Условное распределение вероятностей

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники:  «Условное распределение вероятностей»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В теории вероятностей и статистике , учитывая два совместно распределенные случайные величины и , то условное распределение вероятностей по Y дано Х является распределением вероятностей из , когда известно, что конкретное значения; в некоторых случаях условные вероятности могут быть выражены как функции , содержащие неопределенное значение в качестве параметра. Когда оба и являются категориальными переменными , таблица условной вероятности${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$обычно используется для представления условной вероятности. Условное распределение контрастирует с предельным распределением случайной величины, которое представляет собой ее распределение без ссылки на значение другой переменной.

Если условное распределение данного является непрерывным распределением , то его функция плотности вероятности известна как функция условной плотности . Свойства условного распределения, такие как моменты , часто называют соответствующими именами, такими как условное среднее и условная дисперсия .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

В более общем смысле, можно ссылаться на условное распределение подмножества набора из более чем двух переменных; это условное распределение зависит от значений всех оставшихся переменных, и если в подмножество включено более одной переменной, то это условное распределение является условным совместным распределением включенных переменных.

Условные дискретные распределения [ править ]

Для дискретных случайных величин функция массы условной вероятности данного может быть записана в соответствии с ее определением как:${\ displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$

Из-за наличия в знаменателе это определено только для ненулевых (следовательно, строго положительных)${\displaystyle P(X=x)}$${\displaystyle P(X=x).}$

Связь с распределением вероятности данного :${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

Пример [ править ]

Рассмотрим бросок правильного кубика и пусть, если число четное (например, 2, 4 или 6), и в противном случае. Кроме того, пусть, если число простое (т.е. 2, 3 или 5), и в противном случае.${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle Y=0}$

Тогда безусловная вероятность, которая равна 3/6 = 1/2 (поскольку существует шесть возможных бросков кубика, из которых три четные), тогда как вероятность, которая обусловлена, равна 1/3 (поскольку есть три возможных броска простых чисел - 2, 3 и 5 - из которых одно четное).${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=1}$${\displaystyle Y=1}$

Условные непрерывные распределения [ править ]

Аналогично для непрерывных случайных величин , условная функция плотности вероятности из данного вхождения значения из может быть записана в виде ^{[1] : р. 99}${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

где дает совместную плотность от и , в то время как дает предельную плотность для . И в этом случае нужно то .${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

Связь с распределением вероятностей данного определяется выражением:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

Концепция условного распределения непрерывной случайной величины не так интуитивна, как может показаться: парадокс Бореля показывает, что условные функции плотности вероятности не обязательно должны быть инвариантными относительно преобразований координат.

Пример [ править ]

График показывает двумерную нормальную плотность соединений для случайных величин и . Чтобы увидеть распределение условного включения , можно сначала визуализировать линию на плоскости , а затем визуализировать плоскость, содержащую эту линию и перпендикулярную плоскости. Пересечение этой плоскости с нормальной плотностью соединения, после масштабирования, чтобы дать единицу площади под пересечением, является соответствующей условной плотностью .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}\rho (70-\mu _{2}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{1}^{2}\right).}$

Отношение к независимости [ править ]

Случайные переменные , являются независимыми , если и только если условное распределение дано , для всех возможных реализаций , равные безусловного распределение . Для дискретных случайных величин это означает все возможные и с . Для непрерывных случайных величин и , имея совместную функцию плотности , значит для всех возможных и с .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X=x)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

Свойства [ править ]

Рассматриваемая как функция для данного , это функция массы вероятности, поэтому сумма по всем (или интеграл, если это условная плотность вероятности) равна 1. Рассматриваемая как функция для данного , это функция правдоподобия , так что общая сумма не обязательно должна быть 1.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Кроме того, маргинальное значение совместного распределения может быть выражено как ожидание соответствующего условного распределения. Так , например, .${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]}$

Теоретико-мерная формулировка [ править ]

Пусть вероятностное пространство, а -поле в и вещественную случайную величину (измеряемое по отношению к Борель -field на ). Учитывая , то Радон-Никодим теорема означает , что существует ^[2] -измеримая интегрируемая случайная величина такая , что для каждого , и такой случайной величина однозначно определяются с точностью до множеств нулевой вероятности. Далее, тогда можно показать, что существует ^[3] функция такая, что ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}^{1}\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega )}$является вероятностной мерой для каждого (т. е. регулярно ) и (почти наверняка) для каждого .${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (H,\cdot )=P(X^{-1}(H)\mid {\mathcal {G}})}$${\displaystyle H\in {\mathcal {R}}^{1}}$

Для любого , функция называется условной вероятности распределения из дали . В этом случае почти наверняка.${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega ):{\mathcal {R}}^{1}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )}$

Отношение к условному ожиданию [ править ]

Для любого события определите функцию индикатора :${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

что является случайной величиной. Обратите внимание, что ожидание этой случайной величины равно вероятности самого A :

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;}$

Тогда заданная условная вероятность${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ является такой функцией , которая является условным ожиданием индикаторной функции для :${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}}):{\mathcal {A}}\times \Omega \to [0,1]}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {B}})\;}$

Другими словами, является -измеримой функцией, удовлетворяющей${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})(\omega )\,\mathrm {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} (A\cap B)\qquad {\text{for all}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}.}$

Условная вероятность является регулярной, если она также является вероятностной мерой для всех ω  ∈  Ω . Ожидание случайной величины относительно обычной условной вероятности равно ее условному ожиданию.${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )}$

• Для тривиальной сигма-алгебры условная вероятность является постоянной функцией,${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)\equiv \operatorname {P} (A).}$
• Поскольку , как указано выше,${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=1_{A}.}$

См. Также [ править ]

• Обусловленность (вероятность)
• Условная возможность
• Обычная условная вероятность
• Теорема Байеса

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.