В элементарных арифметиках , А перенос является цифрой , которая передается от одного столбца цифр в другую колонку более значимых цифр. Она является частью стандартного алгоритма для добавления номера вместе, начиная с крайними правыми цифрами и работает влево. Например, когда 6 и 7 складываются, чтобы получилось 13, «3» записывается в тот же столбец, а «1» переносится влево. При использовании для вычитания операция называется заимствованием .
В традиционной математике делается упор на несение навыков, в то время как в учебных планах, основанных на реформировании математики , не выделяется какой-либо конкретный метод поиска правильного ответа. [ необходима цитата ]
Керриинг несколько раз появляется и в высшей математике. В вычислительной технике перенос - важная функция схем сумматора .
Ручная арифметика
Типичный пример переноски - это следующее дополнение карандашом и бумагой:
1 27+ 59---- 86
7 + 9 = 16, а цифра 1 - перенос.
Противоположным является заимствование , как в
−1 47- 19---- 28 год
Здесь 7-9 = −2 , поэтому попробуйте (10-9) + 7 = 8 , и 10 будет получено путем взятия («заимствования») 1 из следующей цифры слева. Этому обычно учат двумя способами:
- Десять будет перемещен из следующей позиции влево, в результате чего в этом примере 3 - 1 в столбце десятков. Согласно этому методу, термин «заимствовать» - неправильное употребление , поскольку десять никогда не возвращаются.
- Десять копируется из следующей слева цифры, а затем «возвращается», добавляя ее к вычитаемому в столбце, из которого она была «заимствована», давая в этом примере 4 - (1 + 1) в столбце десятков.
Математическое образование
Традиционно керри преподается путем сложения многозначных чисел во втором или в конце первого года начальной школы. Однако с конца 20-го века многие широко принятые учебные программы, разработанные в Соединенных Штатах, такие как TERC, опускали обучение традиционному методу переноса в пользу изобретенных арифметических методов и методов с использованием раскраски, манипуляций и диаграмм. Такие упущения подверглись критике со стороны таких групп, как « Mathematically Correct» , и с тех пор некоторые штаты и округа отказались от этого эксперимента, хотя он по-прежнему широко используется. [ необходима цитата ]
Высшая математика
Теорема Куммера утверждает, что количество переносов, участвующих в сложении двух чисел в базе равен показателю наибольшей степени деление определенного биномиального коэффициента .
Когда добавляются несколько случайных чисел из многих цифр, статистика переносимых цифр обнаруживает неожиданную связь с числами Эйлера и статистикой перестановок случайного тасования . [1] [2] [3] [4]
В абстрактной алгебре операцию переноса двузначных чисел можно формализовать на языке групповых когомологий . [5] [6] [7] Эта точка зрения может быть применена к альтернативным характеристикам действительных чисел . [8] [9]
Механические калькуляторы
Carry представляет собой одну из основных задач, стоящих перед проектировщиками и производителями механических калькуляторов . Они сталкиваются с двумя основными трудностями: первая связана с тем, что для переноса может потребоваться изменение нескольких цифр: чтобы прибавить 1 к 999, автомат должен увеличить 4 разные цифры. Еще одна проблема заключается в том, что перенос может «развиться» до того, как следующая цифра завершит операцию сложения.
Большинство механических калькуляторов реализуют перенос, выполняя отдельный цикл переноса после самого добавления. Во время сложения каждый перенос скорее «сигнализируется», чем выполняется, и во время цикла переноса машина увеличивает цифры над «инициированными» цифрами. Эта операция должна выполняться последовательно, начиная с разряда единиц, затем с десятков, сотен и так далее, поскольку добавление переноса может сгенерировать новый перенос в следующей цифре.
Некоторые машины, особенно калькулятор Паскаля , второй известный калькулятор, который будет построен, и самый старый из сохранившихся, используют другой метод: увеличение цифры от 0 до 9, взведение механического устройства для хранения энергии и следующее приращение, которое перемещает цифру. от 9 до 0, высвобождает эту энергию, чтобы увеличить следующую цифру на 1. Паскаль использовал веса и гравитацию в своей машине. Еще одна известная машина, использующая аналогичный метод, - это очень успешный Comptometer 19 века , который заменил гири пружинами.
