Сеюань Хайцзин

Основная фигура в Морском зеркале круговых измерений , которую используют все задачи. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Цэюань хайцзин ( упрощенный китайский :测 圆 海 镜; традиционный китайский :測 圓 海 鏡; пиньинь : cè yuán hǎi jìng ; букв. «Морское зеркало круговых измерений») - это трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь Юань шу. написано математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольской империи.. Это набор из 692 формул и 170 задач, созданных на основе одной и той же главной диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. Часто в них участвуют два человека, которые идут по прямой линии, пока не увидят друг друга, не встретятся или не достигнут дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой - изучение сложных геометрических соотношений с помощью алгебры.

Большинство геометрических задач решаются полиномиальными уравнениями, которые представляются с использованием метода, называемого тянь юань шу , «метод массива коэффициентов» или буквально «метод небесного неизвестного». Ли Чжи - самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен до него. Это позиционная система стержневых чисел для представления полиномиальных уравнений .

Цеюань хайцзин был впервые представлен западу британским протестантским христианским миссионером в Китае Александром Вайли в его книге « Заметки о китайской литературе» , 1902 г. Он писал:

На первой странице изображен круг, заключенный в треугольник, разрезанный на 15 фигур; затем даются определение и соотношения нескольких частей, а за ними следуют 170 задач, в которых принцип новой науки рассматривается как преимущество. На всем протяжении автора есть экспозиция и схолия. ^[1]

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1 [ править ]

Реконструированная схема кругового города в алфавитах

Схема круглого города [ править ]

Монография начинается с основной диаграммы, которая называется «Схема Круглого города» (圆 城 图 式). На нем изображен круг, вписанный в прямоугольный треугольник и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

• TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL

C: Центр круга:

• NCS: Вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南 северной стороны городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S ().
• NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R (日)
• WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает круг и линию TQ в точке W (西, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (, восточная сторона городской стены).
• WCEB: продолжение прямой WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
• KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает прямую TQ в точке K (坤), гипотенузу TL в точке Y (月).
• HEMV: вертикальная касательная к окружности в точке E, пересекает прямую LQ в точке H, гипотенуза в точке M (山, гора)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
• Линия YS, вертикальная линия от Y пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина)
• Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь)
• RD, горизонтальная линия от R, пересекает линию TQ в точке D (旦, день)

Направления на север, юг, восток и запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему соглашению.

Треугольники и их стороны [ править ]

Всего имеется пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением между треугольником TLQ, четырьмя горизонтальными линиями и четырьмя вертикальными линиями.

Названия этих прямоугольных треугольников и их стороны приведены в следующей таблице.

