Теорема Кантора об изоморфизме
В теории порядка и теории моделей , разделах математики, теорема Кантора об изоморфизме утверждает, что каждые два счетных плотных неограниченных линейных порядка изоморфны порядку . Он назван в честь Георга Кантора и может быть доказан обратным методом, иногда приписываемым Кантору, но в оригинальном доказательстве Кантора использовалась только «прямая» половина этого метода. [1]
Имея в руках эти определения, теорема Кантора об изоморфизме утверждает, что любые два неограниченных счетных плотных линейных порядка изоморфны по порядку. [1]
Некоторые подмножества рациональных чисел также счетны, неограничены и плотны. Примером могут служить рациональные числа в открытом единичном интервале. Другим примером является набор двоично-рациональных чисел, чисел, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и степенью двойки в качестве знаменателя. По теореме Кантора об изоморфизме двоичные рациональные числа изоморфны по порядку всему множеству рациональных чисел. В этом примере явный изоморфизм порядка обеспечивается функцией вопросительного знака Минковского . [3] Другим примером счетного неограниченного плотного линейного порядка является множество действительных алгебраических чисел, действительные корни многочленов с целыми коэффициентами. В этом случае они являются надмножеством рациональных чисел, но снова изоморфны по порядку. [4] Также можно применить теорему к другим линейным порядкам, элементы которых не определены как числа.
Одно доказательство теоремы Кантора об изоморфизме, называемое в некоторых источниках «стандартным доказательством», [5] использует метод « туда-сюда » . Это доказательство строит изоморфизм между любыми двумя заданными порядками, используя жадный алгоритм , в порядке, заданном счетным перечислением двух порядков. Более подробно, доказательство поддерживает два изоморфных по порядку конечных подмножества и двух заданных порядков, изначально пустых. Это многократно увеличивает размеры ипутем добавления нового элемента из одного порядка, первого отсутствующего элемента в его перечислении, и сопоставления его с эквивалентным порядку элементом другого порядка, существование которого доказано с использованием плотности и отсутствия конечных точек порядка. Он чередует два порядка, для которых он ищет первый отсутствующий элемент, и для которого он использует, чтобы найти соответствующий элемент. Каждый элемент каждого порядка в конечном итоге сопоставляется с эквивалентным по порядку элементом другого порядка, поэтому два порядка изоморфны. [6]
Хотя обратный метод также приписывают Кантору, в оригинальной публикации Кантором этой теоремы в 1895–1897 годах использовалось другое доказательство. [6] В исследовании истории этой теоремы, проведенном логиком Чарльзом Л. Сильвером, самый ранний пример обратного доказательства, найденного Сильвером, был в учебнике Феликса Хаусдорфа 1914 года . [6]
