В математике , теорема Каратеодори является теорема комплексного анализа , названный в честь Константина Carathéodory , расширяющий теорему Римана . Теорема, впервые доказанная в 1913 году, утверждает, что конформное отображение, переводящее единичный круг в область комплексной плоскости, ограниченную жордановой кривой, непрерывно продолжается до гомеоморфизма с единичной окружности на жордановую кривую. Результатом является один из результатов Каратеодори о простых концах и граничном поведении однолистных голоморфных функций.
Доказательства теоремы Каратеодори
Первое доказательство теоремы Каратеодори, представленное здесь, является кратким изложением краткого самодостаточного отчета в Garnett & Marshall (2005 , стр. 14–15); есть связанные доказательства в Pommerenke (1992) и Krantz (2006) .
Ясно, что если f допускает продолжение до гомеоморфизма, то ∂ U должна быть жордановой кривой.
И наоборот , если ∂ U является кривой Жордана, первый шаг, чтобы доказать , F непрерывно продолжается на замыкание D . Фактически, это будет иметь место тогда и только тогда, когда f равномерно непрерывна на D : поскольку это верно, если она имеет непрерывное продолжение до замыкания D ; и, если е равномерно непрерывен, то легко проверить , е имеет пределы на единичной окружности и то же неравенство для равномерного удержания непрерывности на замыкании D .
Предположим, что f не является равномерно непрерывным. В этом случае должны быть ε> 0 и точка ζ на единичной окружности и последовательности z n , w n, стремящиеся к ζ с | f ( z n ) - f ( w n ) | ≥ 2ε. Это показано ниже , чтобы привести к противоречию, так что е должна быть равномерно непрерывной , и , следовательно , имеет непрерывное продолжение на замыкание D .
Для 0 < r <1 пусть γ r - кривая, заданная дугой окружности | z - ζ | = Г , лежащий в пределах D . Тогда f ∘ γ r - жорданова кривая. Его длину можно оценить с помощью неравенства Коши – Шварца :
Следовательно, существует «оценка длины и площади»:
Конечность интеграла в левой части означает, что существует последовательность r n, убывающая до 0 сстремится к 0. Но длина кривой g ( t ) для t в ( a , b ) задается формулой
Конечность следовательно, следует, что кривая имеет на двух концах предельные точки a n , b n с | а н - б н | ≤, Так что эта разность стремится к 0. Эти две предельных точки должны лежать на ∂ U , поскольку F является гомеоморфизмом между D и U и , следовательно , последовательностью , сходящейся в U должна быть образом при F последовательности , сходящейся в D . Так как ∂ U является гомеоморфным образом окружности ∂ D , расстояние между двумя соответствующими параметрами ξ п и η п в ∂ U должен стремиться к 0. Таким образом , в конечном счете , наималейшую дугой окружности в ∂ D присоединениями £ , п и п п определен и, по равномерной непрерывности, диаметр его образа τ n стремится к 0. Вместе τ n и f ∘ γ r n образуют простую жорданову кривую. Его внутренняя часть U n содержится в U по теореме Жордана о кривой для ∂ U и ∂ U n : чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что U является внутренней частью ∂ U , поскольку она ограничена, связна и одновременно открыта и замкнута в дополнение к ∂ U ; поэтому внешняя область ∂ U неограничена, связна и не пересекает ∂ U n , следовательно, ее замыкание содержится в замыкании внешней части ∂ U n ; взяв дополнения, получаем желаемое включение. Диаметр ∂ U n стремится к 0, потому что диаметры τ n и f ∘ γ r n стремятся к 0. Следовательно, диаметр и площадь U n стремятся к 0.
Теперь, если V n обозначает пересечение D с диском | z - ζ | < r n , то f ( V n ) = U n . Действительно, дуга γ r n делит D на V n и дополнительную область; U n является связной компонентой U \ f ∘ γ r n , поскольку она связна и одновременно открыта и замкнута в этом множестве, поэтому при конформном гомеоморфизме f кривая f ∘ γ r n делит U на U n и дополнительный область U n ′, одна из которых равна f ( V n ). Поскольку площади f ( V n ) и U n стремятся к 0, в то время как сумма площадей U n и U n 'фиксирована, отсюда следует, что f ( V n ) = U n .
Таким образом, диаметр f ( V n ) стремится к 0. С другой стороны, переходя к подпоследовательностям ( z n ) и ( w n ), если необходимо, можно предположить, что z n и w n оба лежат в V n . Но это дает противоречие, поскольку | f ( z n ) - f ( w n ) | ≥ ε. Таким образом , е должны быть равномерно непрерывной на U .
