В математике , то теорема Борель-Carathéodory в комплексном анализе показывает , что аналитическая функция может быть ограничена его вещественной частью . Это применение принципа максимального модуля . Он назван в честь Эмиля Бореля и Константина Каратеодори .
Формулировка теоремы
Пусть функция быть аналитической на замкнутом круге с радиусом R с центром в начале координат . Предположим, что r < R . Тогда имеем следующее неравенство:
Здесь норма в левой части обозначает максимальное значение f в замкнутом диске:
(где последнее равенство обусловлено принципом максимума модуля).
Доказательство
Определить A по
Если f константа, неравенство тривиально, так как, поэтому мы можем считать, что f непостоянна. Сначала пусть f (0) = 0. Поскольку Re f является гармоническим, Re f (0) равно среднему значению его значений вокруг любой окружности с центром в 0. То есть,
Поскольку f аналитична и непостоянна, Re f также непостоянна. Поскольку Re f (0) = 0, должно быть Reдля некоторого z на круге, так что мы можем взять . Теперь е отображений в полуплоскости Р слева от х = A линии. Грубо говоря, наша цель - отобразить эту полуплоскость в круг, применить там лемму Шварца и разобрать указанное неравенство.
отправляет P в стандартную левую полуплоскость.отправляет левую полуплоскость в окружность радиуса R с центром в начале координат. Композиция, которая отображает 0 в 0, является желаемой картой:
Из леммы Шварца, примененной к композиции этого отображения и f , имеем
Возьми | z | ≤ r . Вышеупомянутое становится
так
- ,
как заявлено. В общем случае мы можем применить сказанное выше к f ( z ) - f (0):
который при перестановке дает претензию.
Рекомендации
- Ланг, Серж (1999). Комплексный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1 .
- Титчмарш, EC (1938). Теория функций. Издательство Оксфордского университета.