В теории вероятностей неравенство Чебышева (также называемое неравенством Бьенеме-Чебышёва ) гарантирует, что для широкого класса вероятностных распределений не более чем определенная доля значений может быть больше, чем на определенном расстоянии от среднего значения . В частности, не более 1/ k 2 значений распределения может отличаться от среднего на k или более стандартных отклонений (или, что то же самое, по крайней мере 1 − 1/ k 2 значений распределения меньше, чем kстандартные отклонения от среднего значения). Это правило часто называют теоремой Чебышева о диапазоне стандартных отклонений от среднего значения в статистике. Это неравенство очень полезно, поскольку его можно применять к любому распределению вероятностей, в котором определены среднее значение и дисперсия. Например, его можно использовать для доказательства слабого закона больших чисел .
Его практическое использование аналогично правилу 68–95–99,7 , которое применяется только к нормальным распределениям . Неравенство Чебышева носит более общий характер и гласит, что минимум всего 75% значений должны находиться в пределах двух стандартных отклонений от среднего, а 88,89% — в пределах трех стандартных отклонений для широкого диапазона различных распределений вероятностей . [1] [2]
Термин неравенство Чебышева может также относиться к неравенству Маркова , особенно в контексте анализа. Они тесно связаны, и некоторые авторы называют неравенство Маркова «первым неравенством Чебышева», а подобное неравенство упоминается на этой странице как «второе неравенство Чебышева».
Теорема названа в честь русского математика Пафнутия Чебышева , хотя впервые она была сформулирована его другом и коллегой Ирене-Жюлем Бьенеме . [3] : 98 Теорема была впервые сформулирована без доказательства Бьенеме в 1853 г. [4] и позже доказана Чебышевым в 1867 г. [5] Его ученик Андрей Марков представил еще одно доказательство в своей докторской диссертации 1884 г. Тезис. [6]
Неравенство Чебышева обычно формулируется для случайных величин , но может быть обобщено на утверждение о пространствах с мерой .
Пусть X (интегрируемая) — случайная величина с конечным математическим ожиданием μ и конечной ненулевой дисперсией σ 2 . Тогда для любого действительного числа k > 0 ,