Свертывающийся коллектор

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Свертывающийся коллектор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В римановой геометрии , А коллапс или свернутое многообразие является п - мерным многообразием М , что допускает последовательность метрика г _я , таким образом, что , как я стремлюсь к бесконечности многообразие близко к K - мерному пространству, где к  <  п , в в смысле расстояния Громова – Хаусдорфа . Обычно существуют некоторые ограничения на секционную кривизну ( M ,  g _i ). Самый простой пример - плоский коллектор, метрика которого может быть масштабирована на 1 / i , так что многообразие близко к точке, но его кривизна остается 0 для всех i .

Примеры [ править ]

Вообще говоря, существует два типа сворачивания:

(1) Первый тип - это схлопывание, например, при равномерном ограничении кривизны .${\ Displaystyle | \ сек (M_ {i}) | \ leq 1}$

Пусть - последовательность размерных римановых многообразий, где обозначает секционную кривизну i- го многообразия. Существует теорема доказана Джеффа Чигера , Kenji Fukaya и Михаила Громова , в котором говорится , что: Там существует постоянная такая , что если и , то допускает N -структуру с обозначив радиус приемистости многообразия M . Грубо говоря, N -структура является локально действием нильмногообразия , которое является обобщением F-структуры${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sec (M_ {i})}$${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle |\sec(M_{i})|\leq 1}$${\displaystyle {\rm {Inj}}(M_{i})<\varepsilon (n)}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\rm {Inj}}(M)}$, представленный Чигером и Громовым. Эта теорема обобщает предыдущие теоремы Чигера-Громова и Фукая, где они имеют дело только с действием тора и случаями ограниченного диаметра соответственно.

(2) Второй тип - это схлопывание, например, при сохранении только нижней границы кривизны . ${\displaystyle \sec(M_{i})\geq -1}$

Это тесно связано с так называемым случаем многообразия почти неотрицательной кривизны, которое обобщает многообразия неотрицательной кривизны, а также почти плоские многообразия. Многообразие называется почти неотрицательно искривленным, если оно допускает последовательность метрик , такую ​​что и . Роль, которую почти неотрицательно искривленное многообразие играет в этом коллапсирующем случае, когда кривизна ограничена снизу, такая же, как почти плоское многообразие в случае ограниченной кривизны.${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle \sec(M,g_{i})\geq -1/n}$${\displaystyle {\rm {diam}}(M,g_{i})\leq 1/n}$

Когда кривизна ограничена только снизу, называемое предельное пространство является пространством Александрова . Yamaguchi доказан , что на регулярной части предельного пространства, существует локально тривиальное расслоение форма , чтобы при достаточно велико, то волокно представляет собой почти неотрицательно изогнуто многообразие. ^{[ необходимая цитата ]} Здесь регулярный означает, что радиус -образца равномерно ограничен снизу положительным числом, или, грубо говоря, пространством, локально замкнутым для евклидова пространства.${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{i}^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (\delta ,n)}$

Что происходит в особой точке ? На этот вопрос вообще нет ответа. Но в отношении размерности 3 Шиоя и Ямагути дают полную классификацию коллапсирующего многообразия этого типа. Они доказали, что существует такое и , что если трехмерное многообразие удовлетворяет, то верно одно из следующих утверждений: (i) M является многообразием-графиком или (ii) имеет диаметр меньше, чем и имеет конечную фундаментальную группу.${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle \delta (n)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\rm {Vol}}(M)<\varepsilon (n)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \delta (n)}$