CUSUM

График CUSUM
Первоначально предложено	ES Страница
Наблюдения за процессом
Рациональный размер подгруппы	п = 1
Тип измерения	Накопительная сумма качественной характеристики
Тип характеристики качества	Данные переменных
Базовое распространение	Нормальное распределение
Спектакль
Размер сдвига для обнаружения	≤ 1,5σ
Таблица вариантов процесса
Непригодный
График средних значений процесса
Центральная линия	Целевое значение T характеристики качества
Верхний контрольный предел	${\ displaystyle C_ {i} ^ {+} = \ max \ lbrack 0, x_ {i} - \ left (T + K \ right) + C_ {i-1} ^ {+} \ rbrack}$
Нижний предел контроля	${\ displaystyle C_ {i} ^ {-} = \ max \ lbrack 0, \ left (TK \ right) -x_ {i} + C_ {i-1} ^ {-} \ rbrack}$
Построенная статистика	${\ displaystyle C_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {i} {\ bar {x}} _ {j} -T}$

В статистическом контроле качества , то CUSUM (или совокупная сумма диаграмма управления ) представляет собой последовательный анализ методика , разработанная Е. С. Страница из Кембриджского университета . Обычно он используется для отслеживания обнаружения изменений . ^[1] CUSUM был объявлен в Biometrika , в 1954 году, через несколько лет после публикации Wald «s ЭПТСА алгоритма. ^[2]

Пейдж сослался на «число качества» , под которым он имел в виду параметр распределения вероятностей ; например, среднее . Он разработал CUSUM как метод определения изменений в нем и предложил критерий для принятия решения о том, когда предпринять корректирующие действия. Когда метод КУСУМА применяются к изменениям в среднем, он может быть использован для стадии обнаружения в виде временного ряда .${\displaystyle \theta }$

Несколько лет спустя Джордж Альфред Барнард разработал метод визуализации, диаграмму V-маски, для обнаружения как увеличения, так и уменьшения . ^[3]${\displaystyle \theta }$

Метод [ править ]

Как следует из названия, CUSUM предполагает вычисление куб mulative суммы (что делает его «последовательный»). Образцам из процесса присваивается вес , и они суммируются следующим образом:${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle S_{0}=0}$

${\displaystyle S_{n+1}=\max(0,S_{n}+x_{n}-\omega _{n})}$

Когда значение S превышает определенное пороговое значение, было обнаружено изменение значения. Приведенная выше формула обнаруживает изменения только в положительном направлении. Когда отрицательные изменения должны быть найдены , а также, операция мин следует использовать вместо максимальной работы, и на этот раз изменение было обнаружено , когда значение S находится ниже значения (отрицательный) порогового значения.

Пейдж явно не сказал, что представляет собой функцию правдоподобия , но это обычное использование. Обратите внимание, что это не эквивалентно "cumsum" в Matlab.${\displaystyle \omega }$

Обратите внимание, что это отличается от SPRT тем, что всегда использует нулевую функцию в качестве нижнего «удерживающего барьера», а не нижнего «удерживающего барьера». ^[1] Кроме того, CUSUM не требует использования функции правдоподобия.

В качестве средства оценки эффективности CuSum, в странице определила длину пробега в среднем (ARL) метрика ; «ожидаемое количество статей, отобранных до принятия мер». Далее он писал: ^[2]

Когда качество вывода удовлетворительное, ARL является мерой затрат, понесенных схемой, когда она выдает ложные срабатывания сигнализации, т. Е. Ошибки типа I ( Neyman & Pearson , 1936 ^[4] ). С другой стороны, для постоянного низкого качества ARL измеряет задержку и, следовательно, количество брака, образовавшегося до того, как будет предпринято действие по исправлению, то есть ошибки типа II .

Пример [ править ]

В следующем примере показаны 20 наблюдений за процессом со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,5. ${\displaystyle X}$

Из столбца видно, что никогда не отклоняется на 3 стандартных отклонения ( ), поэтому простое предупреждение о большом отклонении не обнаружит сбоя, тогда как CUSUM показывает, что значение превышает 4 на 17- ^м наблюдении.${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 3\sigma }$${\displaystyle S_{H}}$

Столбец	Описание
${\displaystyle X}$	Наблюдения за процессом с ожидаемым средним значением 0 и ожидаемым стандартным отклонением 0,5${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \sigma _{X}}$
${\displaystyle Z}$	Нормализованные наблюдения, то есть сосредоточенные вокруг среднего и масштабированные на стандартное отклонение.${\displaystyle Z_{n}={\frac {X_{n}-{\bar {x}}}{\sigma _{X}}}}$
${\displaystyle S_{H}}$	Высокой КУСУМ значение, обнаружение положительной аномалии,${\displaystyle {S_{H}}_{n+1}=\max(0,{S_{H}}_{n}+Z_{n}-\omega )}$
${\displaystyle S_{L}}$	Низкое значение CUSUM, обнаружение отрицательной аномалии,${\displaystyle {S_{L}}_{n+1}=\max(0,{S_{L}}_{n}-Z_{n}-\omega )}$

Варианты [ править ]

Кумулятивные графики наблюдаемых минус ожидаемых ^[1] являются родственным методом.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мишель Бассевиль и Игорь В. Никифоров (апрель 1993 г.). Обнаружение резких изменений: теория и применение . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-126780-9.
• Мишра, С., Ванли, О.А., и Парк, К. (2015). «Метод многомерной совокупной суммы для непрерывного мониторинга повреждений с помощью датчиков волны Лэмба» , Международный журнал прогнозирования и управления здоровьем , ISSN 2153-2648 

Внешние ссылки [ править ]

• «Справочник по инженерной статистике - карты таможенного контроля»