Поперечная проекция Меркатора

Поперечная проекция Меркатора

Поперечная Меркатора проекция карты является адаптацией стандартной проекции Меркатора . Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая универсальную поперечную проекцию Меркатора . В сочетании с подходящей геодезической точкой отсчета поперечная проекция Меркатора обеспечивает высокую точность в зонах менее нескольких градусов с востока на запад.

Стандартные и поперечные аспекты [ править ]

Сравнение касательной и секущей форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями красного цвета

Поперечная проекция Меркатора - это поперечный аспект стандартной (или Нормальной ) проекции Меркатора. Они имеют одну и ту же основную математическую конструкцию, и, следовательно, поперечный Меркатор наследует многие черты от нормального Меркатора:

• Обе проекции являются цилиндрическими : для нормальной проекции Меркатора, ось цилиндра совпадает с полярной осью и линией касания с экватором. Для поперечной проекции Меркатора ось цилиндра лежит в экваториальной плоскости, а линия касания - это любой выбранный меридиан, обозначенный тем самым центральным меридианом .
• Обе проекции могут быть преобразованы в секущие формы, что означает, что масштаб был уменьшен, так что цилиндр рассекает глобус модели.
• Оба существуют в сферической и эллипсоидальной версиях.
• Обе проекции конформны , поэтому шкала точек не зависит от направления, а локальные формы хорошо сохраняются;
• Обе проекции имеют постоянный масштаб на линии касания (экватор для нормали Меркатора и центральный меридиан для поперечной).

Поскольку центральный меридиан поперечной проекции Меркатора может быть выбран по желанию, его можно использовать для построения высокоточных карт (небольшой ширины) в любой точке земного шара. Секущая, эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора - наиболее широко применяемая из всех проекций для точных крупномасштабных карт.

Сферический поперечный Меркатор [ править ]

При построении карты на любой проекции сфера обычно выбирается для моделирования Земли, когда протяженность нанесенной на карту области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт меньших регионов следует выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом . ^{[1] [2]} (Текст также доступен в современном английском переводе. ^[3] ) Ламберт не назвал свои прогнозы; название поперечный Меркатор датируется второй половиной девятнадцатого века. ^[4] Здесь представлены основные свойства поперечной проекции в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальные и поперечные сферические проекции [ править ]

	Нормальный Меркатор			Поперечный Меркатор
	Сферический нормальный (экваториальный) Меркатор (усеченный в y  = ± π, что соответствует примерно 85 градусам).			Сферическая поперечная проекция Меркатора (усеченная по x  = ± π в единицах радиуса Земли).
•	Центральный меридиан проецируется на прямую x  = 0. Остальные меридианы проецируются на прямые линии с  постоянной x .		•	Центральный меридиан проецируется на прямую линию x  = 0. Меридианы, расположенные на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана, переходят к линиям постоянной  y через проецируемые полюса. Все остальные меридианы образуют сложные кривые.
•	Экватор проецируется на прямую y  = 0, а параллельные окружности проецируются на прямые с постоянным  y .		•	Экватор направлен к прямой y  = 0, но все остальные параллели представляют собой сложные замкнутые кривые.
•	Спроецированные меридианы и параллели пересекаются под прямым углом.		•	Спроецированные меридианы и параллели пересекаются под прямым углом.
•	Проекция неограничена в направлении y . Полюса лежат на бесконечности.		•	Проекция неограничена в направлении x . Точки на экваторе под углом девяноста градусов от центрального меридиана проецируются на бесконечность.
•	Проекция конформна. Хорошо сохранились формы мелких элементов.		•	Проекция конформна. Хорошо сохранились формы мелких элементов.
•	Искажение увеличивается с увеличением  y . Проекция не подходит для карт мира. Около экватора искажение невелико, и проекция (особенно в ее эллипсоидальной форме) подходит для точного картирования экваториальных областей.		•	Искажение увеличивается с увеличением  x . Проекция не подходит для карт мира. Вблизи центрального меридиана искажения небольшие, и проекция (особенно в ее эллипсоидальной форме) подходит для точного картирования узких областей.
•	Гренландия почти такая же большая, как Африка; фактическая площадь составляет примерно одну четырнадцатую площади Африки.		•	Гренландия и Африка находятся недалеко от центрального меридиана; их формы хороши, а соотношение площадей является хорошим приближением к фактическим значениям.
•	Коэффициент балльной шкалы не зависит от направления. Это функция  y на проекции. (На сфере это зависит только от широты.) На экваторе шкала верна.		•	Коэффициент балльной шкалы не зависит от направления. Это функция x на проекции. (На сфере это зависит и от широты, и от долготы.) Масштаб соответствует центральному меридиану.
•	Проекция достаточно точна около экватора. Масштаб на угловом расстоянии 5 ° (по широте) от экватора менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на экваторе, и примерно на 1,54% больше на угловом расстоянии 10 °.		•	Проекция достаточно точна около центрального меридиана. Масштаб на угловом расстоянии 5 ° (по долготе) от центрального меридиана менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на центральном меридиане, и составляет около 1,54% на угловом расстоянии 10 °.
•	В секущей версии масштаб уменьшен на экваторе, и это верно для двух линий, параллельных проектируемому экватору (и соответствующих двум параллельным окружностям на сфере).		•	В секущей версии масштаб уменьшен по центральному меридиану, и это верно по двум линиям, параллельным проектируемому центральному меридиану. (Две линии не являются меридианами.)
•	Сходимость (угол между проецируемыми меридианами и линиями сетки с постоянной x ) идентично нулю. Север сетки и истинный север совпадают.		•	Сходимость нулевая на экваторе и отличная от нуля везде. Он увеличивается по мере приближения к полюсам. Сеточный север и истинный север не совпадают.
•	Линии румба (с постоянным азимутом на сфере) переходят в прямые.

