Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пятнадцатый monohedral выпуклого пятиугольного типа , обнаруженный в 2015 году

В геометрии , A пятиугольной плиточные является разбиение плоскости , где каждая отдельная часть находится в форме пятиугольника .

Регулярная пятиугольной плиточные на евклидовой плоскости невозможно , так как внутренний угол из правильного пятиугольника , 108 °, не является делителем 360 °, угол мера всего поворота . Однако правильные пятиугольники могут перекрывать гиперболическую плоскость и сферу ; последний дает замощение, топологически эквивалентное додекаэдру . [1]

Моноэдральные выпуклые пятиугольные мозаики [ править ]

Пример пятиугольной плитки с метками углов A, B, C, D и E и метками длины кромки a, b, c, d и e

Известно пятнадцать типов выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость моноэдрально (то есть с одним типом плитки). [2] Самый последний из них был обнаружен в 2015 году. Рао (2017) показал, что этот список является полным (результат подлежит экспертной оценке). Багина (2011) показал, что существует только восемь выпуклых типов от края до края , результат независимо получен Сугимото (2012) .

Микаэль Рао из Высшей нормальной школы Лиона заявил в мае 2017 года, что нашел доказательство того, что на самом деле нет выпуклых пятиугольников, выходящих за пределы этих 15 типов. [3] По состоянию на 11 июля 2017 года первая половина доказательства Рао была независимо проверена (имеется компьютерный код [4] ) Томасом Хейлсом, профессором математики в Университете Питтсбурга. [5] По состоянию на декабрь 2017 года доказательство еще не прошло полную рецензию.

Каждое перечисленное семейство листов содержит пятиугольники, не принадлежащие ни к какому другому типу; однако некоторые отдельные пятиугольники могут принадлежать к нескольким типам. Кроме того, некоторые из пятиугольников в известных типах листов также допускают альтернативные шаблоны мозаики помимо стандартной мозаики, представленной всеми членами этого типа.

Стороны длиной a , b , c , d , e повернуты прямо по часовой стрелке от углов в вершинах A , B , C , D , E соответственно. (Таким образом, A , B , C , D , E противоположны d , e , a , b , c соответственно.)

15 одноугольных пятиугольных плиток
12345

B + C = 180 °
A + D + E = 360 °
c = e
B + D = 180 °
a = b, d = c + e
A = C = D = 120 °
b = c, d = e
B = D = 90 °
a = b, d = e
A = 60 °, D = 120 °
678910

a = d = e, b = c
B + D = 180 °, 2B = E
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360 °
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360 °
b = c = d = e
2A + C = D + 2E = 360 °
a = b = c + e
A = 90 °, B + E = 180 °
B + 2C = 360 °
1112131415

2a + c = d = e
A = 90 °, C + E = 180 °
2B + C = 360 °
2a = d = c + e
A = 90 °, C + E = 180 °
2B + C = 360 °
d = 2a = 2e
B = E = 90 °
2A + D = 360 °
2a = 2c = d = e
A = 90 °, B ≈ 145,34 °, C ≈ 69,32 °
D ≈ 124,66 °, E ≈ 110,68 °
(2B + C = 360 °, C + E = 180 °)

a = c = e, b = 2a
A = 150 °, B = 60 °, C = 135 °
D = 105 °, E = 90 °

Многие из этих типов моноэдральной плитки имеют степени свободы. Эти свободы включают вариации внутренних углов и длин кромок. В пределе кромки могут иметь длину, приближающуюся к нулю, или углы, приближающиеся к 180 °. Типы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 позволяют параметрические возможности с невыпуклыми прототипами.

Периодические плитки характеризуются своей симметрией группы обоев , например p2 (2222) определяется четырьмя точками 2-кратного вращения. Эта номенклатура используется на диаграммах ниже, где плитки также окрашены в соответствии с их k -изоэдрическими положениями в пределах симметрии.

Примитивный блок является сечением кровли , который генерирует всю черепицу с использованием только переводов, и как можно меньше .

Рейнхардт (1918) [ править ]

Рейнхардт (1918) обнаружил первые пять типов пятиугольной плитки. Все пять могут создавать изоэдральные мозаики, что означает, что симметрии мозаики могут переводить любую плитку в любую другую плитку (более формально группа автоморфизмов действует на плитках транзитивно ).

