В римановой геометрии теорема сравнения собственных значений Ченга в общих чертах утверждает , что, когда область большая, первое собственное значение Дирихле ее оператора Лапласа-Бельтрами мало. Эта общая характеристика неточна, отчасти потому, что понятие «размер» домена должно также учитывать его кривизну . [1] Теорема принадлежит Cheng (1975b) Shiu -Yuen Cheng . Используя геодезические шары , его можно обобщить на некоторые трубчатые области ( Lee 1990 ).
Пусть M -- риманово многообразие размерности n , и пусть B M ( p , r ) -- геодезический шар с центром в точке p и радиусом r меньше радиуса инъективности p ∈ M . Для каждого действительного числа k обозначим через N ( k ) односвязную пространственную форму размерности n и постоянной секционной кривизны k . Теорема сравнения собственных значений Ченга сравнивает первое собственное значение λ 1( B M ( p , r )) задачи Дирихле в B M ( p , r ) с первым собственным значением в B N ( k ) ( r ) для подходящих значений k . Теорема состоит из двух частей:
С.Ю. Ченг использовал теорему Барта для вывода теоремы сравнения собственных значений. Как частный случай, если k = −1 и inj( p ) = ∞, неравенство Ченга принимает вид λ * ( N ) ≥ λ * ( H n (−1)), что является неравенством МакКина . [2]