Матрица Кабиббо – Кобаяши – Маскавы

В стандартной модели в физике элементарных частиц , в матрице Кабиббо-Кобаяши-Маскаво , КОЙ матрица , матрицы смешивания кварков , или матрице КМ является унитарной матрицей , которая содержит информацию о силе аромата -Изменения слабого взаимодействия . Технически, это указывает несоответствие квантовых состояний из кварков , когда они распространяются свободно и , когда они принимают участие в слабых взаимодействиях . Это важно для понимания нарушения CP . Эта матрица была введена для трех поколений кварковМакото Кобаяси и Тосихидэ Маскава , добавив одно поколение к матрице, ранее представленной Никола Кабиббо . Эта матрица также является расширением механизма GIM , который включает только два из трех текущих семейств кварков.

Матрица [ править ]

Предшественник: Cabibbo matrix [ править ]

Угол Кабиббо представляет собой вращение векторного пространства массовых собственных состояний, образованного массовыми собственными состояниями, в векторное пространство слабых собственных состояний, образованное слабыми собственными состояниями . θ _C = 13,02 °.${\displaystyle \scriptstyle {|d\rangle ,\ |s\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|d^{\prime }\rangle ,\ |s^{\prime }\rangle }}$

В 1963 году Никола Кабиббо ввел угол Кабиббо (θ _c ), чтобы сохранить универсальность слабого взаимодействия . ^[1] Кабиббо был вдохновлен предыдущей работой Мюррея Гелл-Манна и Мориса Леви ^[2] по эффективно вращающимся нестандартным и странным векторным и осевым слабым токам, на которые он ссылается. ^[3]

В свете современных знаний (кварки еще не теоретизировали), угол Кабиббо связан с относительной вероятностью того, что вниз и странные кварки распадаются на верхние кварки (| V _уд | ² и | V _нас | ² соответственно). Говоря языком физики элементарных частиц, объект, который связывается с верхним кварком посредством слабого взаимодействия с заряженным током, представляет собой суперпозицию кварков нижнего типа, обозначенную здесь d ' . ^[4] Математически это:

${\displaystyle d^{\prime }=V_{ud}d+V_{us}s,}$

или используя угол Cabibbo:

${\displaystyle d^{\prime }=\cos \theta _{\mathrm {c} }d+\sin \theta _{\mathrm {c} }s.}$

Используя текущие принятые значения для | В _уд | и | В _нас | (см. ниже) угол Кабиббо можно рассчитать с помощью

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {|V_{us}|}{|V_{ud}|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\Rightarrow \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }.}$

Когда в 1974 году был открыт очарованный кварк, было замечено, что нижний и странный кварк мог распадаться либо на верхний, либо на очарованный кварк, что привело к двум системам уравнений:

${\displaystyle d^{\prime }=V_{ud}d+V_{us}s;}$

${\displaystyle s^{\prime }=V_{cd}d+V_{cs}s,}$

или используя угол Cabibbo:

${\displaystyle d^{\prime }=\cos {\theta _{\mathrm {c} }}d+\sin {\theta _{\mathrm {c} }}s;}$

${\displaystyle s^{\prime }=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}d+\cos {\theta _{\mathrm {c} }}s.}$

Это также можно записать в матричной записи как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},}$

или используя угол Cabibbo

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},}$

где различные | V _ij | ² представляют вероятность того, что кварк с ароматом j распадается на кварк с ароматом i . Эта матрица вращения 2 × 2 называется матрицей Кабиббо.

Матрица CKM [ править ]

В 1973 году, обнаружив, что CP-нарушение не может быть объяснено в четырехкварковой модели, Кобаяси и Маскава обобщили матрицу Кабиббо в матрицу Кабиббо – Кобаяши – Маскава (или матрицу CKM), чтобы отслеживать слабые распады трех поколений кварки: ^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\\b^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}.}$

Слева представлены дублетные партнеры слабого взаимодействия кварков нижнего типа, а справа - матрица CKM вместе с вектором массовых собственных состояний кварков нижнего типа. Матрица CKM описывает вероятность перехода от одного кварка i к другому кварку j . Эти переходы пропорциональны | V _ij | ² .

По состоянию на 2020 год лучшим определением величин элементов матрицы CKM было: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97370\pm 0.00014&0.2245\pm 0.0008&0.00382\pm 0.00024\\0.221\pm 0.004&0.987\pm 0.011&0.0410\pm 0.0014\\0.0080\pm 0.0003&0.0388\pm 0.0011&1.013\pm 0.030\end{bmatrix}}.}$

Используя эти значения, можно проверить унитарность матрицы CKM. В частности, мы находим , что матрица первой строки элементы дают: ,${\displaystyle |V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2}+|V_{ub}|^{2}=0.9985\pm 0.0005}$

который демонстрирует очевидное нарушение условия унитарности при трех стандартных отклонениях и дает интересные подсказки по физике за пределами Стандартной модели.

