Характер (математика)

В математике символ — это (чаще всего) особый вид функции от группы к полю (например, комплексные числа ). Есть по крайней мере два разных, но частично совпадающих значения. ^[1] Другие варианты использования слова «персонаж» почти всегда носят уточненный характер.

Мультипликативный характер (или линейный характер , или просто характер ) на группе G — это групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля ( Артин 1966 ), обычно поле комплексных чисел . Если G — произвольная группа, то множество Ch( G ) этих морфизмов образует абелеву группу относительно поточечного умножения.

Эта группа называется группой символов G . Иногда учитываются только единичные символы (таким образом, изображение находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы тогда называются квазихарактерами . Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные характеры линейно независимы , т. е. если на группе G разные характеры, то из этого следует, что . ${\ Displaystyle \ чи _ {1}, \ чи _ {2}, \ ldots, \ чи _ {п}}$ ${\ Displaystyle а_ {1} \ чи _ {1} + а_ {2} \ чи _ {2} + \ точки + а_ {п} \ чи _ {п} = 0}$ ${\ Displaystyle а_ {1} = а_ {2} = \ cdots = а_ {п} = 0}$

Характер представления группы G в конечномерном векторном пространстве V над полем F является следом представления ( Серр , 1977 ), т.е. ${\ Displaystyle \ чи: G \ к F}$ ${\ Displaystyle \ фи \ двоеточие G \ к \ mathrm {GL} (V)}$ ${\ Displaystyle \ фи}$

В общем случае след не является групповым гомоморфизмом, и множество следов не образует группу. Характеры одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому приведенное выше понятие мультипликативного характера можно рассматривать как частный случай многомерных символов. Изучение представлений с использованием символов называется « теорией символов », а одномерные символы также называются «линейными персонажами» в этом контексте.