В математике , нильмногообразие является дифференцируемым многообразием , которое имеет переходную нилъпотентную группу диффеоморфизмов , действующие на него. Таким образом, нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно фактор-пространству , Фактор нильпотентной группы Ли N по модулю замкнутой подгруппы H . Это понятие ввел Анатолий Мальцев в 1951 году.
В римановой категории также есть хорошее понятие нильмногообразия. Риманова многообразия называется однородной нильмногообразию , если существует нилъпотентную группа изометрии , действующих на нем транзитивно. Требование, чтобы транзитивная нильпотентная группа действовала изометриями, приводит к следующей жесткой характеризации: каждое однородное нильмногообразие изометрично нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой (см. Вильсон [1] ).
Нильмногообразия являются важными геометрическими объектами и часто возникают как конкретные примеры с интересными свойствами; в римановой геометрии эти пространства всегда имеют смешанную кривизну, [2] почти плоские пространства возникают как факторпространства нильмногообразий [3], а компактные нильмногообразия использовались для построения элементарных примеров коллапса римановых метрик под действием потока Риччи. [4]
В дополнение к их роли в геометрии, нильмногообразия все чаще рассматриваются как играющие роль в арифметической комбинаторике (см. Грин – Тао [5] ) и эргодической теории (см., Например, Host – Kra [6] ).
Компактные нильмногообразия
Компактное нильмногообразие - это компактное нильмногообразие. Один из способов построения таких пространств - начать с односвязной нильпотентной группы Ли N и дискретной подгруппы . Если подгруппадействует кокомпактно (посредством правого умножения) на N , то фактормногообразиебудет компактным нильмногообразием. Как показал Мальцев, каждое компактное нильмногообразие получается таким образом. [7]
Такая подгруппа как указано выше, называется решеткой в N . Хорошо известно, что нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами : это критерий Мальцева . Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; для более подробной информации см. также MS Raghunathan . [8]
Компактная риманова нильмногообразие компактное риманово многообразие, локально изометрично нильпотентной группы Ли с левой инвариантной метрикой. Эти пространства строятся следующим образом. Позволять- решетка в односвязной нильпотентной группе Ли N , как указано выше. Наделить N левоинвариантной (римановой) метрикой. Тогда подгруппадействует изометриями на N посредством умножения слева. Таким образом, частноеэто компактное пространство локально изометрично N . Примечание: это пространство естественно диффеоморфно.
Компактные нильмногообразия также возникают как главные расслоения . Например, рассмотрим 2-ступенчатую нильпотентную группу Ли N, допускающую решетку (см. Выше). Позволятьбыть коммутант N . Обозначим через p размерность Z и через q коразмерность Z ; т.е. размерность N равна p + q. Известно (см. Рагхунатан), чторешетка в Z . Следовательно,- p -мерный компактный тор. Поскольку Z центральна в N , группа G действует на компактном нильмногообразии с частным пространством . Это базовое многообразие M представляет собой q -мерный компактный тор. Было показано, что каждое главное расслоение торов над тором имеет такой вид, см. [9] В более общем смысле, компактное нильмногообразие - это расслоение торов над расслоением торов над ... над тором.
Как упоминалось выше, почти плоские многообразия являются внутренне компактными нильмногообразиями. См. Эту статью для получения дополнительной информации.
Комплексные нильмногообразия
Исторически сложилось так, что комплексное нильмногообразие означало фактор комплексной нильпотентной группы Ли над кокомпактной решеткой . Примером такого нильмногообразия является многообразие Ивасавы . С 1980-х годов на смену этому понятию постепенно пришло другое (более общее) понятие комплексного нильмногообразия.
Почти комплексная структура на вещественной алгебру Ли д эндоморфизмкоторая равна −Id g . Этот оператор называется сложной структурой, если его собственные подпространства, соответствующие собственным значениям, являются подалгебрами в . В этом случае I определяет левоинвариантную комплексную структуру на соответствующей группе Ли. Такое многообразие ( G , I ) называется комплексным групповым многообразием . Легко видеть, что таким образом получается всякое связное комплексное однородное многообразие, наделенное свободным транзитивным голоморфным действием вещественной группы Ли.
Пусть G - действительная нильпотентная группа Ли. Комплекс нильмногообразие является фактором комплексной группы многообразия ( G , I ), оборудованное со сложной структурой левоинвариантной, дискретным, кокомпактной решетки, действующими с правой стороны .
Сложные нильмногообразия обычно неоднородны, как сложные разновидности.