Число	Имя	Вершины	Гипотенуза 0 c	Вертикальный 0 б	По горизонтали 0 а
1	通 ТОНГ	天地 乾 ${\ Displaystyle \ треугольник TLQ}$	通 弦 （TL 天地）	通 股 （TQ 天乾）	通 勾 （LQ 地 乾）
2	边 БИАН	天 西川 ${\ Displaystyle \ треугольник TWB}$	边 弦 （TB 天 川）	边 股 （TW 天 西）	边 勾 （WB 西川）
3	底 DI	日 地 北 ${\ Displaystyle \ треугольник RDN}$	底 弦 （RL 日 地）	底 股 （RN 日 北）	底 勾 （LB 地 北）
4	黄 广 ХУАНГУАН	天山 金 ${\ Displaystyle \ треугольник ВНЧС}$	黄 广 弦 （TM 天山）	黄 广 股 （TJ 天 金）	黄 广 勾 （MJ 山金）
5	黄 长 ХУАНЧАНГ	月 地 泉 ${\displaystyle \triangle YLS}$	黄 长 弦 （YL 月 地）	黄 长 股 （YS 月 泉）	黄 长 勾 （LS 地 泉）
6	上 高 ШАНГАО	天日 旦 ${\displaystyle \triangle TRD}$	上 高 弦 （TR 天日）	上 高 股 （TD 天 旦）	上 高 勾 （RD 日 旦）
7	下 高 XIAGAO	日 山 朱 ${\displaystyle \triangle RMZ}$	下 高 弦 （RM 日 山）	下 高 股 （RZ 日 朱）	下 高 勾 （MZ 山 朱）
8	上 平 ПЕРЕВОД	月 川 青 ${\displaystyle \triangle YSG}$	上 平 弦 （YS 月 川）	上 平 股 （YG 月 青）	上 平 勾 （SG 川 青）
9	下 平 СЯПИН	川 地 夕 ${\displaystyle \triangle BLJ}$	下 平 弦 （BL 川 地）	下 平 股 （BJ 川 夕）	下 平 勾 （LJ 地 夕）
10	大 差 DACHA	天 月 坤 ${\displaystyle \triangle TYK}$	大 差 弦 （TY 天 月）	大 差 股 （TK 天 坤）	大 差 勾 （YK 月 坤）
11	小 差 СЯОЧА	山地 艮 ${\displaystyle \triangle MLH}$	小 差 弦 （ML 山地）	小 差 股 （MH 山 艮）	小 差 勾 （LH 地 艮）
12	皇 极 HUANGJI	日 川 心 ${\displaystyle \triangle RSC}$	皇 极 弦 （RS 日 川）	皇 极 股 （RC 日 心）	皇 极 勾 （SC 川 心）
13	太虚 ТАЙСУ	月 山 泛 ${\displaystyle \triangle YMF}$	太虚 弦 （YM 月 山）	太虚 股 （YF 月 泛）	太虚 勾 （MF 山 泛）
14	明 МИН	日月 南 ${\displaystyle \triangle RYS}$	明 弦 （RY 日月）	明 股 （RS 日南）	明 勾 （YS 月 南）
15	叀 Чжуань	山川 东 ${\displaystyle \triangle MSE}$	叀 弦 （MS 山川）	叀 股 （ME 山东）	叀 勾 （SE 川东）

В задачах с Тома 2 по Том 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明 差», «разница MING» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника MING.

«叀 差», «разница ZHUANG» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ZHUANG».

«明 差 叀 差 并» означает «сумма разницы MING и разницы ZHUAN».${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$

Длина отрезков линии [ править ]

В этом разделе (今问正数) списки длина отрезков, сумма и разность и их комбинации в схеме круглого города, учитывая , что радиус г вписывать окружности шаги , .${\displaystyle r=120}$${\displaystyle a_{1}=320}$${\displaystyle b_{1}=640}$

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

1. Гипотенеза ${\displaystyle c_{i}}$
2. По горизонтали ${\displaystyle a_{i}}$
3. Вертикальный ${\displaystyle b_{i}}$
4. : 勾股 和: сумма горизонтального и вертикального ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$
5. : 勾股 校: разница вертикального и горизонтального ${\displaystyle b_{i}-a_{i}}$
6. : 勾 弦 和: сумма горизонтали и гипотенузы ${\displaystyle a_{i}+c_{i}}$
7. : 勾 弦 校: разница гипотенузы и горизонтали ${\displaystyle c_{i}-a_{i}}$
8. : 股 弦 和: сумма гипотенузы и вертикали ${\displaystyle b_{i}+c_{i}}$
9. : 股 弦 校: разница гипотенузы и вертикали ${\displaystyle c_{i}-b_{i}}$
10. : 弦 校 和: сумма разности и гипотенузы ${\displaystyle c_{i}+(b_{i}-a_{i})}$
11. : 弦 校 校: разность гипотенузы и разность ${\displaystyle c_{i}-(b_{i}-a_{i})}$
12. : 弦 和 和: сложить гипотенузу и сумму вертикального и горизонтального ${\displaystyle a_{i}+b_{i}+c_{i}}$
13. : 弦 和 校: разница суммы горизонтали и вертикали с гипотенузой ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора идентичных треугольников:

${\displaystyle \triangle TRD}$= ,${\displaystyle \triangle RMZ}$

${\displaystyle \triangle YSG}$знак равно${\displaystyle \triangle BLJ}$

это

${\displaystyle a_{6}=a_{7}}$;

${\displaystyle b_{6}=b_{7}}$;

${\displaystyle c_{6}=c_{7}}$;

${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$;

${\displaystyle b_{8}=b_{9}}$;

${\displaystyle c_{8}=c_{9}}$;

Номера сегментов [ править ]

Всего 15 x 13 = 195 терминов, их значения показаны в Таблице 1: ^[2]

Определения и формулы [ править ]

Разная формула [ править ]

^[3]

1. ${\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}$= *${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
2. ${\displaystyle a_{10}*b_{11}}$знак равно ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
3. ${\displaystyle a_{13}*b_{1}}$знак равно ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
4. ${\displaystyle a_{1}*b_{13}}$знак равно ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
5. ${\displaystyle b_{2}*b_{15}}$знак равно ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
6. ${\displaystyle a_{14}*a_{3}}$знак равно ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
7. ${\displaystyle a_{5}*b_{4}}$знак равно ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
8. ${\displaystyle a_{8}*b_{6}}$знак равно ${\displaystyle a_{9}*b_{7}}$${\displaystyle =(r_{1})^{2}}$
9. ${\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}$знак равно ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
10. ${\displaystyle c_{6}*c_{8}}$= =${\displaystyle c_{7}*c_{9})}$${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$

Пять сумм и пять различий [ править ]

1. ${\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}$^[4]
2. ${\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}$
3. ${\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}$
4. ${\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}$
5. ${\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}$
6. ${\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}$
7. ${\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}$
8. ${\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}$
9. ${\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}$
10. ${\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}$
11. ${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}$
12. ${\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}$
13. ${\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}$
14. ${\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}$

• ${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})}$
• ${\displaystyle a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}}$

Ли Чжи вывел в общей сложности 692 формулы в хайцзине Сэйюань. Восемь формул неверны, остальные верны ^[5]

В томах 2 и 12 содержится 170 задач, каждая из которых использует несколько выбранных из этой формулы для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. Фактически, существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающих полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка ^[6]

Том 2 [ править ]

Этот том начинается с общей гипотезы ^[7]

Все последующие 170 задач представляют собой несколько отрезков, их сумму или разность, чтобы найти радиус или диаметр круглого города. Все задачи имеют более или менее одинаковый формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, иногда за которым следует пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанного круга

Первые десять задач были решены без использования тянь юань шу. Эти проблемы связаны с различными типами вписанного круга.

Вопрос 1

Двое мужчин A и B начинают движение из угла Q. A идет на восток на 320 шагов и останавливается. B идет на юг 600 шагов и видит B. Каков диаметр круглого города?

Ответ: диаметр круглого городка 240 шагов.

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TLQ}$

Алгоритм:${\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}$

${\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}$

вопрос 2

Двое мужчин A и B стартуют у западных ворот. B идет на восток на 256 шагов, A идет на юг на 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?

Ответ 240 шагов

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

Из таблицы 1, 256 = ; 480 =${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b_{2}}$

Алгоритм:

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

${\displaystyle ={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240}$

Вопрос 3

вписанный круг проблема, связанная с ${\displaystyle \triangle RDN}$

${\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}$

Вопрос 4 ： проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle RSC}$

${\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}$

Вопрос 5 ： проблема с вписанным кругом, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

${\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}$

Вопрос 6

${\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}$

Вопрос 7

${\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}$

Вопрос 8

${\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}$

Вопрос 9

${\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}$

Вопрос 10

${\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}$

Тянь Юань Шу [ править ]

Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «тянь юань один» как неизвестную переменную и создал два выражения в соответствии с определением раздела и формулой , а затем приравнял эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил проблему и получил ответ.