Выбор использования кварков нижнего типа в определении является соглашением и не представляет физически предпочтительную асимметрию между кварками верхнего и нижнего типов. Также справедливы и другие соглашения, такие как определение матрицы в терминах партнеров по слабому взаимодействию массовых собственных состояний кварков верхнего типа, u ' , c' и t ' , в терминах u , c и  t . Поскольку матрица CKM унитарна, ее инверсия совпадает с ее сопряженным транспонированием.

Общая конструкция корпуса [ править ]

Чтобы обобщить матрицу, подсчитайте количество физически важных параметров в этой матрице, V, которые появляются в экспериментах. Если существует N поколений кварков (2 N ароматов ), то

• N  ×  N унитарная матрица (то есть матрица V такая , что В.В. ^†  =  I , где V ^† является сопряженной транспозицией V и I является единичной матрицей) требует N ² действительные параметры должны быть указаны.
• 2 N  - 1 из этих параметров не являются физически значимыми, потому что одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем (как массовыми собственными состояниями, так и слабыми собственными состояниями), но матрица не зависит от общей фазы. Следовательно, общее количество свободных переменных, независимо от выбора фаз базисных векторов, равно N ²  - (2 N  - 1) = ( N  - 1) ² .
  • Из этих, 1/2N ( N  - 1) - это углы вращения, называемые углами смешивания кварков .
  • Остальные 1/2( N  - 1) ( N  - 2) - сложные фазы, вызывающие нарушение CP .

N = 2 [ редактировать ]

Для случая N  = 2 существует только один параметр, который представляет собой угол смешивания между двумя поколениями кварков. Исторически это была первая версия матрицы CKM, когда было известно только два поколения. Угол Кабиббо назван в честь его изобретателя Никола Кабиббо .

N = 3 [ редактировать ]

Для случая Стандартной модели ( N  = 3) существует три угла смешивания и одна CP-нарушающая сложная фаза. ^[7]

Наблюдения и прогнозы [ править ]

Идея Кабиббо возникла из потребности объяснить два наблюдаемых явления:

1. переходы U ↔ д , е ↔ ν _е , и ц ↔ ν _ц имели сходные амплитуды.
2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные ¼ переходов с ΔS = 0 .

Решение Кабиббо состояло в постулировании слабой универсальности для решения первой проблемы, а также в угле смешивания θ _c , теперь называемом углом Кабиббо , между d- и s- кварками для разрешения второй.

Для двух поколений кварков нет фаз, нарушающих CP, как показывает подсчет в предыдущем разделе. Поскольку нарушения CP были уже видели в 1964 году, в нейтральных каонных распадов стандартная модель , которая появилась вскоре после того, как четко указывает на существование третьего поколения кварков, так как Kobayashi и Маскавы отметил в 1973 году открытие нижнего кварка в Fermilab (группой Леона Ледермана ) в 1976 г. немедленно начались поиски топ-кварка , пропавшего кварка третьего поколения.

Обратите внимание, однако, что конкретные значения, которые принимают углы, не являются предсказанием стандартной модели: они являются свободными параметрами . В настоящее время нет общепринятой теории, объясняющей, почему углы должны иметь значения, измеренные в эксперименте.

Слабая универсальность [ править ]

Ограничения унитарности CKM-матрицы на диагональные члены можно записать как

${\displaystyle \sum _{k}|V_{ik}|^{2}=\sum _{i}|V_{ik}|^{2}=1}$

для всех поколений i . Это означает, что сумма всех взаимодействий любого из кварков восходящего типа со всеми кварками нижнего типа одинакова для всех поколений. Это соотношение называется слабой универсальностью и было впервые указано Никола Кабиббо в 1967 году. Теоретически оно является следствием того факта, что все дублеты SU (2) с одинаковой силой связываются с векторными бозонами слабых взаимодействий. Он постоянно подвергался экспериментальным испытаниям.

