Проекция кассини

Кассини проекция мира

Проекция Кассини с индикатрисами 1000 км

Кассиня проекция мира моделируется как сильно сплющенный эллипсоид с уплощением 1: 2 (= эксцентриситет ^{√ 3} / ₂ )

Проекции Кассини (иногда также известный как проекции Кассини-Soldner или Soldner проекции ^[1] ) является отображение проекции описывается Цезарь Франсуа Кассини в 1745. ^[2] Это поперечная сторона в нужной проекции , в том , что земной шар сначала поворачивается так, что центральный меридиан становится «экватором», а затем применяется нормальная равнопрямоугольная проекция. Если рассматривать Землю как сферу, проекция состоит из следующих операций:

${\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ right).}$

где λ - долгота от центрального меридиана, а φ - широта. При программировании этих уравнений функция обратной тангенса фактически является функцией atan2 с первым аргументом sin  φ и вторым cos φ cos λ .

Обратная операция состоит из операций:

${\ displaystyle \ varphi = \ arcsin (\ sin y \ cos x) \ qquad \ lambda = \ operatorname {atan2} (\ tan x, \ cos y).}$

На практике проекция всегда применялась к моделям Земли в виде эллипсоида , что значительно усложняет математическое развитие, но подходит для съемки. Тем не менее, использование проекции Кассини в значительной степени было заменено поперечной проекцией Меркатора , по крайней мере, центральными картографическими агентствами.

Искажения [ править ]

Участки вдоль центрального меридиана и под прямым углом к ​​нему не искажаются. В других местах искажение происходит в основном в направлении север-юг и изменяется на квадрат расстояния от центрального меридиана. Таким образом, чем больше продольная протяженность области, тем хуже становится искажение.

Из-за этого проекция Кассини лучше всего работает на длинных узких участках и хуже всего - на широких.

Эллиптическая форма [ править ]

Кассини известен как сферическая проекция, но ее можно обобщить как эллиптическую форму.

Если рассматривать Землю как эллипс, проекция состоит из следующих операций:

${\ Displaystyle N = (1-е ^ {2} \ грех ^ {2} \ varphi) ^ {- 1/2}}$

${\ Displaystyle Т = \ загар ^ {2} \ varphi}$

${\ Displaystyle А = \ лямбда \ соз \ varphi}$

${\ Displaystyle С = {\ гидроразрыва {е ^ {2}} {1-е ^ {2}}} \ соз ^ {2} \ varphi}$

${\ displaystyle x = N \ left (AT {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}} \ right) }$

${\displaystyle y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)}$

и M - функция меридионального расстояния .

Обратная операция состоит из операций:

${\displaystyle \varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)}$

Если тогда и${\displaystyle \varphi '={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \varphi =\varphi '}$${\displaystyle \lambda =0.}$

В противном случае вычислите T и N, как указано выше , и${\displaystyle \varphi '}$

${\displaystyle R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}}$

${\displaystyle D=x/N}$

${\displaystyle \varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}}$

См. Также [ править ]

• Сетка Кассини

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с проекцией Кассини на Викискладе?
• Таблица с примерами и свойствами всех распространенных проекций , с сайта radicartography.net
• Геофакты при съемке боеприпасов на проекции Кассини
• Кассини данс proj4