Б. Грюнбаум и Г. К. Шепард показали, что существует ровно двадцать четыре различных «типа» равногранных мозаик плоскости пятиугольниками в соответствии с их классификационной схемой. [6] Все используют плитки Рейнхардта, обычно с дополнительными условиями, необходимыми для укладки плитки. Есть две плитки всех типов 2 и по одной плитки каждого из четырех других типов. Пятнадцать из остальных восемнадцати плиток относятся к частным случаям плиток типа 1. Девять из двадцати четырех плиток расположены от края до края. [7]

Существуют также 2-равногранные мозаики частными случаями плиток типа 1, типа 2 и типа 4, а также 3-равногранные мозаики, все от края до края, частными случаями плиток типа 1. Не существует верхней границы k для k-изоэдральных мозаик определенными плитками, которые относятся как к типу 1, так и к типу 2, и, следовательно, ни на количество плиток в примитивной единице.

Обои группы симметрия для каждого разбиения даются с орбиобразием обозначений в скобках. Вторая группа более низкой симметрии дается, если существует хиральность плитки , где зеркальные изображения считаются различными. В таких случаях они отображаются в виде желтых и зеленых плиток.

Тип 1 [ править ]

Существует множество мозаичных топологий, содержащих пятиугольники типа 1. Ниже приведены пять примеров топологий.

Тайлинги пятиугольника типа 1
p2 (2222)см (2 * 22)см (* ×)pmg (22 *)пгг (22 ×)p2 (2222)см (2 * 22)
p1 (°)p2 (2222)p2 (2222)
2-х плитный примитивПримитивный блок из 4 плиток

B + C = 180 °
A + D + E = 360 °
a = c, d = e
A + B = 180 °
C + D + E = 360 °
a = c
A + B = 180 °
C + D + E = 360 °
a = e
B + C = 180 °
A + D + E = 360 °
d = c + e
A = 90 °, 2B + C = 360 °
C + D = 180 °, B + E = 270 °

Тип 2 [ править ]

Эти примеры типа 2 изоэдральны. Второй вариант - от края до края. Оба они обладают симметрией pgg (22 ×). Если зеркальные отражающие плитки (желтые и зеленые) считаются разными, симметрия равна p2 (2222).

Тип 2
пгг (22 ×)
p2 (2222)
Примитивный блок из 4 плиток

c = e
B + D = 180 °
c = e, d = b
B + D = 180 °

Типы 3, 4 и 5 [ править ]

Тип 3Тип 4Тип 5
п3 (333)p31m (3 * 3)п4 (442)p4g (4 * 2)p6 (632)
Примитивный блок из 3 плитокПримитивный блок из 4 плитокПримитивный блок из 6 плитокПримитивный блок из 18 плиток

a = b, d = c + e
A = C = D = 120 °
b = c, d = e
B = D = 90 °
a = b, d = e
A = 60 °, D = 120 °
a = b = c, d = e
A = 60 °, B = 120 °, C = 90 °
D = 120 °, E = 150 °

Кершнер (1968) Типы 6, 7, 8 [ править ]

Кершнер (1968) обнаружил еще три типа пятиугольной плитки, в результате чего их общее количество достигло восьми. Он неверно утверждал, что это был полный список пятиугольников, которые могут выложить плоскость.

Эти примеры являются 2-равногранными и сквозными. Типы 7 и 8 имеют хиральные пары плиток, которые окрашены в пары желто-зеленого цвета, а остальные - в два оттенка синего. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Тип 6Тип 6
(также тип 5)		Тип 7Тип 8
p2 (2222)пгг (22 ×)пгг (22 ×)
p2 (2222)p2 (2222)

a = d = e, b = c
B + D = 180 °, 2B = E
a = d = e, b = c, B = 60 °
A = C = D = E = 120 °
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360 °
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360 °

Примитивный блок из 4 плиток
Примитивный блок из 4 плиток
Примитивный блок из 8 плиток
Примитивный блок из 8 плиток

Джеймс (1975) Тип 10 [ править ]

В 1975 году Ричард Э. Джеймс III обнаружил девятый тип, прочитав о результатах Кершнера в колонке Мартина Гарднера « Математические игры » в журнале Scientific American за июль 1975 года (перепечатано в Gardner (1988) ). [8] Он индексируется как тип 10. Тайлинг 3-равногранный и не сквозной.