Эллипсоидальная поперечная проекция Меркатора [ править ]

Эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора была разработана Карлом Фридрихом Гауссом в 1825 году ^[5] и в дальнейшем проанализирована Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. ^[6] Проекция известна под несколькими названиями: конформная проекция Гаусса или Гаусс-Крюгер в Европе; поперечный Меркатор в США; или поперечная проекция Меркатора Гаусса-Крюгера вообще. Проекция соответствует постоянному масштабу на центральном меридиане. (Существуют и другие конформные обобщения поперечной проекции Меркатора от сферы до эллипсоида, но только Гаусс-Крюгер имеет постоянный масштаб на центральном меридиане.) На протяжении двадцатого века поперечная проекция Меркатора по Гауссу-Крюгеру принималась в той или иной форме, многими странами (и международными организациями);^[7] кроме того, он служит основой длясерии проекций универсальной поперечной проекции Меркатора . Проекция Гаусса – Крюгера в настоящее время является наиболее широко используемой проекцией при точном крупномасштабном картографировании. ^{[ необходима цитата ]}

Проекция, разработанная Гауссом и Крюгером, была выражена в терминах степенных рядов низкого порядка, которые, как предполагалось, расходились в направлении восток-запад, точно так же, как в сферической версии. Это было доказано британским картографом Э. Х. Томпсоном, чья неопубликованная точная (закрытая форма) версия проекции, представленная Л. П. Ли в 1976 г. ^[8], показала, что эллипсоидальная проекция конечна (см. Ниже). Это наиболее разительное различие между сферической и эллипсоидальной версиями поперечной проекции Меркатора: Гаусс-Крюгер дает разумную проекцию всего эллипсоида на плоскость, хотя его основное применение - точное крупномасштабное картографирование «близко» к центральной проекции. меридиан. ^{[ необходима цитата ]}

Особенности [ править ]

• Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) проекция имеет низкое искажение, а формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды выгодно отличаются от земного шара.
• Центральные области поперечных проекций на сфере и эллипсоиде неотличимы на мелкомасштабных проекциях, показанных здесь.
• Меридианы на 90 ° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана проецируются в горизонтальные линии через полюса. Более дальнее полушарие проецируется над северным полюсом и под южным полюсом.
• Экватор делит Африку пополам, пересекает Южную Америку и затем продолжается до полной внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края должны быть идентифицированы (т. е. они представляют собой одни и те же линии на земном шаре). (Индонезия разделена пополам.)
• Искажение увеличивается по направлению к правой и левой границам проекции, но не увеличивается до бесконечности. Обратите внимание на Галапагосские острова, где западный меридиан 90 ° пересекает экватор слева внизу.
• Карта конформна. Линии, пересекающиеся под любым указанным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом на проекции. В частности, параллели и меридианы пересекаются под углом 90 °.
• Фактор точечного масштабирования не зависит от направления в любой точке, поэтому форма небольшой области достаточно хорошо сохраняется. Необходимым условием является то, что величина масштабного фактора не должна слишком сильно варьироваться в рассматриваемом регионе. Обратите внимание, что, хотя Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы иметь разумную форму, хотя он находится далеко от центрального меридиана.
• Выбор центрального меридиана сильно влияет на внешний вид проекции. Если выбрать 90 ° з.д., то вся Америка будет разумной. Если выбрать 145 ° в. Д., Дальний Восток будет хорошим, а Австралия ориентирована на север вверх.

