В теории вероятностей , неравенство Маркова дает оценку верхней границе для вероятности , что неотрицательная функция из случайной величины больше или равно некоторые положительный константе . Оно названо в честь русского математика Андрея Маркова , хотя раньше оно появилось в работах Пафнутия Чебышева (учителя Маркова), и многие источники, особенно в области анализа , называют его неравенством Чебышева (иногда называя его первым неравенством Чебышева, а называя неравенство Чебышева вторым неравенством Чебышева) илиНеравенство Биенайме .
Неравенство Маркова дает оценку сверху для меры множества (обозначено красным), где
превышает заданный уровень
. Граница сочетает в себе уровень
со средним значением
.
Неравенство Маркова (и другие подобные неравенства) связывают вероятности с ожиданиями и предоставляют (часто нечеткие, но все же полезные) границы для кумулятивной функции распределения случайной величины.
Если X - неотрицательная случайная величина и a > 0 , то вероятность того, что X является по крайней мере a, является не более чем ожиданием X, деленного на a : [1]
Позволять (где ); то мы можем переписать предыдущее неравенство как
На языке теории меры неравенство Маркова утверждает, что если ( X , Σ, μ ) - пространство с мерой ,- измеримая расширенная вещественнозначная функция и ε > 0 , то
Это теоретико-мерное определение иногда называют неравенством Чебышева . [2]
Расширенная версия для монотонно возрастающих функций
Если φ - монотонно возрастающая неотрицательная функция для неотрицательных вещественных чисел, X - случайная величина, a ≥ 0 и φ ( a )> 0 , то
Непосредственным следствием, использующим более высокие моменты X, поддерживаемые значениями больше 0, является
Мы отделяем случай, когда пространство с мерой является вероятностным пространством, от более общего случая, потому что вероятностный случай более доступен для обычного читателя.
Интуиция
где больше 0, поскольку rv неотрицательно и больше чем потому что условное ожидание учитывает только значения, превышающие какой фургон может взять.
Следовательно, интуитивно , что напрямую приводит к .
Теоретическое доказательство вероятности
Метод 1: Из определения ожидания:
Однако X - неотрицательная случайная величина, поэтому
Из этого мы можем вывести,
Отсюда, делясь на позволяет нам увидеть, что
Способ 2: Для любого мероприятия, позволять быть индикаторной случайной величиной , это, если происходит и иначе.
Используя эти обозначения, мы имеем если событие происходит, и если . Тогда, учитывая,
что станет ясно, если мы рассмотрим два возможных значения . Если, тогда , и другие . В противном случае имеем, для которого и другие .
С является монотонно возрастающей функцией, ожидание обеих сторон неравенства не может изменить ее. Следовательно,
Теперь, используя линейность ожиданий, левая часть этого неравенства совпадает с
Таким образом, мы имеем
и поскольку a > 0, мы можем разделить обе части на a .
Теоретическое доказательство меры
Можно считать, что функция неотрицательно, поскольку в уравнение входит только его абсолютное значение. Теперь рассмотрим действительную функцию s на X, заданную формулой
потом . По определению интеграла Лебега
и с тех пор , обе стороны можно разделить на , получение
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева использует дисперсию для ограничения вероятности того, что случайная величина далеко отклоняется от среднего. Конкретно,
для любого a > 0 . Здесь Var ( X ) - это дисперсия X, определяемая как:
Неравенство Чебышева следует из неравенства Маркова при рассмотрении случайной величины
и постоянная для которого неравенство Маркова гласит
Этот аргумент можно резюмировать (где «МИ» указывает на использование неравенства Маркова):
Другие следствия
- «Монотонный» результат можно продемонстрировать:
- Результат , что для неотрицательного случайной величины X , то квантиль функции из X удовлетворяет:
- доказательство с использованием
- Позволять - самосопряженная матричнозначная случайная величина и a > 0 . потом
- можно показать аналогичным образом.
Если предположить, что нет отрицательного дохода, неравенство Маркова показывает, что не более 1/5 населения может иметь доход более чем в 5 раз больше среднего.