Вопрос 14: «Предположим, что человек выходит из Западных ворот и направляется на юг на 480 шагов и наталкивается на дерево. Затем он вышел из Северных ворот, направляясь на восток на 200 шагов, и увидел то же дерево. Каков радиус круга собственного? ? "。

Алгоритм: Задайте радиус равным единице Тянь Юань, поместите на пол счетные стержни, представляющие 480 шагов в южном направлении, вычтите радиус Тянь Юань, чтобы получить

：${\displaystyle 480-x}$

元

。

Затем вычтите тянь юань из 200 шагов на восток, чтобы получить:

${\displaystyle 200-x}$

元

умножьте эти два выражения, чтобы получить ：${\displaystyle x^{2}-680x+96000}$

元

元

это${\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}$

таким образом:${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

Решите уравнение и получите ${\displaystyle r=120}$

Том 3 [ править ]

17 проблем, связанных с сегментом, т.е. TW в ^[8]${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle \triangle TWB}$

Эти пары с , пар с и пар с в задачах с одинаковым количеством объема 4. Другими словами, например, изменение задачи 2 в 3 т в превращает его в задаче 2 Vol 4. ^[9]${\displaystyle a_{10}}$${\displaystyle b_{11}}$${\displaystyle a_{11}}$${\displaystyle b_{10}}$${\displaystyle a_{15}}$${\displaystyle b_{14}}$${\displaystyle a_{11}}$${\displaystyle b_{10}}$

Проблема #	ДАНО	Икс	Уравнение
1	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{4}}$		прямой расчет без тянь юаня
2	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{11}}$	d	${\displaystyle x^{2}+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0}$
3	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{11}}$	р	${\displaystyle x^{2}+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0}$
4	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}}$	d	${\displaystyle x^{3}+a_{15}x^{2}-4a_{15}b_{2}^{2}=0}$
5	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{14}}$	d	${\displaystyle x^{3}-(b_{2}-2a_{14})x^{2}+a_{14}^{2}*x+a_{14}^{2}*b_{2}=0}$
6	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	р	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0}$
7	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{2}}$	р	${\displaystyle ((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^{2}-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^{2}=0}$
8	${\displaystyle b_{2}}$， ${\displaystyle c_{1}}$	р	${\displaystyle 2x^{2}+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^{2}))=0}$
9	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$	р	${\displaystyle 2x^{2}-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0}$
10	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}}$	р	${\displaystyle x^{2}-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^{2}-b_{14}^{2}=0}$
11	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	р	${\displaystyle (2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0}$
12	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0}$
13	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle x^{4}-2(b_{2}-c_{14})x^{3}+(b_{2}-c_{14})^{2}x^{2}+2b_{2}c_{14}^{2}x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^{2}=0}$
14	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$		${\displaystyle r={\sqrt {(}}(2c_{6}-b_{2})b_{2})}$
15	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{8}}$	р	${\displaystyle -x^{3}-c_{8}x^{2}-b_{2}^{2}x+c_{8}b_{2}^{2}=0}$
16	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$		рассчитать по формуле для вписанного круга
17	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$		Вычислить по формуле для вписанного круга

Том 4 [ править ]

17 задач, учитывая и второй сегмент, найти диаметр кругового города. ^[10]${\displaystyle a_{3}}$

。

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
второй отрезок линии	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{13}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{7}}$	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$

Том 5 [ править ]

18 задач, учитывая 。^[10]${\displaystyle b_{1}}$

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
второй отрезок линии	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle a_{11}}$	${\displaystyle c_{10}}$	${\displaystyle c_{4}}$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{9}-a_{11}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle c_{13}}$

Том 6 [ править ]

18 задач.

