В теории категорий и гомотопической категория бернсайдовская из конечной группы G является категорией, объекты которой являются конечными G -множества и морфизмы (классы эквивалентности) пролеты из G -эквивариантных карт. Это категорификация из бернсайдового кольца из G .
Определения
Пусть G - конечная группа (на самом деле для проконечной группы все будет работать дословно ). Тогда для любых двух конечных G -множеств X и Y мы можем определить отношение эквивалентности между промежутками G -множеств вида где два пролета а также эквивалентны тогда и только тогда , когда существует G -эквивариантной биекция U и W , коммутирующие с проекцией отображений в X и Y . Этот набор классов эквивалентности естественным образом образует моноид при дизъюнктном объединении; мы указываем с помощьюзавершение группы этого моноиде. Откаты порождают естественные карты.
Наконец, мы можем определить категорию Бернсайда A (G) группы G как категорию, объекты которой являются конечными G -множествами, а пространства морфизмов - группами.
Характеристики
- A (G) - аддитивная категория с прямыми суммами, заданными несвязным объединением G -множеств и нулевым объектом, заданным пустым G -множеством;
- Произведение двух G -множеств индуцирует симметричную моноидальную структуру на A (G) ;
- Кольцо эндоморфизмов точки (то есть G -множество только с одним элементом) является кольцом Бернсайда группы G ;
- A (G) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории истинных G -спектров, натянутой на спектры надстройки конечных G -множеств.
Функторы Макки
Если С является аддитивная категория , то С -значная Макки функтор является аддитивной функтор из A (G) на C . Функторы Макки важны в теории представлений и стабильной эквивариантной теории гомотопий.
- Для каждого G - представление V можно сопоставить Макки функтора в векторных пространствах посылая каждый конечное G -set U в векторном пространство G -эквивариантных отображений из U в V .
- Гомотопические группы настоящего G -спектра образуют функтор Макки. Фактически подлинный G -спектр можно рассматривать как аддитивный функтор для более высокой категориальной версии категории Бернсайда.