В большинстве приложений система координат Гаусса – Крюгера применяется к узкой полосе около центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидальной версиями невелики, но, тем не менее, важны для точного картирования. Прямые ряды для масштаба, сходимости и искажения являются функциями эксцентриситета, а также широты и долготы на эллипсоиде: обратные ряды являются функциями эксцентриситета, а также x и y на проекции. В секущей версии линии истинного масштаба на проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка изгибаются. Угол схождения между проецируемыми меридианами и xпостоянные линии сетки больше не равны нулю (кроме экватора), поэтому азимут сетки должен быть скорректирован для получения азимута от истинного севера. Разница небольшая, но заметная, особенно в высоких широтах.

Реализации проекции Гаусса – Крюгера [ править ]

В своей статье 1912 года ^[6] Крюгер представил два различных решения, отличающихся здесь параметром разложения:

• Крюгер – п (абзацы с 5 по 8): Формулы для прямой проекции, дающие координаты x и y , представляют собой разложения четвертого порядка с точки зрения третьего сглаживания, n (отношение разности и суммы большой и малой осей эллипсоид). Коэффициенты выражаются через широту ( φ ), долготу ( λ ), большую ось ( a ) и эксцентриситет ( e ). Обратные формулы для φ и λ также являются разложениями четвертого порядка по n, но с коэффициентами, выраженными через x , y , a ие .
• Крюгер – λ (параграфы 13 и 14): формулы, задающие координаты проекции x и y, представляют собой разложения (порядка 5 и 4 соответственно) по долготе λ , выраженной в радианах: коэффициенты выражаются через φ , a и е . Обратная проекция для φ и λ представляет собой разложение шестого порядка по отношениюИкс/а, с коэффициентами, выраженными через y , a и e . (См. Поперечная проекция Меркатора: серия Redfearn .)

Серия Krüger – λ была первой, которая была реализована, возможно, потому, что их было намного легче вычислять на ручных калькуляторах середины двадцатого века.

• Ли – Редферн – OSGB : В 1945 году LP Lee ^[9] подтвердил λ- расширения Крюгера и предложил принять их в OSGB ^[10], но Редферн (1948) ^[11] указал, что они неточны из-за (а) относительно высокие широты Великобритании и (б) большая ширина нанесенной на карту области, более 10 градусов долготы. Redfearn расширил серию до восьмого порядка и изучил, какие условия необходимы для достижения точности 1 мм (измерение грунта). Серия Redfearn по-прежнему является основой картографических проекций OSGB. ^[10]
• Томас – UTM : λ- расширения Крюгера были также подтверждены Полом Томасом в 1952 г .: ^[12] они легко доступны в Снайдере. ^[13] Его формулы проекции, полностью эквивалентные тем, которые были представлены Редфирном, были приняты Агентством Министерства обороны США по картированию в качестве основы для UTM . ^[14] Они также включены в преобразователь координат Geotrans ^[15], предоставленный Национальным агентством геопространственной разведки США [3] .
• Другие страны : серия Redfearn является основой для геодезических карт во многих странах: Австралии, Германии, Канаде, Южной Африке и многих других. (Список приведен в Приложении A.1 документа Stuifbergen 2009.) ^[16]
• Было предложено множество вариантов серии Redfearn, но важны только те, которые приняты национальными картографическими агентствами. Пример модификаций, не имеющих этого статуса, см. В разделе « Поперечный Меркатор: серия Bowring» ). Все такие модификации затмились мощью современных компьютеров и развитием n- серии высокого порядка, описанной ниже. Точные серии Redfearn, хотя и низкого порядка, нельзя игнорировать, поскольку они по-прежнему закреплены в квази-юридических определениях OSGB, UTM и т. Д.

Серия Krüger – n была реализована (до четвертого порядка по n ) следующими странами.

