В математике , то гипотеза Богомолов гипотеза, названная в честь Федора Богомолова в арифметической геометрии о алгебраических кривых , обобщающая гипотеза Манин-Мамфорде в арифметической геометрии . Гипотеза была доказана Эммануэлем Ульмо и Шоу-Ву Чжаном в 1998 году. Дальнейшее обобщение на общие абелевы многообразия было также доказано Чжаном в 1998 году.
Заявление [ править ]
Пусть С быть алгебраическая кривая из рода г по крайней мере два , определенного над числовым полем K , пусть Обозначим алгебраическое замыкание из K , фиксируем вложение С в его якобиева многообразия J , и пусть Обозначим высоту Нерона-Тэйт на J , связанный с достаточно симметричный делитель . Тогда существует такое, что множество
- конечно.
Поскольку тогда и только тогда, когда P - точка кручения , гипотеза Богомолова обобщает гипотезу Манина-Мамфорда .
Доказательство [ править ]
Первоначальная гипотеза Богомолова была доказана Эммануэлем Ульмо и Шоу-Ву Чжаном в 1998 году [1].
Обобщение [ править ]
В 1998 г. Чжан [2] доказал следующее обобщение:
Пусть A - абелево многообразие, определенное над K , и пусть - высота Нерона-Тейта на A, ассоциированная с обильным симметрическим дивизором. Подмногообразие называется кручением Подмногообразием , если это перевести абелево подмногообразие А точкой кручения. Если X не является торсионным подмногообразием, то существует такое, что множество
- не Зариский в X .
Ссылки [ править ]
- ^ Ullmo, Е. (1998), "Positivité ET УСМОТРЕНИЕ де Очки Algébriques де Courbes", Анналы математики , 147 (1): 167-179, Arxiv : ALG-9606017 / GEOM , DOI : 10,2307 / 120987 , Zbl +0934,14013.
- ^ Чжан, С.-В. (1998), "Равномерное малых точек на абелевых многообразий", Анналы математики , 147 (1): 159-165, DOI : 10,2307 / 120986
Другие источники [ править ]
- Шамберт-Луар, Антуан (2013). «Диофантова геометрия и аналитические пространства». В Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Бэллерс семинар по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрия, Бэллерс научно - исследовательский институт, Holetown, Барбадос, США, май 6-13, 2011 . Современная математика. 605 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 161–179. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Гипотеза Манина-Мамфорда: краткий обзор Павлоса Цермиаса
