Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В комплексном анализе , в открытой теореме картирования гласит , что если U является доменом в комплексной плоскости C и F  : U → C является непостоянной голоморфной функцией , то F является открытым отображением (т.е. он посылает открытые подмножества U , чтобы открыть подмножества C , и мы имеем инвариантность области определения .).

Теорема об открытом отображении указывает на резкое различие между голоморфностью и действительной дифференцируемостью. На вещественной прямой , например, дифференцируемая функция f ( x ) = x 2 не является открытой картой, поскольку образ открытого интервала (−1, 1) является полуоткрытым интервалом [0, 1).

Теорема, например, подразумевает, что непостоянная голоморфная функция не может отобразить открытый диск на часть любой прямой, вложенной в комплексную плоскость. Образы голоморфных функций могут иметь реальную размерность ноль (если постоянна) или две (если непостоянна), но никогда не имеют размерности 1.

Доказательство [ править ]

Черные точки обозначают нули функции g ( z ). Черные кольца представляют собой полюса. Граница открытого множества U обозначена пунктирной линией. Обратите внимание, что все полюса находятся вне открытого набора. Меньший красный диск - это B с центром в точке z 0 .

Предположим, что f  : U → C - непостоянная голоморфная функция, а U - область комплексной плоскости. Мы должны показать , что каждая точка в F ( U ) является внутренней точкой из F ( U ), то , что каждая точка F ( U ) имеет окрестность (открытый диск) , который также в F ( U ).

Рассмотрим произвольный w 0 в f ( U ). Тогда существует точка z 0 в U такая, что w 0 = f ( z 0 ). Так как U открыта, то можно найти д > 0, что замкнутый круг B вокруг г 0 с радиусом г полностью содержится в U . Рассмотрим функцию g ( z ) = f ( z ) - w 0 . Обратите внимание, что z0 - корень функции.

Мы знаем, что g ( z ) непостоянна и голоморфна. Корни g изолированы по теореме тождества , и, дополнительно уменьшая радиус диска изображения d , мы можем гарантировать, что g ( z ) имеет только один корень в B (хотя этот единственный корень может иметь кратность больше 1) .

Граница B - окружность и, следовательно, компакт , на котором | g ( z ) | является положительной непрерывной функцией , поэтому теорема о крайнем значении гарантирует существование положительного минимума e , то есть e является минимумом | g ( z ) | для z на границе B и e > 0.

Обозначим через D открытый круг вокруг ш 0 с радиусом е . По теореме Руше функция g ( z ) = f ( z ) - w 0 будет иметь такое же количество корней (с учетом кратности) в B, что и h ( z ): = f ( z ) - w 1 для любого w 1 в D . Это потому, что h ( z ) = g ( z ) + (w 0 - w 1 ), а для z на границе B | g ( z ) | ≥ e > | ш 0 - ш 1 |. Таким образом, для каждого w 1 в D существует хотя бы один z 1 в B такой, что f ( z 1 ) = w 1 . Это означает, что диск D содержится в f ( B ).

Образ шара B , f ( B ) - это подмножество образа U , f ( U ). Таким образом, w 0 - внутренняя точка f ( U ). Поскольку w 0 было произвольным в f ( U ), мы знаем, что f ( U ) открыто. Поскольку U произвольно, функция f открыта.

Приложения [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]