Метод коллокации

В математике метод коллокации - это метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений , уравнений в частных производных и интегральных уравнений . Идея состоит в том, чтобы выбрать конечномерное пространство возможных решений (обычно полиномов до определенной степени) и количество точек в области (называемых точками коллокации ), а также выбрать то решение, которое удовлетворяет данному уравнению в точках коллокации. .

Обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

Предположим, что обыкновенное дифференциальное уравнение

${\ Displaystyle у '(т) = е (т, у (т)), \ четырехъядерный у (т_ {0}) = у_ {0},}$

должна быть решена на интервале . Выберите из 0 ≤ c ₁ < c ₂ <… < c _n ≤ 1.${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

Соответствующий (полиномиальный) метод коллокации аппроксимирует решение y полиномом p степени n, удовлетворяющим начальному условию , и дифференциальным уравнением${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

во всех точках коллокации для . Это дает n  + 1 условий, которые соответствуют n  + 1 параметрам, необходимым для задания полинома степени n .${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ Displaystyle к = 1, \ ldots, п}$

Все эти методы коллокации на самом деле являются неявными методами Рунге – Кутты . Коэффициенты c _k в таблице Бутчера метода Рунге – Кутты являются точками коллокации. Однако не все неявные методы Рунге – Кутты являются методами коллокации.^[1]

Пример: правило трапеции [ править ]

Выберите, например, две точки сопоставления c ₁ = 0 и c ₂ = 1 (так n = 2). Условия коллокации:

${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Есть три условия, поэтому p должен быть многочленом степени 2. Запишите p в виде

${\ Displaystyle п (т) = \ альфа (т-т_ {0}) ^ {2} + \ бета (т-т_ {0}) + \ гамма \,}$

для упрощения вычислений. Затем можно решить условия коллокации, чтобы получить коэффициенты

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}}$

Метод коллокации теперь задается (неявно)

${\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,}$

где y ₁ = p ( t ₀  +  h ) - приближенное решение при t = t ₀  +  h .

Этот метод известен как « правило трапеций » для дифференциальных уравнений. В самом деле, этот метод также можно получить, переписав дифференциальное уравнение в виде

${\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,}$

и аппроксимация интеграла в правой части правилом трапеций для интегралов.

Другие примеры [ править ]

Эти методы Гаусса-Лежандра использовать точки Гаусса-Лежандра квадратуре в качестве точек коллокации. Метод Гаусса – Лежандра, основанный на s- точках, имеет порядок 2 s . ^[2] Все методы Гаусса – Лежандра A-устойчивы . ^[3]

Фактически, можно показать, что порядок метода коллокации соответствует порядку квадратурного правила, которое можно было бы получить, используя точки коллокации в качестве весов.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ascher, Uri M .; Петцольд, Линда Р. (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Изерлес, Ари (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Ван, Инвэй; Чен, Сукин; Ву, Xionghua (2009), «Рациональный спектральный метод коллокации для решения одного класса параметризованных сингулярно возмущенных задач», Журнал вычислительной и прикладной математики , 233 (10): 2652-2660, DOI : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.