Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике , в частности теории групп , А нильпотентная группа G представляет собой группу , которая имеет верхний центральный ряд , который заканчивается с G . Эквивалентно, его центральный ряд имеет конечную длину или его нижний центральный ряд заканчивается знаком {1}.
Интуитивно нильпотентная группа - это группа, которая «почти абелева ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы , а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать. Верно также, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы . Автор идеи - это работа русского математика Сергея Черникова в 1930-х годах . [1]
Нильпотентные группы возникают в теории Галуа , а также в классификации групп. Они также заметно фигурируют в классификации групп Ли .
Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли ), включая нильпотентный , нижний центральный ряд и верхний центральный ряд .
Определение [ править ]
В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы G :
- G имеет центральный ряд конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп
- где , или эквивалентно .
- G имеет нижний центральный ряд, оканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп
- где .
- G имеет верхний центральный ряд, оканчивающийся во всей группе за конечное число шагов. То есть ряд нормальных подгрупп
- где и - подгруппа такая, что .
Для нильпотентной группы наименьшее n такое, что G имеет центральный ряд длины n , называется классом нильпотентности группы G ; и G называется нильпотентной класса n . (По определению длина равна n, если в серии есть разные подгруппы, включая тривиальную подгруппу и всю группу.)
Эквивалентно, класс нильпотентности G равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если группа имеет класс нильпотентности не более n , то ее иногда называют ниль- n группой .
Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класса нильпотентности 0 , а группы класса нильпотентности 1 являются в точности нетривиальными абелевыми группами. [2] [3]
Примеры [ править ]
- Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна. [2] [4]
- В качестве небольшого неабелевого примера рассмотрим группу кватернионов Q 8 , которая является наименьшей неабелевой p- группой. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q 8 ; так что это нильпотент класса 2.
- Прямое произведение двух нильпотентных групп нильпотентно. [5]
- На самом деле все конечные p -группы нильпотентны ( доказательство ). Максимальным классом группы порядка p n является n (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группа максимального класса являются обобщенными группы кватернионов , то двугранные группы , и полудиэдральной группа .
- Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p -групп. [6]
- Мультипликативная группа верхних унитреугольных матриц размера n x n над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n - 1. В частности, взятие n = 3 дает группу Гейзенберга H , пример неабелевой [7] бесконечной нильпотентной группа. [8] Он имеет класс нильпотентности 2 с центральной серией 1, Z ( H ), H .
- Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц размера n x n над полем F , вообще говоря, не является нильпотентной, но разрешима .
- Любая неабелева группа G такая , что G / Z ( G ) абелева имеет класс нильпотентности 2, с центральными серии {1}, Z ( G ), G .
Объяснение термина [ править ]
Нильпотентные группы , так называемый , потому что «присоединенное действие» любой элемент нильпотентное , а это означает , что для нильпотентной группы степени нильпотентности и элемента , функция , определенной (где это коммутатор из и ) нильпотентно в том смысле , что й итерация функции тривиальна: для всех в .
Это не является определяющей характеристика нильпотентных групп: группы , для которых нильпотентно степени (в указанном выше смысле) называется - Engel группа , [9] , и не должно быть нильпотентными в целом. Доказано, что они нильпотентны, если они имеют конечный порядок , и предполагается, что они нильпотентны, пока они конечно порождены .
Абелева группа - это в точности такая, для которой присоединенное действие не просто нильпотентно, но тривиально (1-энгелева группа).
Свойства [ править ]
Поскольку каждая последующая фактор-группа Z i +1 / Z i в верхнем центральном ряду абелева, а ряд конечен, каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.
Каждая подгруппа нильпотентной группы класса n нильпотентна класса не выше n ; [10] кроме того, если f является гомоморфизмом нильпотентной группы класса n , то образ f нильпотентен [10] класса не выше n .
Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп [11], раскрывая некоторые полезные свойства нильпотентности:
- (а) G - нильпотентная группа.
- (б) Если Н является собственной подгруппой группы G , то Н является собственной нормальной подгруппой из N G ( H ) (в нормализатор из Н в G ). Это называется свойством нормализатора и может быть выражено просто как «рост нормализаторов».
- (c) Каждая силовская подгруппа группы G нормальна.
- (г) G - прямое произведение своих силовских подгрупп .
- (e) Если d делит порядок группы G , то G имеет нормальную подгруппу порядка d .