Тип 10
p2 (2222)см (2 * 22)

a = b = c + e
A = 90, B + E = 180 °
B + 2C = 360 °
a = b = 2c = 2e
A = B = E = 90 °
C = D = 135 °

Примитивный блок из 6 плиток

Райс (1977) Типы 9,11,12,13 [ править ]

Марджори Райс , математик-любитель, открыла четыре новых типа мозаичных пятиугольников в 1976 и 1977 годах. [7] [9]

Все четыре мозаики 2-равногранны. Хиральные пары плиток окрашены в желтый и зеленый цвета для одного равногранного набора и два оттенка синего для другого набора. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Укладка плиткой типа 9 идет от края до края, а остальные - нет.

Каждая примитивная единица содержит восемь плиток.

Тип 9Тип 11Тип 12Тип 13
пгг (22 ×)
p2 (2222)

b = c = d = e
2A + C = D + 2E = 360 °
2a + c = d = e
A = 90 °, 2B + C = 360 °
C + E = 180 °
2a = d = c + e
A = 90 °, 2B + C = 360 °
C + E = 180 °
d = 2a = 2e
B = E = 90 °, 2A + D = 360 °

Примитивный блок из 8 плиток
Примитивный блок из 8 плиток
Примитивный блок из 8 плиток
Примитивный блок из 8 плиток

Stein (1985) Тип 14 [ править ]

14-й тип выпуклого пятиугольника был обнаружен Рольфом Штайном в 1985 году [10].

Мозаика является 3-равногранной и не сквозной. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Точные пропорции указаны и угол B тупой с . Другие отношения можно легко вывести.

Примитивные блоки содержат шесть плиток соответственно. Он имеет симметрию p2 (2222).

Тип 14

2a = 2c = d = e
A = 90 °, B≈145,34 °, C≈69,32 °,
D≈124,66 °, E≈110,68 °
(2B + C = 360 °, C + E = 180 °).
Примитивный блок из 6 плиток

Манн / Маклауд / фон Дерау (2015) Тип 15 [ править ]

Математики Ботелла из Вашингтонского университета Кейси Манн , Дженнифер Маклауд-Манн и Дэвид фон Дерау в 2015 году с помощью компьютерного алгоритма обнаружили 15-й моноэдрический мозаичный выпуклый пятиугольник . [11] [12] Это 3-равногранный и не сквозной рисунок, нарисованный 6 цветами, 2 оттенками по 3 цвета, представляющими киральные пары трех равногранных положений. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Примитивные блоки содержат соответственно двенадцать плиток. Он имеет симметрию pgg (22 ×) и p2 (2222), если киральные пары считаются различными.

В июле 2017 года Михаэль Рао завершил компьютерное доказательство, показывающее, что нет других типов выпуклых пятиугольников, которые могли бы выложить плоскость. Полный список выпуклых многоугольников, которые могут покрывать плоскость, включает указанные выше 15 пятиугольников, три типа шестиугольников, а также все четырехугольники и треугольники. [5] Следствием этого доказательства является то, что не существует выпуклого многоугольника, разбивающего плоскость только апериодически, поскольку все вышеперечисленные типы допускают периодическое разбиение.

Тип 15

(Увеличенное изображение)

a = c = e, b = 2a, d = a+√ 2/√ 3 -1
A = 150 °, B = 60 °, C = 135 °
D = 105 °, E = 90 °

Примитивный блок из 12 плиток

Непериодические моноэдральные мозаики пятиугольников [ править ]

Непериодические моноэдральные пятиугольные мозаики также могут быть построены, как в приведенном ниже примере Майкла Хиршхорна с 6-кратной вращательной симметрией . Углы: A = 140 °, B = 60 °, C = 160 °, D = 80 °, E = 100 °. [13] [14]

В 2016 году Бернхард Клаассен смог показать, что каждый дискретный тип вращательной симметрии может быть представлен моноэдральным пятиугольным замощением из того же класса пятиугольников. [15] Примеры 5-кратной и 7-кратной симметрии показаны ниже. Такие мозаики возможны для любого типа n- кратной вращательной симметрии с n > 2.


