Решетка Бете

Решетка Бете с координационным числом z = 3

Решетка Беты , вводится в литературу физика Hans Бетя в 1935 году, является бесконечными подключенными циклом свободных граф , где вершины все имеют одинаковую валентность. В математической литературе решетка Бете называется правильным деревом. В таком графе каждый узел связан с z соседями; в физической литературе z называется координационным числом . В математической литературе z называется степенью правильного дерева. Когда один узел выбран в качестве корневого, все остальные узлы расположены в оболочках вокруг этого корневого узла, который затем также называется началом решетки. Количество узлов в k-я оболочка задается

{\ displaystyle \, N_ {k} = z (z-1) ^ {k-1} {\ text {for}} k> 0.}

(Обратите внимание, что решетка Бете на самом деле является некорневым деревом, поскольку любая вершина будет одинаково хорошо служить корнем.)

В некоторых ситуациях определение изменяется, чтобы указать, что корневой узел имеет z - 1 соседей. ^{[ необходима цитата ]}

Благодаря своей отличительной топологической структуре, статистическая механика из решетчатых моделей на этом графике, часто точно решаемая. Решения относятся к часто используемому приближению Бете для этих систем.

Связь с графами Кэли и деревьями Кэли [ править ]

Граф Бете четного координационного числа 2 n изоморфен неориентированному графу Кэли свободной группы ранга n относительно свободного порождающего множества.

Решетки в группах Ли [ править ]

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических групп Ли , таких как фуксовы группы . Как таковые, они также являются решетками в смысле решетки в группе Ли .

См. Также [ править ]

Кристалл

Ссылки [ править ]

Бете, HA (1935). «Статистическая теория сверхрешеток» . Proc. Рой. Soc. Лондон. . 150 : 552–575. Bibcode : 1935RSPSA.150..552B . DOI : 10.1098 / rspa.1935.0122 . Zbl 0012.04501 .
Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решаемые модели в статистической механике . Академическая пресса. ISBN 0-12-083182-1. Zbl 0538.60093 .
Остилли, М. (2012). «Деревья Кэли и решетки Бете, краткий анализ для математиков и физиков». Physica . 391 : 3417. arXiv : 1109.6725 . Bibcode : 2012PhyA..391.3417O . DOI : 10.1016 / j.physa.2012.01.038 .