В математике , в Многочлены Лагерра , после того, как названные Лагерр (1834-1886), являются решениями уравнения Лагерра:
которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка . Это уравнение имеет невырожденные решения только в том случае, если n - целое неотрицательное число.
Иногда называют полиномами Лагерра решения
где n по-прежнему является неотрицательным целым числом. Затем они также называются обобщенными полиномами Лагерра , как это будет сделано здесь (альтернативно, ассоциированные полиномы Лагерра или, реже, полиномы Сонина , в честь их изобретателя [1] Николая Яковлевича Сонина ).
В более общем смысле функция Лагерра - это решение, когда n не обязательно является неотрицательным целым числом.
Многочлены Лагерра также используются для квадратур Гаусса для численного вычисления интегралов вида
Иногда физики используют определение полиномов Лагерра, которое больше в n раз ! чем определение, используемое здесь. (Точно так же некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых ассоциированных многочленов Лагерра.)
Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра, L n ( k ) ( x )
Явные примеры и свойства обобщенных многочленов Лагерра [ править ]
Функции Лагерра определяются вырожденными гипергеометрическими функциями и преобразованием Куммера как [3]
- обобщенный биномиальный коэффициент . Когда n является целым числом, функция сводится к полиному степени n . Имеет альтернативное выражение [4]
в терминах функции Куммера второго рода .
Замкнутая форма для этих обобщенных многочленов Лагерра степени n имеет вид [5]
полученный путем применения теоремы Лейбница о дифференцировании продукта к формуле Родригеса.
Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра:
Коэффициент ведущего термина (-1) п / п !;
Термин константа , которая представляет собой значение в 0, является
Если α неотрицательно, то L n ( α ) имеет n действительных , строго положительных корней (обратите внимание, что это цепь Штурма ), которые все находятся в интервале [ необходимая ссылка ]
Асимптотика полиномов для больших n , но фиксированных α и x > 0 дается формулой [6] [7]
и резюмируя
где - функция Бесселя .
Как контурный интеграл [ править ]
С учетом производящей функции, указанной выше, многочлены могут быть выражены через контурный интеграл
где контур обходит начало координат один раз против часовой стрелки, не ограничивая существенную особенность в точке 1
которое можно сравнить с уравнением, которому подчиняется k- я производная обычного полинома Лагерра,
где только для этого уравнения.
В форме Штурма – Лиувилля дифференциальное уравнение имеет вид
что показывает, что L(α) пявляется собственным вектором для собственного значения n .
Ортогональность [ править ]
Обобщенные полиномы Лагерра ортогональны над [0, ∞) относительно меры с весовой функцией x α e - x : [10]
что следует из
Если обозначает гамма-распределение, то соотношение ортогональности можно записать как
Соответствующий симметричный ядерный многочлен имеет представления ( формула Кристоффеля – Дарбу ) [ необходимая ссылка ]
рекурсивно
Более того, [ требуется уточнение Предел, когда n стремится к бесконечности? ]
Здесь можно вывести неравенства Турана:
Следующий интеграл необходим в квантовой механической обработке атома водорода ,
Расширения серий [ править ]
Пусть функция имеет разложение в (формальный) ряд
потом
Ряд сходится в ассоциированном гильбертовом пространстве L 2 [0, ∞) тогда и только тогда, когда
Дальнейшие примеры расширений [ править ]
Мономы представлены как
в то время как двучлены имеют параметризацию
Это приводит непосредственно к
для экспоненциальной функции. Неполная гамма - функция имеет представление
В квантовой механике [ править ]
В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобного атома точно решается путем разделения переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции представляет собой (обобщенный) полином Лагерра. [11]
Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также можно описать с помощью полиномов Лагерра. [12]
Теоремы умножения [ править ]
Эрдейи приводит следующие две теоремы умножения [13]
Связь с полиномами Эрмита [ править ]
Обобщенные полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита :
где H n ( x ) - полиномы Эрмита, основанные на весовой функции exp (- x 2 ), так называемой «версии физика».
Из-за этого при рассмотрении квантового гармонического осциллятора возникают обобщенные полиномы Лагерра .
Связь с гипергеометрическими функциями [ править ]
Многочлены Лагерра могут быть определены в терминах гипергеометрических функций , в частности конфлюэнтных гипергеометрических функций , как
где - символ Поххаммера (который в данном случае представляет возрастающий факториал).
где ряд слева сходится при и . Использование идентичности
(см. обобщенную гипергеометрическую функцию ), это также можно записать как
Эта формула является обобщением ядра Мелера для полиномов Эрмита , которое может быть восстановлено из него с помощью соотношений между полиномами Лагерра и Эрмита, приведенными выше.
См. Также [ править ]
Многочлены Анжелеску
Поперечная мода , важное применение полиномов Лагерра для описания интенсивности поля в волноводе или профиле лазерного луча.
Заметки [ править ]
^ Н. Сонин (1880). «Исследования по функциям цилиндров и развитие функций продолжаются в серии» . Математика. Анна. 16 (1): 1–80. DOI : 10.1007 / BF01459227 .
^ A&S стр. 781
^ A&S стр. 509
^ A&S стр. 510
^ A&S стр. 775
^ Сеге, стр. 198.
^ D. Borwein, JM Borwein, RE Crandall, "Эффективная асимптотика Лагерра", SIAM J. Numer. Анальный. , т. 46 (2008), нет. . 6, стр 3285-3312 DOI : 10,1137 / 07068031X
^ Уравнение A&S (22.12.6), стр. 785
^ Кепф, Вольфрам (1997). «Тождества семейств ортогональных многочленов и специальных функций». Интегральные преобразования и специальные функции . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . DOI : 10.1080 / 10652469708819127 .
^ "Ассоциированный многочлен Лагерра" .
^ Ратнер, Schatz, Марк А., Джордж С. (2001). Квантовая механика в химии . 0-13-895491-7: Prentice Hall. С. 90–91.CS1 maint: location (link)
^ Jong, Mathijs de; Сейджо, Луис; Мейеринк, Андрис; Rabouw, Фредди Т. (2015-06-24). «Устранение неоднозначности в связи между стоксовым сдвигом и параметром Хуанга – Риса» . Физическая химия Химическая физика . 17 (26): 16959–16969. DOI : 10.1039 / C5CP02093J . ISSN 1463-9084 .
^ C. Truesdell, " О теоремах сложения и умножения для специальных функций ", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics , (1950) pp. 752–757.
^ Сеге, стр. 102.
^ WA Аль-Салам (1964), «Операционные представления для Лагерра и других многочленов» , Duke Math J. 31 (1): 127–142.
Ссылки [ править ]
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Б. Спейн, М.Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostrand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена многочленам Лагерра.
"Многочлены Лагерра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Эрик В. Вайсштейн , « Полином Лагерра », из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.
Джордж Арфкен и Ханс Вебер (2000). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-059825-0.
Внешние ссылки [ править ]
Тимоти Джонс. «Полиномы Лежандра и Лагерра и элементарная квантово-механическая модель атома водорода» .
Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Лагерра» . MathWorld .