Доказательство: (a) → (b): индукцией по | G |, Если G абелева, то для любого H , N G ( H ) = G . Если нет, то, если Z ( G ) не содержится в H , то ч Z Н Z -1 ч -1 = Н ' Н' ч -1 = Н , так что Н · Z ( G ) нормализаторами H . Если Z ( G ) содержится в H , то H/ Z ( G ) содержится в G / Z ( G ). Отметим, что G / Z ( G ) - нильпотентная группа. Таким образом, в G / Z ( G ) существует подгруппа, нормализующая H / Z ( G ), и H / Z ( G ) является ее собственной подгруппой. Поэтому, откатиться эту подгруппу в подгруппы в G и нормализует Н . (Это доказательство является тем же аргументом, что и для p-группы - единственный факт, который нам нужен, это то, что если G нильпотентна, то и G / Z ( G ) также является G / Z ( G ) - поэтому детали опускаются.)
(b) → (c): Пусть p 1 , p 2 , ..., p s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P i в Syl p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Пусть P = P i для некоторого i, и пусть N = N G ( P ). Так как Р является нормальной подгруппой группы N , Р характерно в N . Поскольку P char N иN - нормальная подгруппа в N G ( N ), мы получаем, что P - нормальная подгруппа в N G ( N ). Это означает , что N G ( N ) является подгруппой N и , следовательно , N G ( N ) = N . Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N = G , что дает (c).
(c) → (d): пусть p 1 , p 2 , ..., p s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P i в Syl p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Для любого t , 1 ≤ t ≤ s, индуктивно показываем, что P 1 P 2 … P t изоморфен P 1 × P 2 ×… × P t . Сначала обратите внимание, что каждый P i является нормальным вG так P 1 P 2 ... P т является подгруппой G . Пусть H - произведение P 1 P 2 … P t-1 и K = P t , поэтому по индукции H изоморфен P 1 × P 2 ×… × P t-1 . В частности, | H | = | П 1 | · | П 2 | ·… · | П т-1 |. Поскольку | K | = | пt | порядки H и K взаимно просты. Из теоремы Лагранжа следует, что пересечение H и K равно 1. По определению P 1 P 2 … P t = HK , следовательно, HK изоморфна H × K, что равно P 1 × P 2 ×… × P t . На этом индукция завершена. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).
(d) → (e): Обратите внимание, что P-группа порядка p k имеет нормальную подгруппу порядка p m для всех 1 ≤ m ≤ k . Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для любого делителя d группы | G |,
(e) → (a): Для любого простого p, делящего | G | силовская p -подгруппа нормальна. Таким образом, мы можем применить (c) (поскольку мы уже доказали (c) → (e)).
Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если G - нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа G p группы G нормальна, и прямое произведение этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка в G (см. торсионная подгруппа ).
Многие свойства нильпотентных групп разделяются гиперцентральными группами .
Заметки [ править ]
- ^ Диксон, MR; Кириченко В.В.; Курдаченко, Л.А.; Otal, J .; Семко Н.Н.; Шеметков Л.А.; Субботин, И.Я. (2012). «С. Н. Черников и развитие теории бесконечных групп». Алгебра и дискретная математика . 13 (2): 169–208.
- ^ а б Супруненко (1976). Матричные группы . п. 205.
- ^ Табачникова и Смит (2000). Темы в теории групп (серия Springer по математике для студентов) . п. 169.
- ^ Хангерфорд (1974). Алгебра . п. 100.
- ^ Цассенхауз (1999). Теория групп . п. 143.
- ^ Цассенхауз (1999). Теорема 11 . п. 143.
- ^ Haeseler (2002). Автоматические последовательности (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36) . п. 15.
- Перейти ↑ Palmer (2001). Банаховы алгебры и общая теория * -алгебр . п. 1283.
- ^ Что касается члена, сравните теорему Энгеля , также о нильпотентности.
- ^ a b Bechtell (1971), стр. 51, теорема 5.1.3
- Перейти ↑ Isaacs (2008), Thm. 1,26
Ссылки [ править ]
- Бехтелл, Гомер (1971). Теория групп . Эддисон-Уэсли .
- Фон Хезелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности . Выставки Де Грюйтера по математике. 36 . Берлин: Вальтер де Грюйтер . ISBN 3-11-015629-6.
- Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
- Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4344-3.
- Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория * -алгебр . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36638-0.
- Штаммбах, Урс (1973). Гомологии в теории групп . Конспект лекций по математике. 359 . Springer-Verlag. обзор
- Супруненко Д.А. (1976). Матричные группы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1341-2.
- Табачникова Ольга; Смит, Джефф (2000). Разделы теории групп . Серия «Математика бакалавриата Springer». Springer. ISBN 1-85233-235-2.
- Цассенхаус, Ганс (1999). Теория групп . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-40922-8.