В геометрии , то двоичное разбиение (иногда называемый Böröczky плиточные ) [1] является разбиение на гиперболической плоскости , напоминающее квадрадерево над полуплоскости модели Пуанкаре гиперболической плоскости. Впервые он был изучен в 1974 году Карой Бёрёчки . [2] [3] [4]
Плитка [ править ]
Плитки представляют собой фигуры, ограниченные тремя орициклическими сегментами (два из которых являются частью одного орицикла) и двумя линейными сегментами . Все плитки совпадают. Хотя они моделируются квадратами или прямоугольниками модели Пуанкаре, плитки имеют пять сторон, а не четыре, и не являются гиперболическими многоугольниками, потому что их орициклические края не прямые. [2] В качестве альтернативы комбинаторно эквивалентная мозаика использует гиперболические пятиугольники, которые соединяют одни и те же вершины в одном образце. В этой форме мозаики плитки не отображаются в виде прямоугольников в модели полуплоскости, а орициклы, образованные последовательностями ребер, заменяются апейрогонами .
Перечисление и апериодичность [ править ]
Эти плитки создают несчетное количество различных мозаик гиперболической плоскости, даже когда они изменяются путем добавления выступов и углублений, чтобы заставить их пересекаться от края до края. Ни одно из этих различных мозаик не является периодическим (имеющим кокомпактную группу симметрии) [2] [5], хотя некоторые (например, линия, в которой существует линия, полностью покрытая краями плитки) имеют одномерную бесконечную группу симметрии .
Заявление [ править ]
Этот тайлинг можно использовать, чтобы показать, что гиперболическая плоскость имеет мозаики конгруэнтными плитками произвольно малой площади. [3]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Долбилин, Николай; Фреттлё, Дирк. «Свойства мозаик Бёрёчки в многомерных гиперболических пространствах» (PDF) . Европейский журнал комбинаторики . 31 (4): 1181–1195. DOI : 10.1016 / j.ejc.2009.11.016 .
- ^ a b c Радин, Чарльз (2004). "Орбиты сфер: упаковка сфер встречает мозаики Пенроуза" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (2): 137–149. DOI : 10.2307 / 4145214 . JSTOR 4145214 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ a b Агол, Ян (26 января 2018 г.). «Наименьшая плитка для мозаики гиперболической плоскости» . MathOverflow . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- ^ Böröczky, Кара (1974). "Gömbkitöltések állandó görbületű terekben I" . Математикаи Лапок (на венгерском). 25 : 265–306. Цитирует Радин.
- ^ Пенроуз, Р. (1979–1980). «Пентаплексичность: класс непериодических мозаик плоскости». Математический интеллигент . 2 (1): 32–37. DOI : 10.1007 / BF03024384 . Руководство по ремонту 0558670 . CS1 maint: discouraged parameter (link)