года. См. «Призрак в атоме: обсуждение тайн квантовой физики » Пола К.У. Дэвиса и Джулиана Р. Брауна, 1986/1993, стр. 45-46

[32] 'т Хоофт, Джерард (2016). Интерпретация квантовой механики клеточным автоматом . Фундаментальные теории физики. 185 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41285-6 . ISBN 978-3-319-41284-9. OCLC 951761277 . S2CID 7779840 .

[E.T._Jaynes_1989-33] Джейнс, ET (1989). «Раскрытие тайн - изначальная цель». Раскрытие тайн - исходная цель (PDF) . Максимальная энтропия и байесовские методы . С. 1–27. CiteSeerX 10.1.1.46.1264 . DOI : 10.1007 / 978-94-015-7860-8_1 . ISBN 978-90-481-4044-2.

[34] Гилл, Ричард Д. (2003). «Время, конечная статистика и пятая позиция Белла». Proc. «Основы теории вероятностей и физики - 2», сер. Математика. Моделирование в физике, машиностроении и когн. Sc . 5/2002: 179–206. arXiv : квант-ph / 0301059 . Bibcode : 2003quant.ph..1059G .

[35] Конвей, Джон ; Кочен, Саймон (2006). «Теорема о свободе воли». Основы физики . 36 (10): 1441–1473. arXiv : квант-ph / 0604079 . Bibcode : 2006FoPh ... 36.1441C . DOI : 10.1007 / s10701-006-9068-6 . S2CID 12999337 .

[36] Конвей, Джон Х .; Кочен, Саймон (2009). «Теорема сильной свободы воли» (PDF) . Уведомления AMS . 56 (2): 226–232. arXiv : 0807.3286 . Bibcode : 2008arXiv0807.3286C .

[37] Каторый, Эрик и Клаас Ландсман (2014). «Ограничения на детерминизм: Белл против Конвея – Кохена». Основы физики . 44 (7): 781–791. arXiv : 1402,1972 . Bibcode : 2014FoPh ... 44..781C . DOI : 10.1007 / s10701-014-9815-z . S2CID 14532489 .

[38] Эсфельд, Майкл (2015). «Теорема Белла и проблема детерминизма и индетерминизма». Основы физики . 45 (5): 471–482. arXiv : 1503.00660 . Bibcode : 2015FoPh ... 45..471E . DOI : 10.1007 / s10701-015-9883-8 . S2CID 49363278 .

[39] Дэвид Ходжсон (2012). «Глава 7: Наука и детерминизм» . Рациональность + Сознание = Свобода Воли . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199845309.

[40] Пенроуз, Роджер (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. п. 583. ISBN. 978-0-679-77631-4.

[41] Абер, E. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. С. 193–195. ISBN 9780131461000.

[42] RG Lerner; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ. п. 495 . ISBN 978-0-89573-752-6.

[1]