• Франция ^[17]
• Финляндия ^[18]
• Швеция ^[19]
• Япония ^[20]

Версии более высокого порядка серии Крюгер- н были реализованы до седьмого порядка Энсагером и Подером ^[21] и до десятого порядка - Кавасе. ^[22] Помимо расширения ряда для преобразования между широтой и конформной широтой, Карни реализовал ряд до тридцатого порядка. ^[23]

Точный Гаусс – Крюгер и точность усеченного ряда [ править ]

Точное решение Э. Томпсона описано Л. П. Ли. ^[8] Он построен в терминах эллиптических функций (определенных в главах 19 и 22 руководства NIST ^[24] ), которые могут быть вычислены с произвольной точностью с использованием алгебраических вычислительных систем, таких как Maxima. ^[25] Такая реализация точного решения описана Карни (2011). ^[23]

Точное решение - ценный инструмент для оценки точности усеченных рядов n и λ. Например, исходная серия Krüger- n 1912 года очень выгодно отличается от точных значений: они отличаются менее чем на 0,31 мкм в пределах 1000 км от центрального меридиана и менее чем на 1 мм в пределах 6000 км. С другой стороны, разница между серией Redfearn, используемой Geotrans, и точным решением составляет менее 1 мм до разницы долготы в 3 градуса, что соответствует расстоянию 334 км от центрального меридиана на экваторе, но всего лишь 35 км на северной границе зоны UTM. Таким образом, серия Крюгер – н намного лучше, чем серия Redfearn λ.

Серия Redfearn становится намного хуже по мере расширения зоны. Карни приводит в качестве поучительного примера Гренландию. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на высоте 42 Вт и в самом широком месте находится не более чем на 750 км от этого меридиана, в то время как размах по долготе достигает почти 50 градусов. Krüger – n имеет точность в пределах 1 мм, но версия Redfearn серии Krüger – λ имеет максимальную погрешность 1 километр.

Собственный ряд Карни 8-го порядка (по n ) имеет точность до 5 морских миль в пределах 3900 км от центрального меридиана.

Формулы для сферической поперечной проекции Меркатора [ править ]

Возвращение к сферической нормали Меркатора [ править ]

Нормальные цилиндрические проекции описываются по отношению к цилиндру, касательному на экваторе с осью вдоль полярной оси сферы. Цилиндрические проекции построены так, что все точки меридиана проецируются в точки с x  =  aλ и y - заданной функцией φ . Для касательной нормальной проекции Меркатора (единственными) формулами, гарантирующими конформность, являются: ^[26]

${\ displaystyle x = a \ lambda \ ,, \ qquad y = a \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] = {\ frac {a} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} \ right].}$

Следует , что подобие углов масштабы точки , к , не зависят от направления: она является функцией только широтой:

${\ Displaystyle к (\ varphi) = \ сек \ varphi. \,}$

Для секущей версии проекции в правой части всех этих уравнений есть коэффициент k ₀ : это гарантирует, что масштаб равен k ₀ на экваторе.

Нормальные и поперечные сетки [ править ]

На рисунке слева показано, как поперечный цилиндр соотносится с традиционной сеткой на сфере. Он касается произвольно выбранного меридиана, а его ось перпендикулярна оси сферы. Х - и у -axes определены на рисунке связаны с экватора и центрального меридиана точно так , как они для нормальной проекции. На рисунке справа повернутая сетка связана с поперечным цилиндром так же, как нормальный цилиндр связан со стандартной сеткой. «Экватор», «полюса» (E и W) и «меридианы» повернутой координатной сетки отождествляются с выбранным центральным меридианом, точками на экваторе под углом 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана и большими кругами через эти точки.

Положение произвольной точки ( φ , λ ) на стандартной координатной сетке также можно определить по углам на повернутой координатной сетке : φ ′ (угол M′CP) - эффективная широта, а - λ ′ (угол M′CO) становится эффективной долготой. (Знак минус необходим для того, чтобы ( φ ′ , λ ′ ) были связаны с повернутой сеткой так же, как ( φ , λ ) связаны со стандартной сеткой). Декартовы оси ( x ' , y' ) связаны с повернутой координатной сеткой таким же образом, как оси ( x , y ) связаны со стандартной сеткой.

Касательная поперечная проекция Меркатора определяет координаты ( x ′ , y ′ ) через - λ ′ и φ ′ по формулам преобразования касательной нормальной проекции Меркатора:

${\ displaystyle x '= - a \ lambda' \, \ qquad y '= {\ frac {a} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi'} {1- \ sin \ varphi '}} \ right].}$

Это преобразование проецирует центральный меридиан в прямую линию конечной длины и в то же время проецирует большие круги через E и W (которые включают экватор) в бесконечные прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Истинные параллели и меридианы (кроме экватора и центрального меридиана) не имеют простого отношения к повернутой координатной сетке и проецируются на сложные кривые.