Таким образом , F непрерывно продолжается на замыкание D . Так как F ( D ) = U , компактностью F осуществляет замыкание D на замыкание U и , следовательно , ∂ D на ∂ U . Если f не однозначно , на ∂ D есть точки u , v с u ≠ v и f ( u ) = f ( v ). Пусть X и Y - радиальные прямые от 0 до u и v . Тогда f ( X ∪ Y ) - жорданова кривая. Рассуждая, как и раньше, его внутренняя часть V содержится в U и является связной компонентой U \ f ( X ∪ Y ). С другой стороны, D \ ( X ∪ Y ) представляет собой несвязное объединение двух открытых секторов W 1 и W 2 . Следовательно, для одного из них, W 1 скажем, F ( W 1 ) = V . Пусть Z будет частью ∂ W 1 на единичной окружности, так что Z является замкнутой дугой и F ( Z ) является подмножеством как ∂ U и закрытие V . Но их пересечение является единственной точкой и , следовательно , е постоянна на Z . Согласно принципу отражения Шварца, f можно аналитически продолжить конформным отражением поперек дуги окружности. Поскольку непостоянные голоморфные функции имеют изолированные нули, это вынуждает f быть постоянным; противоречие. Таким образом , е является один-один и , следовательно , гомеоморфизм на замыкании D . [1] [2]
Два разных доказательства теоремы Каратеодори описаны в работах Каратеодори (1954) и Каратеодори (1998) . Первое доказательство следует оригинальному методу Каратеодори доказательства с 1913 года , используя свойства меры Лебега на окружности: непрерывное продолжение обратной функции г о е к ∂ U оправдываются теоремами Фата о граничном поведении ограниченных гармонических функций в единичном круге . Второе доказательство основано на методе Линделёфа (1914) , где было установлено усиление неравенства максимального модуля для ограниченных голоморфных функций h, определенных в ограниченной области V : если a лежит в V , то
- | h ( а ) | ≤ m t ⋅ M 1 - t ,
где 0 ≤ т ≤ 1, М является максимальным модулем ч для последовательных ограничений на ∂ U и т является максимальным модулем ч для последовательных ограничений на ∂ U , лежащих в секторе сосредоточены на стягивающей угол 2я т при . [3]
Непрерывное продолжение и теорема Каратеодори-Торхорста
Расширение теоремы утверждает, что конформный изоморфизм
- ,
где -односвязное подмножество сферы Римана , непрерывно продолжается на единичной окружность тогда и только тогда , когда граница изявляется локально связным .
Этот результат часто также приписывают Каратеодори, но впервые он был сформулирован и доказан Мари Торхорст в ее диссертации 1918 года [4] под руководством Ганса Хана с использованием теории простых концов Каратеодори . Точнее, Торхорст доказал, что локальная связность эквивалентна области, имеющей только простые концы первого рода. Согласно теории простых концов, последнее свойство, в свою очередь, эквивалентно имеющий непрерывное расширение.
Заметки
- Перейти ↑ Krantz 2006 , pp. 116–117
- Перейти ↑ Garnett & Marshall 2005 , p. 15
- ^ Ahlfors 2010 , стр. 37-40
- ^ Torhorst, Мари (1921), "Über ден Rand дер Einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete" , Mathematische Zeitschrift , 9 (1-2): 44-65, DOI : 10.1007 / BF01378335 , S2CID 120418797
Рекомендации
- Каратеодори, К. (1913a), "Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung", Göttingen Nachrichten : 509–518
- Каратеодори, С. (1913b), "Убер умереть gegenseitige Beziehung дер Rander Bei дер konformen Abbildung де Inneren етег Jordanschen Kurve Ауф Einen Kreis" , Mathematische Annalen , Спрингер Берлин / Гейдельберг, 73 (2): 305-320, DOI : 10.1007 / BF01456720 , ISSN 0025-5831 , JFM 44.0757.01 , S2CID 117117051
- Каратеодори, К. (1954), Теория функций комплексного переменного, Vol. 2 , перевод Ф. Стейнхардта, Челси
- Каратеодори, К. (1998), Конформное представление (перепечатка второго издания 1952 года) , Довер, ISBN 0-486-40028-X
- Lindelöf, E. (1914), "Sur la représentation conorme", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Париж, 158 : 245–247.
- Lindelöf, E. (1916), "Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur l'aire d'un cercle", 4-й Международный конгресс скандинавских математиков , стр. 59–90
- Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: вопросы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
- Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005), Гармоническая мера , Новые математические монографии, 2 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47018-8
- Голузин Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, 26 , Американское математическое общество
- Кранц, Стивен Г. (2006), Геометрическая теория функций: исследования в комплексном анализе , Биркхойзер, ISBN 0-8176-4339-7
- Маркушевич А. И. Теория функций комплексного переменного. Vol. III , Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0296-5, Руководство по ремонту 0444912
- Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Поммеренке, К. (1992), Граничное поведение конформных отображений , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 299 , Springer, ISBN 3-540-54751-7
- Щиты, Allen (1988), "Каратеодори и конформное отображение", Математическая Интеллидженсер , 10 (1): 18-22, DOI : 10.1007 / BF03023846 , ISSN 0343-6993 , МР 0918659 , S2CID 189887440
- Уайберн, Гордон Т. (1942), Аналитическая топология , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 28 , Американское математическое общество