В математике вырожденная гипергеометрическая функция является решением вырожденного гипергеометрического уравнения , которое представляет собой вырожденную форму гипергеометрического дифференциального уравнения, в котором две из трех правильных особенностей сливаются в неправильную особенность . Термин конфлюэнтность относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм вырожденных гипергеометрических функций:
Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.
с регулярной особой точкой при z = 0 и нерегулярной особой точкой при z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .
Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в ( Kummer 1837 ), заданный формулой:
является возрастающим факториалом . Другое общее обозначение для этого решения - Φ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция a , b или z с двумя другими постоянными, это определяет полную функцию a или z , за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция b это аналитические , за исключением полюсов в неположительных целых числах.
Некоторые значения a и b дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. См . #Особые случаи . Когда a неположительное целое число, то функция Куммера (если она определена) является обобщенным полиномом Лагерра .