Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иллюзия вращения монеты. Внешняя монета совершила полный оборот, вернувшись в то же положение после поворота только примерно половины внутренней монеты. Полностью вращаясь вокруг внутренней монеты, она совершит 2 оборота.
Путь единственной точки на краю движущейся монеты - кардиоида .

Вращения монеты парадокс является нелогичным наблюдением , что, когда одна монеты прокатывают по краю другой монеты одинакового размера, перемещение монеты завершает два полных оборот после того, пройдя весь путь вокруг неподвижной монеты. [1]

Описание [ править ]

Начните с того, что две одинаковые монеты соприкасаются друг с другом на столе с параллельными сторонами их «головы». Удерживая монету A неподвижно, поверните монету B вокруг A, удерживая точку контакта без проскальзывания. Когда монета B достигнет противоположной стороны, две головы снова будут параллельны; B совершил один оборот. Продолжение движения B возвращает его в исходное положение и завершает второй оборот. Как ни парадоксально, монета B катилась на расстояние, равное удвоенной длине ее окружности.

Когда монета B вращается, каждая точка на ее периметре описывает (перемещается) кардиоидную кривую.

Сравнение [ править ]

Катящаяся монета участвует в двух отдельных движениях, как Луна относительно Земли (за исключением того, что Луна совершает только один оборот примерно каждые 28 дней). Луна вращается один раз, вращаясь по эллиптической траектории относительно истинного севера, в то время как движущаяся монета вращается дважды, когда она вращается вокруг центра другой (неподвижной) монеты.

Скольжение по кругу без вращения

Анализ и решение [ править ]

От начала до конца центр движущейся монеты движется по круговой траектории. Край неподвижной монеты и указанный путь образуют две концентрические окружности. Радиус пути в два раза больше радиуса монеты. Следовательно, длина окружности дорожки в два раза больше длины окружности монеты. [2] Чтобы полностью обойти неподвижную монету, центр движущейся монеты должен проходить вдвое больше окружности монеты. Насколько движущаяся монета вращается вокруг своего центра в пути, если таковая имеется, или в каком направлении - по часовой стрелке, против часовой стрелки или в каком-то из двух направлений - не влияет на длину пути. То, что монета вращается дважды, как описано выше, и фокусировка на краю движущейся монеты, когда она касается неподвижной монеты, отвлекают.

Неравные радиусы и другие формы [ править ]

Визуализация монет неравных радиусов (анимация)

Монета радиуса r, катящаяся по одной из радиусов R, совершает R / r + 1 оборот. [3] Это потому, что центр катящейся монеты движется по круговой траектории с радиусом (или длиной окружности), равным (R + r) / r = R / r + 1, умноженным на его собственный радиус (или длину окружности). В предельном случае, когда R = 0, монета радиуса r совершает 0 / r + 1 = 1 простой оборот вокруг своей нижней точки.

В примере на рисунке R = 3 р . На рисунке 1, когда R выпрямлен, количество вращений (количество раз, когда стрелка указывает вверх) равно R / r = 3. На рисунке 2, когда R был восстановлен в круг, монета совершает дополнительный поворот, давая R / r + 1 = 4.

На экзамене SAT 1 мая 1982 г. был вопрос, касающийся этой проблемы, и из-за человеческой ошибки его пришлось пересмотреть после того, как 3 студента доказали, что среди вариантов нет правильного ответа. [4]

Форма, вокруг которой катится монета, не обязательно должна быть кругом: один дополнительный поворот добавляется к соотношению их периметров, когда это любой простой многоугольник или замкнутая кривая, которые не пересекаются сами с собой. Если форма сложная , количество оборотов, добавленных (или вычтенных, если монета катится внутри кривой), является абсолютным значением ее числа поворота .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Монетный парадокс» . MathWorld .
  2. Перейти ↑ Bunch, Bryan H. (1982). Математические заблуждения и парадоксы . Ван Ностранд Рейнхольд. С. 10–11. ISBN 0-442-24905-5.
  3. ^ Talwalkar, Presh (5 июля 2015). Все неправильно ответили на этот вопрос по SAT Math . MindYourDecisions - через YouTube.
  4. ^ «Ошибка в вопросе SAT» . Нью-Йорк Таймс . United Press International. 25 мая 1982 г. ISSN 0362-4331 . Проверено 9 февраля 2021 . 

Внешние ссылки [ править ]

  • Нгуен, Хуйен (4 июня 2020 г.). "ответ на вопрос:" Какой доказанный математический факт удивил вас больше всего ... " . Quora .
Этот одобренный ответ включает в себя анимацию и интуитивно понятные объяснения исходного вопроса, где r «внешней монеты» составляло 1/3 радиуса внутренней монеты.

См. Также [ править ]

  • Кардиоидный
  • Парадокс колеса Аристотеля