Принцип максимального модуля

График модуля cos ( z ) (красный) для z в единичном круге с центром в начале координат (показан синим). Как предсказывает теорема, максимум модуля не может быть внутри диска (поэтому максимальное значение на красной поверхности находится где-то вдоль его края).

В математике , то принцип максимума модуля в комплексном анализе говорится , что если е является голоморфной функцией , потом модуль | f | не может иметь строгий локальный максимум , который должным образом в пределах области от е .

Другими словами, либо f является локально постоянной функцией , либо для любой точки z ₀ внутри области определения f существуют другие точки, сколь угодно близкие к z _0, в которых | f | принимает большие значения.

Официальное заявление [ править ]

Пусть е функция , голоморфные на некотором связном открытом подмножестве D на комплексной плоскости ℂ и принимать комплексные значения. Если z ₀ - такая точка в D , что

{\ Displaystyle | е (z_ {0}) | \ geq | f (z) |}

для всех г в некоторых окрестностях от г ₀ , то F постоянен на D .

Это утверждение можно рассматривать как частный случай теоремы об открытом отображении , которая утверждает, что непостоянная голоморфная функция отображает открытые множества в открытые множества: Если | f | достигает локального максимума в точке z , то образ достаточно малой открытой окрестности точки z не может быть открытым, поэтому f постоянна.

Связанное заявление [ править ]

Предположим, что это ограниченное непустое открытое подмножество . Позвольте быть закрытием . Предположим, что это непрерывная функция, голоморфная на . Тогда достигает максимума в некоторой точке границы . ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle {\ overline {D}}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие {\ overline {D}} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ Displaystyle | е (г) |}$ ${\ displaystyle D}$

Это следует из первой версии следующим образом. Так как это компактно и не пусто, непрерывная функция достигает максимума в некоторой точке в . Если он не находится на границе, то принцип максимума модуля подразумевает, что он постоянен, поэтому он также достигает того же максимума в любой точке границы. ${\ displaystyle {\ overline {D}}}$ ${\ Displaystyle | е (г) |}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ overline {D}}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle | е (г) |}$

Принцип минимального модуля [ править ]

Для голоморфной функции f на связном открытом множестве D из , если z ₀ - точка в D такая, что ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle 0 <| е (z_ {0}) | \ leq | f (z) |}

для всех г в некоторых окрестностях от г ₀ , то F постоянен на D .

Доказательство: применить принцип максимального модуля к . ${\ displaystyle 1 / f}$

Эскизы доказательств [ править ]

Использование принципа максимума для гармонических функций [ править ]

Можно использовать равенство

{\ Displaystyle \ журнал е (г) = \ пер | е (г) | + я \ арг е (г)}

для комплексных натуральных логарифмов, чтобы вывести, что ln | f ( z ) | является гармонической функцией . Поскольку z ₀ является локальным максимумом и для этой функции, из принципа максимума следует, что | f ( z ) | постоянно. Затем, используя уравнения Коши – Римана, мы показываем, что f ′ ( z ) = 0, а значит, и f ( z ) постоянна. Подобные рассуждения показывают, что | f | может иметь только локальный минимум (который обязательно имеет значение 0) в изолированном нуле f (z) .

Использование теоремы Гаусса о среднем значении [ править ]

Другое доказательство работает с использованием теоремы Гаусса о среднем значении, чтобы «заставить» все точки в перекрывающихся открытых дисках принимать одно и то же значение. Диски укладываются так, что их центры образуют многоугольный путь от значения, в котором f ( z ) максимизирован, до любой другой точки в домене, при этом они полностью находятся внутри домена. Таким образом, наличие максимального значения означает, что все значения в области одинаковы, поэтому f ( z ) постоянна.

Физическая интерпретация [ править ]

Физическая интерпретация этого принципа исходит из уравнения теплопроводности . То есть, поскольку журнал | f ( z ) | является гармонической, то таким образом , устойчивое состояние теплового потока на области D . Предположим, что внутри D был достигнут строгий максимум , тепло в этом максимуме рассеивалось бы к точкам вокруг него, что противоречило бы предположению, что это представляет собой установившееся состояние системы.

Приложения [ править ]

Принцип максимального модуля имеет множество применений в комплексном анализе и может использоваться для доказательства следующего:

Основная теорема алгебры .
Лемма Шварца , результат, который, в свою очередь, имеет множество обобщений и приложений в комплексном анализе.
Принцип Фрагмена – Линделёфа , расширение на неограниченные области.
Теорема Бореля – Каратеодори , которая ограничивает аналитическую функцию в терминах ее действительной части.
Теорема Адамара о трех прямых , результат о поведении ограниченных голоморфных функций на прямой между двумя другими параллельными прямыми на комплексной плоскости.

Ссылки [ править ]

Титчмарш, EC (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) (См. Главу 5.)
Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], "Принцип максимума модуля" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Принцип максимума модуля" . MathWorld .