Кольцо Burnside

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то бернсайдовское кольцо из конечной группы является алгебраической конструкцией , которая кодирует различные способы группы может действовать на конечных множествах. Идеи были введены Уильямом Бернсайдом в конце девятнадцатого века. Алгебраическая кольцевая структура является более поздней разработкой Соломона (1967).

Формальное определение [ править ]

Для конечной группы G образующие ее бернсайдовского кольца Ω ( G ) являются формальными суммами классов изоморфизма конечных G -множеств . Для кольцевой структуры , добавление задается несвязное объединение из G - множества и умножения на их декартово произведение .

Бернсайдовское кольцо является свободным Z - модуль , образующим которого являются (классы изоморфизма) типов орбит от G .

Если G действует на конечном множестве X , то можно записать (дизъюнктное объединение), где каждый X _i является единственной G -орбитой. Выбор любого элемента x _i в X _i создает изоморфизм G / G _i → X _i , где G _i - подгруппа стабилизатора (изотропии) группы G в точке x _i . Другой выбор представителя y _i в X _i дает сопряженную подгруппу группе G _i ${\ displaystyle X = \ bigcup _ {i} X_ {i}}$ как стабилизатор. Это показывает , что генераторы Q (G) в качестве Z - модуля являются орбитами G / H , как Н пробегает классы сопряженных подгрупп группы G .

Другими словами, типичным элементом Ω ( G ) является

{\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {N} a_ {i} [G / G_ {i}],}

где _я в Z и G ₁ , G ₂ , ..., G _N являются представителями классов сопряженных подгрупп группы G .

Метки [ править ]

Подобно тому, как теория символов упрощает работу с представлениями групп , отметки упрощают работу с представлениями перестановок и кольцом Бернсайда.

Если G действует на X , а Н ≤ G ( H является подгруппой из G ), то метка из H на X есть число элементов X , которые фиксируются с помощью каждого элемента Н : , где ${\ displaystyle m_ {X} (H) = \ left | X ^ {H} \ right |}$

{\ displaystyle X ^ {H} = \ {x \ in X \ mid h \ cdot x = x, \ forall h \ in H \}.}

Если H и K - сопряженные подгруппы, то m _X ( H ) = m _X ( K ) для любого конечного G -множества X ; Действительно, если К = GHG ^-1 , то Х ^К = г · Х ^Н .

Также легко видеть, что для любого H ≤ G отображение Ω ( G ) → Z : X ↦ m _X ( H ) является гомоморфизмом. Это означает, что для того, чтобы знать метки G , достаточно вычислить их на образующих Ω ( G ), а именно. орбиты G / H .

Для каждой пары подгрупп H , K ≤ G определим

{\ displaystyle m (K, H) = \ left | [G / K] ^ {H} \ right | = \ # \ left \ {gK \ in G / K \ mid HgK = gK \ right \}.}

Это м _Х ( Н ) при Х = О / К . Условие HgK = дК эквивалентно г ^-1рт.ст. ≤ K , так что если Н не является сопряженным с подгруппой К тогда м ( К , Н ) = 0.

Чтобы записать все возможные оценки, нужно сформировать таблицу, Таблицу оценок Бернсайда , следующим образом: Пусть G ₁ (= тривиальная подгруппа), G ₂ , ..., G _N = G - представители N классов сопряженных подгрупп подгрупп группы G , упорядоченные таким образом, что всякий раз, когда G _i сопряжена с подгруппой G _j , то i ≤ j . Теперь определите таблицу (квадратную матрицу) размера N × N, чья ( i , j ) -я запись равна m (G _i , G _j ). Эта матрица имеет нижнюю треугольную форму, а элементы на диагонали не равны нулю, поэтому она обратима.

Отсюда следует , что если Х представляет собой G - множество, а у его вектор - строка знаков, так что U _я = м _X ( G _я ), то X разлагается в несвязное объединение в течение _я экземпляров орбиты типа G _я , где вектор a удовлетворяет,

а М = и ,

где M - матрица таблицы оценок. Эта теорема принадлежит ( Burnside 1897 ).

Примеры [ править ]

Таблица оценок для циклической группы порядка 6:

Z ₆	1	Z ₂	Z ₃	Z ₆
Z ₆ / 1	6	.	.	.
Z ₆ / Z ₂	3	3	.	.
Z ₆ / Z ₃	2	0	2	.
Z ₆ / Z ₆	1	1	1	1

Таблица оценок для симметрической группы S ₃ :

S ₃	1	Z ₂	Z ₃	S ₃
S ₃ / 1	6	.	.	.
S ₃ / Z ₂	3	1	.	.
S ₃ / Z ₃	2	0	2	.
S ₃ / S ₃	1	1	1	1

Все точки в двух таблицах - нули, просто подчеркивая тот факт, что таблицы имеют нижнюю треугольную форму.

(Некоторые авторы используют транспонирование таблицы, но именно так Бернсайд определил его изначально.)

Тот факт, что последняя строка - это все единицы, объясняется тем, что [ G / G ] - это одна точка. Диагональные члены: m ( H , H ) = | N _G ( H ) / H |. Цифры в первом столбце показывают степень представления.

Кольцевая структура Ω ( G ) может быть выведена из этих таблиц: образующие кольца (как Z -модуль) являются строками таблицы, а произведение двух образующих имеет отметку, заданную произведением отметок ( покомпонентное умножение векторов-строк), которые затем можно разложить как линейную комбинацию всех строк. Например, с S ₃ ,

{\ displaystyle [G / \ mathbf {Z} _ {2}] \ cdot [G / \ mathbf {Z} _ {3}] = [G / 1],}

как (3, 1, 0, 0). (2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).

Представления перестановок [ править ]

С любым конечным множеством X связано векторное пространство V = V _X , которое является векторным пространством с элементами X в качестве основы (с использованием любого заданного поля). Действие конечной группы G на X индуцирует линейное действие на V , называемое перестановочным представлением . Множество всех конечномерных представлений G имеет структуру кольца, кольца представлений , обозначаемого R (G) .

Для данного G -множества X , тем характер присоединенного представления является

{\ Displaystyle \ чи (г) = m_ {X} (\ langle g \ rangle)}

где - циклическая группа, порожденная . ${\ displaystyle \ langle g \ rangle}$ ${\ displaystyle g}$

Результирующая карта

\beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)

принимая G -set к соответствующему представлению в общем ни инъективны , ни сюръективны.

Простейший пример, показывающий, что β, вообще говоря, не инъективен, относится к G = S ₃ (см. Таблицу выше) и задается формулой

\beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3}]+2[S_{3}/S_{3}]).

Расширения [ править ]

Кольцо Бернсайда для компактных групп описано в ( Tom Dieck, 1987 ).

Гипотеза Сигала связывает кольцо Бернсайда с гомотопией .

См. Также [ править ]

Категория Бернсайда

Ссылки [ править ]

Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , Cambridge University Press
Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований , Исследования де Грюйтера по математике, 8 , Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-009745-0, Руководство по ремонту 0889050 , OCLC 217014538
Платье, Андреас (1969), "Характеризация разрешимых групп", Math. З. , 110 (3): 213-217, DOI : 10.1007 / BF01110213
Кербер, Адальберт (1999), Прикладные действия конечных групп , Алгоритмы и комбинаторика, 19 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65941-9, Руководство по ремонту 1716962 , OCLC 247593131
Соломон, Л. (1967), "Алгебра Бернсайда конечной группы", J. Comb. Теория , 1 : 603–615