5-кратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике
Моноэдрическая пятиугольная мозаика Хиршхорна с 6-кратной вращательной симметрией
7-кратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике

Двойные однородные мозаики [ править ]

Есть три равногранные пентагональные тайлингов , генерируемые в качестве двойников этих однородных разбиений , те , с 5-валентными вершинами. Они представляют особые случаи высшей симметрии 15 моноэдральных мозаик, описанных выше. Однородные мозаики и двойники к ним - все сквозные. Эти двойственные мозаики также называются мозаиками Лавеса . Симметрия однородных двойственных мозаик такая же, как и у равномерных мозаик. Поскольку однородные мозаики изогональны , двойственные изоэдральны .

см (2 * 22)p4g (4 * 2)p6 (632)
Призматическая пятиугольная черепица
Экземпляр типа 1 [16]		Каир пятиугольная черепица
Экземпляр типа 4 [16] [17]		Пятиугольная черепица Floret
Экземпляр типов 1, 5 и 6 [16]

120 °, 120 °, 120 °, 90 °, 90 °
V3.3.3.4.4
120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 °
V3.3.4.3.4
120 °, 120 °, 120 °, 120 °, 60 °
V3.3.3.3.6

Двойственные k -однородные мозаики [ править ]

К -равномерной тайлинги с валентностью-5 вершин также имеют пятиугольные двойные разбиений, содержащие одни и те же трех фасонных пятиугольники в качестве полуправильного двойственных выше, но содержат смесь пятиугольных типов. К -равномерному плиточному имеет к -isohedral двойной черепицы и представлены различными цветами и оттенками цвета ниже.

Например, эти 2, 3, 4 и 5-однородные двойники пятиугольные: [18] [19]

2-равногранный3-равногранный
p4g (4 * 2)пгг (22 ×)p2 (2222)p6 (* 632)
4-равногранный5-равногранный
пгг (22 ×)p2 (2222)p6m (* 632)
5-равногранный
пгг (22 ×)p2 (2222)

Пятиугольная / шестиугольная мозаика [ править ]

Пятиугольные подразделения шестиугольника

Пентагоны имеют особые отношения с шестиугольниками. Как показано графически ниже, некоторые типы шестиугольников можно подразделить на пятиугольники. Например, правильный шестиугольник делится пополам на два пятиугольника типа 1. Также возможно разделение выпуклых шестиугольников на три (тип 3), четыре (тип 4) и девять (тип 3) пятиугольников.

Расширяя это соотношение, плоскость может быть замощена одной пятиугольной формой прототипа способами, которые создают шестиугольные наложения. Например:


Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 1) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из двух пятиугольников).
Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из трех пятиугольников).
Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 4) с наложением полуправильных шестиугольников (каждый из которых состоит из четырех пятиугольников).
Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением двух размеров правильных шестиугольников (состоящих из 3 и 9 пятиугольников соответственно).

Невыпуклые пятиугольники [ править ]

Периодическая черепица сфинксом

Для пятиугольников, которые не обязательно должны быть выпуклыми , возможны дополнительные типы черепицы. Примером может служить мозаика сфинкса , апериодическая мозаика, образованная пятиугольной повторяющейся плиткой . [20] Сфинкс также может периодически мозаить плоскость, соединяя две плитки сфинкса вместе, чтобы сформировать параллелограмм, а затем мозаику плоскости смещением этого параллелограмма, [20] шаблон, который может быть расширен до любого невыпуклого пятиугольника, который имеет два последовательных угла, добавляемых к 2 π , таким образом удовлетворяя условию (ям) выпуклого типа 1 выше.

Можно разделить равносторонний треугольник на три конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, встречающихся в центре треугольника, и выложить плоскость плиткой с полученным трехпятиугольником. [21] Аналогичный метод можно использовать для подразделения квадратов на четыре конгруэнтных невыпуклых пятиугольника или правильных шестиугольников на шесть конгруэнтных невыпуклых пятиугольников, а затем мозаику плоскости с полученной единицей.

Правильные пятиугольные мозаики в неевклидовой геометрии [ править ]

Додекаэдр можно считать регулярной плиточными 12 пятиугольников на поверхности сферы , с Шлефли символом {} 5,3, имеющие три пятиугольников вокруг каждой вершины.