Связь между сетками [ править ]

Углы двух координатных сеток связаны с помощью сферической тригонометрии на сферическом треугольнике NM′P, определяемом истинным меридианом через начало координат OM′N, истинным меридианом через произвольную точку MPN и большим кругом WM′PE. Результаты следующие: ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

Формулы прямого преобразования [ править ]

Прямые формулы, задающие декартовы координаты ( x , y ), следуют непосредственно из вышеизложенного. Установка x  =  y ′ и y  = - x ′ (и восстанавливающие коэффициенты k ₀ для размещения секущих версий)

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

Вышеупомянутые выражения даны у Ламберта ^[1], а также (без выводов ) у Снайдера, ^[13] Малинга ^[27] и Осборна ^[26] (с полными подробностями).

Формулы обратного преобразования [ править ]

Обращение приведенных выше уравнений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

Шкала баллов [ править ]

В терминах координат относительно повернутой сетки масштабный коэффициент точки задается как k  = sec  φ ′ : это может быть выражено либо в терминах географических координат, либо в терминах координат проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Второе выражение показывает, что масштабный коэффициент - это просто функция расстояния от центрального меридиана проекции. Типичное значение масштабного коэффициента k ₀  = 0,9996, так что k  = 1, когда x составляет примерно 180 км. Когда x составляет приблизительно 255 км, а k ₀  = 1.0004: масштабный коэффициент находится в пределах 0,04% от единицы на полосе шириной около 510 км.

Конвергенция [ править ]

Угол схождения γ в точке проекции определяется углом, измеряемым от проецируемого меридиана, определяющего истинный север, до линии сетки с постоянным x , определяющей север сетки. Следовательно, γ положительно в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Схождение необходимо добавить к азимуту сетки, чтобы получить пеленг от истинного севера. Для секущей поперечной проекции Меркатора сходимость может быть выражена ^[26] либо через географические координаты, либо через координаты проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Формулы для эллипсоидальной поперечной проекции Меркатора [ править ]

Подробная информация о реальных реализациях

• Серия Гаусса-Крюгера по долготе: Поперечный Меркатор: Серия Redfearn
• Серия Гаусса-Крюгера в n (третье сглаживание): Поперечный Меркатор: серия сглаживания
• Точная (замкнутая) поперечная проекция Меркатора: Поперечная проекция Меркатора: точное решение
• Серия Redfearn четвертого порядка по кратким формулам (пример): Поперечная проекция Меркатора: Серия Боуринга

Координаты, сетки, восточные и северные направления [ править ]

Координаты проекции, полученные в результате различных изменений эллипсоидальной поперечной проекции Меркатора, являются декартовыми координатами, так что центральный меридиан соответствует оси x, а экватор соответствует оси y . И x, и y определены для всех значений λ и ϕ . Проекция не определяет сетку: сетка - это независимая конструкция, которую можно определить произвольно. На практике национальные реализации и UTM действительно используют сетки, выровненные с декартовыми осями проекции, но они имеют конечную протяженность, а начало координат не обязательно должно совпадать с пересечением центрального меридиана с экватором.

Истинная сетка происхождение всегда берутся на центральном меридиане , так что координаты сетки будут отрицательный к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, стандартная практика определяет ложное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от начала координатной сетки: координаты относительно ложного начала координат определяют восток и север, которые всегда будут положительными. Ложный пищеблок , E ₀ , расстояние от истинной сетки координат к востоку от ложного происхождения. Ложные Northing , N ₀ , расстояние от истинной сетки происхождения к северу от ложного происхождения. Если истинное начало сетки находится на широтеφ ₀ на центральном меридиане и масштабный коэффициент центрального меридиана k _0, тогда эти определения дают восточные и северные координаты следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

Термины «восток» и «север» не означают строгих направлений на восток и север. Линии сетки поперечной проекции, кроме осей x и y , не проходят с севера на юг или с востока на запад, как это определено параллелями и меридианами. Это очевидно из представленных выше глобальных прогнозов. Вблизи центрального меридиана различия небольшие, но измеримые. Разница между линиями сетки север-юг и истинными меридианами заключается в угле схождения .

См. Также [ править ]

• Список картографических проекций
• Проекция Меркатора
• Масштаб (карта)
• Косая проекция Меркатора

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с проекциями Меркатора .

• Проекции, использованные для иллюстрации этой статьи, были подготовлены с использованием Geocart, доступного на http://www.mapthematics.com