Треугольники унитарности [ править ]

Остальные ограничения унитарности CKM-матрицы можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0.}$

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение на три комплексных числа, по одному для каждого k , что говорит о том, что эти числа образуют стороны треугольника в комплексной плоскости . Есть шесть вариантов i и j (три независимых) и, следовательно, шесть таких треугольников, каждый из которых называется унитарным треугольником . Их формы могут быть самыми разными, но все они имеют одинаковую площадь, что может быть связано с фазой нарушения CP . Область исчезает для определенных параметров в Стандартной модели, для которых не было бы нарушения CP . Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Популярной величиной, равной удвоенной площади треугольника унитарности, является инвариант Ярлскога :

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}.}$

Для греческих индексов, обозначающих верхние кварки, а латинские - нижние кварки, 4-тензор дважды антисимметричен,${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i).}$

С точностью до антисимметрии он имеет только 9 = 3 × 3 ненулевых компонент, которые, что примечательно, из унитарности V можно показать, что все они идентичны по величине , то есть

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{bmatrix}}_{ij},}$

чтобы

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s).}$

Поскольку три стороны треугольников открыты для прямого эксперимента, как и три угла, класс тестов Стандартной модели состоит в проверке того, что треугольник закрывается. Это цель современной серии экспериментов, проводимых в японских экспериментах BELLE и американских BaBar , а также в LHCb в ЦЕРНе, Швейцария.

Параметризация [ править ]

Для полного определения матрицы CKM требуются четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, и три наиболее распространенных из них показаны ниже.

Параметры КМ [ править ]

Первоначальная параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла (  θ ₁ , θ ₂ , θ ₃  ) и фазовый угол, нарушающий CP (  δ  ). ^[5] θ ₁ - угол Кабиббо. Косинусы и синусы углов θ _k обозначаются c _k и s _k для k = 1, 2, 3 соответственно.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

"Стандартные" параметры [ править ]

«Стандартная» параметризация матрицы CKM использует три угла Эйлера (  θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃  ) и одну CP-нарушающую фазу (  δ ₁₃  ). ^[8] θ ₁₂ - угол Кабиббо. Связи между поколениями кварков j и k исчезают, если θ _jk = 0 . Косинусы и синусы углов обозначены соответственно c _jk и s _jk .

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Значения стандартных параметров в 2008 г. были следующими: ^[9]

θ ₁₂ =13,04 ± 0,05 °, θ ₁₃ =0,201 ± 0,011 °, θ ₂₃ =2,38 ± 0,06 °

а также

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  радиан =68,8 ± 4,5 °.

Параметры Wolfenstein [ править ]

Третья параметризация матрицы CKM была введена Линкольном Вольфенштейном с четырьмя параметрами λ , A , ρ и η , которые все «исчезли бы» (были бы равны нулю), если бы не было связи. ^[10] Четыре параметра Wolfenstein обладают тем свойством, что все они имеют порядок 1 и относятся к «стандартной» параметризации:

λ = с ₁₂

A λ ² = s ₂₃

A λ ³ ( ρ - i η ) = s ₁₃ e ^{- i δ}

Параметризация матрицы CKM по Вольфенштейну является приближением стандартной параметризации. Чтобы заказать λ ³ , это:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4}).}$

CP-нарушение может быть определено путем измерения ρ - i η .

Используя значения из предыдущего раздела для матрицы CKM, наилучшим способом определения параметров Wolfenstein является: ^[11]

λ =0,2257+0,0009
−0,0010,     А =0,814+0,021
-0,022,     ρ =0,135+0,031
-0,016, и   η =0,349+0,015
-0,017 .

Нобелевская премия [ править ]

В 2008 году Кобаяси и Маскава разделили половину Нобелевской премии по физике «за открытие происхождения нарушенной симметрии, которая предсказывает существование по крайней мере трех семейств кварков в природе». ^[12] Сообщалось, что некоторые физики испытывали горькие чувства по поводу того факта, что комитет по присуждению Нобелевской премии не наградил работу Кабиббо , чья предыдущая работа была тесно связана с работой Кобаяси и Маскавы. ^[13] На вопрос о реакции на приз Кабиббо предпочел воздержаться от комментариев. ^[14]

См. Также [ править ]

• Формулировка Стандартной модели и CP-нарушения
• Квантовая хромодинамика , аромат и сильная проблема CP
• Угол Вайнберга , аналогичный угол для Z и смешивания фотонов
• Матрица Понтекорво – Маки – Накагавы – Сакаты , эквивалентная матрица смешения нейтрино.
• Формула Коиде

Ссылки [ править ]

Дополнительная литература и внешние ссылки [ править ]

• Ди-джей Гриффитс (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 978-3-527-40601-2.

• Б. Повх; и другие. (1995). Частицы и ядра: введение в физические концепции . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• И. И. Биги, А. И. Санда (2000). Нарушение CP . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-44349-4.

• «Группа данных по частицам: матрица кваркового смешения CKM» (PDF) .
• «Группа данных по частицам: нарушение СР в распадах мезонов» (PDF) .
• «Эксперимент Бабара» .в SLAC , Калифорния, и «эксперимент BELLE» .в KEK , Япония.