На гиперболической плоскости есть мозаики из правильных пятиугольников, например пятиугольник порядка 4 , {5,4}, имеющий четыре пятиугольника вокруг каждой вершины. Регулярные мозаики более высокого порядка {5, n} могут быть построены на гиперболической плоскости, оканчивающейся на {5, ∞}.

СфераГиперболическая плоскость

{5,3}
{5,4}
{5,5}
{5,6}
{5,7}
{5,8}		... {5, ∞}

Пятиугольные мозаики неправильной гиперболической плоскости [ править ]

В гиперболической плоскости существует бесконечное количество двойственных однородных мозаик с изогональными неправильными пятиугольными гранями. Они имеют конфигурацию лица как V3.3. стр. 3. q .

Заказать p - q цветочная пятиугольная черепица
7-38-39-3...5-46-47-4...5-5

V3.3.3.3.7
V3.3.3.3.8		V3.3.3.3.9...
V3.3.4.3.5		V3.3.4.3.6V3.3.4.3.7...V3.3.5.3.5
Многоугольная гиперболическая бинарная мозаика с пятиугольниками 60-120-60-120-120 градусов

Двоичные плиточное может быть сделано в пятиугольную черепицу , если заменить орициклические края отрезков.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Чунг, Пинг Нгаи; Фернандес, Мигель А .; Ли, Ифэй; Мара, Майкл; Морган, Фрэнк; Плата, Исамар Роза; Шах, Нирли; Виейра, Луис Сордо; Викнер, Елена (01.05.2012). «Изопериметрические пятиугольные мозаики» . Уведомления Американского математического общества . 59 (05): 632. DOI : 10,1090 / noti838 . ISSN  0002-9920 .
  2. ^ Грюнбаум & Шеппард 1987 , гл. 9.3. Другие моноэдральные мозаики выпуклыми многоугольниками.
  3. ^ Рао 2017 .
  4. ^ "Код Mathematica, проверяющий классификацию выпуклых пятиугольников Рао" , GitHub
  5. ^ a b Wolchover 2017 .
  6. ^ Грюнбаум & Шеппард 1978 .
  7. ^ a b Schattschneider 1978 .
  8. ^ Секретный Пятиугольников Марджори Райс Quanta Magazine
  9. ↑ Марджори Райс, «Тесселяции» , Intriguing Tessellations , получено 22 августа 2015 г. - через Сайты Google.
  10. ^ Schattschneider 1985 .
  11. ^ Беллос 2015 .
  12. ^ Манн, Маклауд-Mann & Von Derau 2018 .
  13. ^ Schattschneider 1978 , рис 12.
  14. ^ Hirschhorn & Hunt 1985 .
  15. ^ Klaassen 2016 .
  16. ^ a b c Reinhardt 1918 , стр.  77–81 (внимание: в этой статье есть по крайней мере одна очевидная ошибка, т. е. сумма углов γ + δ должна быть равна π, а не 2π для первых двух типов мозаики, определенных на стр. 77)
  17. ^ Cairo Пятиугольный паркет , порожденный пятиугольник типа 4 запроса и с помощью пятиугольника типа 2 плиточного запроса на wolframalpha.com (предостережение: определение вольфрама из типа пятиугольника 2 плиточных не соответствует типу 2 , определяемой Reinhardt в 1918 году)
  18. ^ Chavey 1989 .
  19. ^ Брайан Галебах, "Добро пожаловать в мою коллекцию n-однородных мозаик!" , possiblesports.com
  20. ^ а б Годреш 1989 .
  21. ^ Гервер 2003 .

Библиография [ править ]