Некоторые инновационные машины используют непрерывную передачу: добавляя 1 к любой цифре, следующая цифра увеличивается на 1/10 (которая, в свою очередь, увеличивает следующую на 1/100 и т. Д.). Некоторые инновационные ранние калькуляторы, в частности, калькулятор Чебышева 1870 года [10] и разработка Selling [11] 1886 года, использовали этот метод, но ни один из них не был успешным. В начале 1930-х годов калькулятор Marchant с большим успехом реализовал непрерывную передачу данных, начиная с калькулятора с метко названным «Silent Speed». Марчант (позже ставшая корпорацией SCM ) продолжала использовать и улучшать его и производила калькуляторы с непрерывной передачей с непревзойденной скоростью до конца 1960-х, до конца эры механических калькуляторов.
Вычисление
Когда говорят о цифровой схеме, такой как сумматор, слово перенос используется в аналогичном смысле.
В большинстве компьютеров перенос из наиболее значимого бита арифметической операции (или бит, сдвинутый из операции сдвига) помещается в специальный бит переноса, который может использоваться как переносимый для арифметических операций с высокой точностью или проверяться и использоваться для контролировать выполнение компьютерной программы . Тот же бит переноса также обычно используется для обозначения заимствований при вычитании, хотя значение бита инвертируется из-за эффектов арифметики дополнения до двух . Обычно значение бита переноса «1» означает, что добавление переполнило ALU , и его необходимо учитывать при добавлении слов данных, длина которых превышает длину ЦП. Для операций вычитания используются два (противоположных) соглашения, поскольку большинство машин устанавливают флаг переноса при заимствовании, в то время как некоторые машины (такие как 6502 и PIC) вместо этого сбрасывают флаг переноса при заимствовании (и наоборот).
Рекомендации
- ^ Holte, Джон М. (февраль 1997), "Несет, Комбинаторику и Удивительную Матрицу", Американские математический Monthly , 104 (2): 138-149, DOI : 10,2307 / 2974981 , JSTOR 2974981
- ^ Диаконис, Перси ; Фулман, Джейсон (август 2009 г.), «Перенос, перемешивание и симметричные функции», Успехи в прикладной математике , 43 (2): 176–196, arXiv : 0902.0179 , doi : 10.1016 / j.aam.2009.02.002
- ^ Бородин, Алексей ; Диаконис, Перси ; Фулман, Джейсон (октябрь 2010 г.), «О добавлении списка чисел (и других зависимых от одного детерминантного процесса)», Бюллетень Американского математического общества , 47 (4): 639–670, arXiv : 0904.3740 , doi : 10.1090 / S0273-0979-2010-01306-9
- ^ Накано, Фумихико; Sadahiro, Taizo (февраль 2014), "Обобщение переносов процессов и эйлерова числа", Авансы в прикладной математике , 53 : 28-43, DOI : 10.1016 / j.aam.2013.09.005
- ^ Hegland, M .; Wheeler, WW (январь 1997), "Линейные биекции и быстрое преобразование Фурье", Применимая алгебра в инженерной, связи и вычислительной технике , 8 (2): 143-163, DOI : 10.1007 / s002000050059
- ^ Isaksen, Daniel C. (ноябрь 2002), "когомологическую Точка зрения на начальной школы арифметика" (PDF) , Американского математического ежемесячника , 109 (9): 796-805, DOI : 10,2307 / 3072368 , JSTOR 3072368 , архивируются от оригинала (PDF) 16 января 2014 г. , данные получены 22 января 2014 г.
- ^ Боровик, Александр В. (2010), Математика под микроскопом: Заметки о когнитивных аспектах математической практики , AMS , стр. 87–88, ISBN 978-0-8218-4761-9
- ^ Метрополис, Н. ; Джан-Карло, Рота ; Tanny, С. (май 1973), "Значение Арифметический: балансовая Алгоритм", Журнал комбинаторной теории, Series A , 14 (3): 386-421, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (73) 90013-7
- ^ Фалтин, Ф .; Метрополис, Н. ; Росс, В .; Рота, Г.-К. (Июнь 1975), "Реальные цифры как сплетение", Успехи математических наук , 16 (3): 278-304, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (75) 90115-2
- ^ Рогель, Денис (2015). "Счетная машина непрерывного действия Чебышева" (PDF) .
- ^ Эрнст, Мартин (1925). Счетные машины (PDF) . Институт Чарльза Бэббиджа. п. 96.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Керри» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Заимствование» . MathWorld .
- Проведение - nLab