В комплексной размерности 2 единственными комплексными нильмногообразиями являются комплексный тор и поверхность Кодаиры . [10]
Характеристики
Компактные нильмногообразия (кроме тора) никогда не являются гомотопически формальными . [11] Отсюда немедленно следует, что компактные нильмногообразия (кроме тора) не могут допускать кэлерову структуру (см. Также [12] ).
Топологически все нильмногообразия могут быть получены как повторные торические расслоения над тором. Это легко увидеть при фильтрации по восходящим центральным рядам . [13]
Примеры
Нильпотентные группы Ли
Из приведенного выше определения однородных нильмногообразий ясно, что любая нильпотентная группа Ли с левоинвариантной метрикой является однородным нильмногообразием. Наиболее известные нильпотентные группы Ли - это группы матриц, диагональные элементы которых равны 1, а нижние диагональные элементы - нули.
Например, группа Гейзенберга - это 2-ступенчатая нильпотентная группа Ли. Эта нильпотентная группа Ли также является особенной в том смысле, что она допускает компактный фактор. Группабыли бы верхнетреугольными матрицами с целыми коэффициентами. Получающееся нильмногообразие трехмерно. Одна из возможных фундаментальных областей - это (изоморфная) [0,1] 3 с гранями, идентифицированными подходящим образом. Это потому, что элемент нильмногообразия можно представить элементом в фундаментальной области. Здесьобозначает функцию пола из х , идробная часть . Появление здесь минимальной функции является ключом к значению нильмногообразий для аддитивной комбинаторики: так называемые скобочные многочлены или обобщенные многочлены, по-видимому, важны для развития анализа Фурье более высокого порядка. [5]
Абелевы группы Ли
Более простым примером может быть любая абелева группа Ли. Это потому, что любая такая группа является нильпотентной группой Ли. Например, можно взять группу действительных чисел при сложении и дискретную, кокомпактную подгруппу, состоящую из целых чисел. Получившееся одношаговое нильмногообразие представляет собой знакомую окружность. Другим знакомым примером может быть компактный 2-тор или евклидово пространство при сложении.
Обобщения
Параллельная конструкция, основанная на разрешимых группах Ли, дает класс пространств, называемых солвмногообразиями . Важным примером солвмногообразий являются поверхности Иноуэ , известные в сложной геометрии .
Рекомендации
- ^ Уилсон, Эдвард Н. (1982). «Группы изометрий на однородных нильмногообразиях». Geometriae Dedicata . 12 (3): 337–346. DOI : 10.1007 / BF00147318 . hdl : 10338.dmlcz / 147061 . Руководство по ремонту 0661539 .
- ^ Милнор, Джон (1976). «Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли». Успехи в математике . 21 (3): 293–329. DOI : 10.1016 / S0001-8708 (76) 80002-3 . Руководство по ремонту 0425012 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Громов, Михаил (1978). «Почти плоские многообразия» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2): 231–241. DOI : 10.4310 / JDG / 1214434488 . Руководство по ремонту 0540942 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн, Поток Риччи: введение. Математические обзоры и монографии, 110. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2004. xii + 325 с. ISBN 0-8218-3515-7
- ^ а б Грин, Бенджамин ; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math.NT / 0606088 . DOI : 10.4007 / анналы.2010.171.1753 . Руководство по ремонту 2680398 .
- ^ Ведущий, Бернард; Кра, Брына (2005). «Нетрадиционные эргодические средние и нильмногообразия» . Анналы математики . (2). 161 (1): 397–488. DOI : 10.4007 / анналы.2005.161.397 . Руководство по ремонту 2150389 .
- ^ А. И. Мальцев, Об одном классе однородных пространств , AMS Translation No. 39 (1951).
- ^ Рагхунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 68 . Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86428-5. Руководство по ремонту 0507234 .
Глава II.
CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) - ^ Palais, RS; Стюарт, Т. Е. Тор расслаивается над тором. Proc. Амер. Математика. Soc. 12 1961 26–29.
- ^ Комплекс Кейзо Хасегава и кэлеровы структуры на компактных солвмногообразиях, J. Symplectic Geom. Том 3, номер 4 (2005), 749–767.
- ^ Кейзо Хасегава, Минимальные модели нильмногообразий, Proc. Амер. Математика. Soc. 106 (1989), нет. 1, 65–71.
- ^ Бенсон, Чал; Гордон, Кэролайн С. (1988). «Кэлеровы и симплектические структуры на нильмногообразиях» . Топология . 27 (4): 513–518. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (88) 90029-8 . Руководство по ремонту 0976592 .
- ^ Зёнке Ролленске, Геометрия нильмногообразий с левоинвариантной комплексной структурой и деформациями в большом , 40 страниц, arXiv: 0901.3120, Proc. Лондонская математика. Soc., 99, 425–460, 2009.