  • Багина Ольга (2004), "Черепица плоскость с конгруэнтно равносторонний выпуклых пятиугольников", Журнал комбинаторной теории, серия А , 105 (2): 221-232, DOI : 10.1016 / j.jcta.2003.11.002 , ISSN  1096- 0899 , Руководство по ремонту  2046081
  • Багина, Ольга (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников[Замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками], Вестник , 4 (48): 63–73, ISSN  2078-1768 , дата обращения 29 января 2013.
  • Беллос, Алекс (11 августа 2015 г.), «Атака на пятиугольник приводит к открытию новой математической плитки» , The Guardian
  • Chavey, D. (1989), "Замощение правильных многоугольников-II: Каталог разбиений" , компьютеры и математика с приложениями , 17 (1-3): 147-165, DOI : 10,1016 / 0898-1221 (89) 90156 -9
  • Гарднер, Мартин (1988), «Мозаика с выпуклыми многоугольниками», путешествия во времени и другие математические недоразумения , Нью-Йорк: WH Freeman, Bibcode : 1988ttom.book ..... G , ISBN 978-0-7167-1925-0, MR  0905872
  • Гервер, М.Л. (2003), "Теоремы о мозаике полигонами", Сборник: Математика , 194 (6): 879–895, Bibcode : 2003SbMat.194..879G , doi : 10.1070 / sm2003v194n06abeh000743
  • Годреш, К. (1989), "Сфинкс: периодическая мозаика плоскости", Journal of Physics A: Mathematical and General , 22 (24): L1163 – L1166, Bibcode : 1989JPhA ... 22L1163G , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 22/24/006 , MR  1030678
  • Грюнбаум, Бранко ; Шеппард, Джеффри С. (1978), "равногранного разбиения плоскости на многоугольники", Commentarii Mathematici Helvetici , 53 : 542-571, DOI : 10.1007 / bf02566098 , ISSN  0010-2571
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри К. (1987), «Плитки полигонами», Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, Руководство по ремонту  0857454
  • Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985), «Равносторонние выпуклые пятиугольники, которые покрывают плоскость» (PDF) , Журнал комбинаторной теории, серия A , 39 (1): 1–18, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (85) 90078-0 , ISSN  1096-0899 , MR  0787713 , проверено 30 октября 2020 г.
  • Кершнер, Ричард (1968), "О тротуарной самолет", American Mathematical Monthly , 75 (8): 839-844, DOI : 10,2307 / 2314332 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2314332 , MR  0236822
  • Клаассен, Бернхард (2016), «Вращательно-симметричные мозаики с выпуклыми пятиугольниками и шестиугольниками», Elemente der Mathematik , 71 (4): 137–144, arXiv : 1509.06297 , doi : 10.4171 / em / 310 , ISSN  0013-6018
  • Манн, Кейси; Маклауд-Манн, Дженнифер; Фон Дерау, Дэвид (2018), «Выпуклые пятиугольники, допускающие -блочные переходные мозаики», Geometriae Dedicata , 194 (1): 141–167, arXiv : 1510.01186 , doi : 10.1007 / s10711-017-0270-9
  • Рао, Михаэль (2017), Исчерпывающий поиск выпуклых пятиугольников , покрывающих плоскость (PDF) , arXiv : 1708.00274
  • Рейнхардт, Карл (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Диссертация) (на немецком языке), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske
  • Schattschneider, Дорис (1978), "Черепица плоскости с конгруэнтными пятиугольниками" , Математика Журнал , 51 (1): 29-44, DOI : 10,2307 / 2689644 , ISSN  0025-570X , JSTOR  2689644 , МР  0493766
  • Шатчнайдер, Дорис (1985), «Новый пятиугольник», Mathematics Magazine , 58 (5): 308, На обложке есть изображение новой плитки.
  • Сугимото, Терухиса; Огава, Тору (2005), "Систематическое изучение выпуклых пятиугольных мозаик. I. Случай выпуклых пятиугольников с четырьмя ребрами равной длины" , Forma , 20 : 1–18, MR  2240616
  • Сугимото, Терухиса; Огава, Тору (2009), «Систематическое изучение выпуклых пятиугольных мозаик, II: мозаики выпуклыми пятиугольниками с четырьмя ребрами одинаковой длины» , Forma , 24 (3): 93–109, MR  2868775; Ошибки , форма 25 (1): 49, 2010, MR 2868824
  • Сугимото, Терухиса (2012), «Выпуклые пятиугольники для мозаики от края к краю, I» , Forma , 27 (1): 93–103, MR  3030316
  • Вулховер, Натали (11 июля 2017 г.), "Pentagon Tiling Proof решает вековую математическую проблему" , Quanta Magazine

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. , «Плитка Пентагона» , MathWorld
  • Пентагон мозаика
  • 14 пятиугольников, покрывающих плоскость
  • 15 (моноэдральные) мозаики с выпуклой пятиугольной плиткой с k-равногранной раскраской
  • Код для отображения мозаики 14-го пятиугольника
  • Код для отображения мозаики 15-го пятиугольника