Уравнение Кана-Хильярд (после того, как Джон У. Кан и Джон Е. Хильярд ) представляет собой уравнение из математической физики , которая описывает процесс фазового разделения, с помощью которых два компонента бинарной жидкости самопроизвольно отдельной и образуют домены чистым в каждом компоненте. Если - концентрация жидкости, при этом с указанием областей, то уравнение записывается как
где - коэффициент диффузии с единицами измерения а также дает длину переходных областей между доменами. Здесь - частная производная по времени и является лапласианом вГабаритные размеры. Дополнительно количество определяется как химический потенциал.
С ним связано уравнение Аллена – Кана , а также стохастическое уравнение Кана – Хилларда и стохастическое уравнение Аллена – Кана.
Возможности и приложения
Математиков интересует существование единственного решения уравнения Кана – Хиллиарда, заданного гладкими начальными данными. Доказательство существенно опирается на существование функционала Ляпунова . В частности, если мы идентифицируем
как функционал свободной энергии, то
так что свободная энергия не растет со временем. Это также указывает на то, что сегрегация на домены является асимптотическим результатом эволюции этого уравнения.
В реальных экспериментах наблюдается сегрегация изначально смешанной бинарной жидкости на домены. Сегрегация характеризуется следующими фактами.
- Между сегрегированными доменами существует переходный слой, профиль которого задается функцией и, следовательно, типичная ширина поскольку эта функция является равновесным решением уравнения Кана – Хилларда.
- Интересен также тот факт, что сегрегированные домены растут во времени по степенному закону. То есть, если типичный размер домена, то . Это закон Лифшица – Слёзова, который был строго доказан для уравнения Кана – Хилларда и наблюдался в численном моделировании и реальных экспериментах с двойными жидкостями.
- Уравнение Кана – Хиллиарда имеет форму закона сохранения: с участием . Таким образом, процесс разделения фаз сохраняет общую концентрацию, чтобы .
- Когда одна фаза значительно больше, уравнение Кана-Хилларда может показать явление, известное как созревание Оствальда , когда меньшая фаза образует сферические капли, а более мелкие капли поглощаются посредством диффузии в более крупные.
Уравнения Кана – Хиллиарда находят применение в различных областях: в сложных жидкостях и мягком веществе (межфазный поток жидкости, наука о полимерах и в промышленных приложениях). Решение уравнения Кана – Хилларда для бинарной смеси показало, что оно хорошо совпадает с решением задачи Стефана и моделью Томаса и Виндла. [1] В настоящее время для исследователей представляет интерес связь фазового разделения уравнения Кана – Хилларда с уравнениями Навье – Стокса потока жидкости.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Vermolen, FJ; Gharasoo, MG; Zitha, PLJ; Брюнинг, Дж. (2009). «Численные решения некоторых задач диффузной границы: уравнение Кана – Хиллиарда и модель Томаса и Виндла». Международный журнал многомасштабной вычислительной инженерии . 7 (6): 523–543. DOI : 10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40 .
- Кан, Джон В .; Хиллиард, Джон Э. (1958). «Свободная энергия неоднородной системы. I. Межфазная свободная энергия». Журнал химической физики . Издательство AIP. 28 (2): 258–267. Bibcode : 1958JChPh..28..258C . DOI : 10.1063 / 1.1744102 . ISSN 0021-9606 .
- Брей, AJ (1994). «Теория кинетики фазового упорядочения». Успехи физики . 43 (3): 357–459. arXiv : cond-mat / 9501089 . Bibcode : 1994AdPhy..43..357B . DOI : 10.1080 / 00018739400101505 . ISSN 0001-8732 . S2CID 83182 .
- Чжу, Цзинчжи; Чен, Лун-Цин; Шен, Цзе; Тикаре, Вина (1999-10-01). "Кинетика укрупнения из уравнения Кана-Хилларда переменной подвижности: Применение полунявного спектрального метода Фурье". Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 60 (4): 3564–3572. Bibcode : 1999PhRvE..60.3564Z . DOI : 10.1103 / physreve.60.3564 . ISSN 1063-651X . PMID 11970189 .
- Эллиотт, Чарльз М .; Сонгму, Чжэн (1986). «Об уравнении Кана-Хиллиарда». Архив рациональной механики и анализа . Springer Nature. 96 (4): 339–357. Bibcode : 1986ArRMA..96..339E . DOI : 10.1007 / bf00251803 . ISSN 0003-9527 . S2CID 56206640 .
- Areias, P .; Samaniego, E .; Рабчук, Т. (17 декабря 2015 г.). «Постепенный подход для связи диффузии типа Кана – Хилларда и упругости при конечной деформации» . Вычислительная механика . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 57 (2): 339–351. DOI : 10.1007 / s00466-015-1235-1 . ISSN 0178-7675 . S2CID 123982946 .
- Хашимото, Такэдзи; Мацудзака, Кацуо; Моисей, Елисей; Онуки, Акира (1995-01-02). «Фаза струны в фазоразделительных жидкостях при сдвиговом потоке». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 74 (1): 126–129. Bibcode : 1995PhRvL..74..126H . DOI : 10.1103 / physrevlett.74.126 . ISSN 0031-9007 . PMID 10057715 .
- Т. Урселл, «Кинетика Кана – Хиллиарда и спинодальное разложение в диффузной системе», Калифорнийский технологический институт (2007).