В теории вероятностей две последовательности вероятностных мер называются смежными, если асимптотически они имеют один и тот же носитель . Таким образом, понятие смежности расширяет понятие абсолютной непрерывности к последовательностям мер.
Эта концепция была первоначально введена Ле Камом (1960) как часть его вклада в развитие абстрактной общей асимптотической теории в математической статистике . Ле Кам сыграл важную роль в период развития абстрактной общей асимптотической теории в математической статистике. Он наиболее известен общими концепциями локальной асимптотической нормальности и примыкания. [1]
Определение
Позволять последовательность измеримых пространств , каждое из которых снабжено двумя мерами P n и Q n .
- Будем говорить , что Q п является смежной по отношению к Р п (обозначается Q п ◁ Р п ) , если для любой последовательности А п из измеримых множеств , Р п ( п ) → 0 означает Q п ( А п ) → 0 .
- Последовательности P n и Q n называются взаимно смежными или двух смежными (обозначаются Q n ◁ ▷ P n ), если оба Q n смежны относительно P n, а P n смежны относительно Q n . [2]
Понятие непрерывности тесно связано с понятием абсолютной непрерывности . Будем говорить , что мера Q является абсолютно непрерывна относительно P (обозначается Q « Р ) , если для любого измеримого множества A , P ( ) = 0 означает , Q ( ) = 0 . То есть, Q абсолютно непрерывна относительно Р , если поддержка из Q является подмножеством носителя Р , за исключением случаев , когда это ложь, в том числе, например, мера , которая концентрируется на открытом множестве, поскольку его поддержка замкнутый набор, и он присваивает нулевую меру границе, и поэтому другая мера может концентрироваться на границе и, таким образом, иметь опору, содержащуюся в опоре первой меры, но они будут взаимно сингулярными. Таким образом, утверждение об абсолютной преемственности в предыдущем предложении неверно. Свойство смежности заменяет это требование асимптотическим: Q n является смежным по отношению к P n, если «предельный носитель» Q n является подмножеством предельного носителя P n . По изложенной выше логике это утверждение также неверно.
Однако возможно, что каждая из мер Q n будет абсолютно непрерывной по отношению к P n , в то время как последовательность Q n не будет смежной по отношению к P n .
Фундаментальная теорема Радона – Никодима для абсолютно непрерывных мер утверждает, что если Q абсолютно непрерывно относительно P , то Q имеет плотность относительно P , обозначаемую как ƒ = d Q ⁄ d P , такую, что для любого измеримого множества A
который интерпретируется как возможность «восстановить» меру Q, зная меру P и производную ƒ . Аналогичный результат существует для непрерывных последовательностей мер и дается третьей леммой Ле Кама .
Приложения
Смотрите также
Заметки
- ^ Вулфовиц Дж. (1974) Рецензия на книгу: «Смежность вероятностных мер: некоторые применения в статистике. Джордж Г. Руссас», Журнал Американской статистической ассоциации , 69, 278–279 jstor
- ↑ van der Vaart (1998 , p. 87)
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 11 октября 2008 года . Проверено 12 ноября 2009 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
Рекомендации
- Hájek, J .; Шидак, З. (1967). Теория ранговых тестов . Нью-Йорк: Academic Press.
- Ле Кам, Люсьен (1960). «Локально асимптотически нормальные семейства распределений». Статистические публикации Калифорнийского университета . 3 : 37–98.
- Руссас, Джордж Г. (2001) [1994], "Непрерывность вероятностных мер" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ван дер Ваарт, AW (1998). Асимптотическая статистика . Издательство Кембриджского университета.
Дополнительная литература
- Руссас, Джордж Г. (1972), Смежность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике , CUP, ISBN 978-0-521-09095-7 .
- Скотт, Д. Д. (1982) Смежность вероятностных мер, Статистический журнал Австралии и Новой Зеландии , 24 (1), 80–88.
Внешние ссылки
- Асимптопия смежности: 17 октября 2000 г., Дэвид Поллард
- Асимптотическая нормальность при смежности в случае зависимости
- Центральная предельная теорема при смежных альтернативах
- Сверхэффективность, смежность, LAN, регулярность, теоремы о свертке
- Проверка статистических гипотез
- Необходимые и достаточные условия примыкания и полного асимптотического разделения вероятностных мер Р. Ш. Липцер и др. 1982 г., рус. Математика. Surv. 37 107–136
- Бессознательное как бесконечное множество Игнасио Матте Бланко, Эрик (FRW) Рейнер
- «Смежность вероятностных мер», Дэвид Дж. Скотт, Университет Ла Троб
- «О концепции смежности», Холл, Лойнс