Q1-11，13-19 с учетом ， и второго отрезка прямой, найдите диаметр d. ^[10]${\displaystyle a_{1}}$

Q12 ： дан и еще один отрезок, найти диаметр d.${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Дано	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$
Второй отрезок линии	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle b_{10}-c_{6}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle a_{13}}$

Том 7 [ править ]

18 задач по двум отрезкам прямой найти диаметр круглого города ^[11]

Q	Дано
1	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
2	${\displaystyle a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}}$
3	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle a_{15}}$
4	${\displaystyle b_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
5	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{8}}$
6	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{7}}$
7	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{13}}$
8	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
9	${\displaystyle d-a_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
10	${\displaystyle d-b_{14}}$，${\displaystyle d-a_{15}}$
11	${\displaystyle c_{12}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$
12	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
13	${\displaystyle b_{15}+c_{13}}$，${\displaystyle c_{13}-b_{15}}$
14	${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}}$，，${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}}$
15	${\displaystyle c_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
16	${\displaystyle c_{5}}$，${\displaystyle d-a_{14}}$
17	${\displaystyle a_{1}-a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$
18	${\displaystyle a_{1}+a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$

Том 8 [ править ]

За 17 задач по трем-восьми отрезкам или их сумме или разности можно найти диаметр круглого города. ^[12]

Q	Дано
1	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$${\displaystyle c_{12}}$
2	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$${\displaystyle c_{13}}$
3	${\displaystyle (c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})}$，${\displaystyle d_{14}+d_{15}}$
4	${\displaystyle c_{15}}$，${\displaystyle c_{14}}$
5	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle c_{15}+b_{15}}$
6	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$
7	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$
8	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$
9	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{15}+c_{15}}$
10	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$
11	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$
12	${\displaystyle (b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})}$，${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$
13	${\displaystyle b_{7}-a_{8}}$，，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$${\displaystyle c_{12}-d}$
14	${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$
15	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$
16	${\displaystyle a_{14}+a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}+b_{15}}$

Проблема 14 [ править ]

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Какой диаметр у круглого города?

Ответ: 120 шагов.

Алгоритм: ^[13]

Дано

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}$

${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}$

： Сложите эти два элемента и разделите на 2; согласно # Определениям и формуле , это равно разнице HUANGJI:

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}$ ${\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}$

${\displaystyle b_{12}-a_{12}=}$${\displaystyle 161+77 \over 2}$${\displaystyle =119}$

Пусть единица Тянь Юань - это горизонталь SHANGPING (SG):

${\displaystyle x=a_{8}}$

${\displaystyle x+161}$ знак равно${\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$

${\displaystyle =b_{7}}$ (# Определение и формула)

Поскольку (Определение и формула)${\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}$

${\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}$

${\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}$

${\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}$${\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}$(диаметр круглого городка),

${\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600}$

Теперь умножьте длину RZ на ${\displaystyle 4*x}$

${\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}$

умножьте его на квадрат RS:

${\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}$${\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124}$

приравняем выражения для двух ${\displaystyle d^{2}}$

таким образом

${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600}$

Мы получаем:

${\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}$

решаем и получаем ;${\displaystyle x=a_{8}=64}$

Это соответствует горизонтали SHANGPING 8-го треугольника в номерах #Segment . ^[14]

Том 9 [ править ]

Часть I

Проблемы	дано
1	${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}}$，${\displaystyle b_{12}-a_{12}}$
2	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
3	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{10}+b_{11}}$
4	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{2}+b_{3}}$

Часть II

Проблемы	дано
1	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$
2	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{13}+b_{13}-a_{13}}$${\displaystyle c_{13}-b_{13}+a_{13}}$
3	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle a_{11}+b_{11}}$${\displaystyle a_{10}+b_{10}}$
4	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{10}-a_{10}}$${\displaystyle c_{11}-b_{11}}$
5	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{6}+c_{8}}$${\displaystyle c_{6}-c_{8}}$
6	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{10}}$${\displaystyle c_{11}}$
7	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{4}}$${\displaystyle c_{5}}$
8	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，，${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

Том 10 [ править ]

8 задач ^[15]