В математике решетка Кокстера – Тодда K 12 , открытая Кокстером и Тоддом ( 1953 ), представляет собой 12-мерную четную целочисленную решетку дискриминанта 3 6 без векторов нормы-2. Это подрешетка решетки Лича, фиксированная некоторым автоморфизмом порядка 3, и аналогична решетке Барнса – Уолла . Группа автоморфизмов решетки Кокстера – Тодда имеет порядок 2 10 · 3 7 · 5 · 7 = 78382080, и в этой решетке с нормой 4 находится 756 векторов (кратчайшие ненулевые векторы в этой решетке).
Характеристики
Решетка Кокстера – Тодда может быть превращена в 6-мерную решетку, самодуальную над целыми числами Эйзенштейна. Группа автоморфизмов этой комплексной решетки имеет индекс 2 в полной группе автоморфизмов решетки Кокстера – Тодда и является комплексной группой отражений (номер 34 в списке) со структурой 6.PSU 4 ( F 3 ) .2, называемой группой Митчелла. группа .
В роде решетка Косетер-Тодд был описан ( Scharlau & Венковым 1995 ) и имеет 10 изометрии классов: все из них , кроме Кокстера-Тодда решетки имеют корневую систему максимального ранга 12.
Строительство
На основе веб-страницы Nebe мы можем определить K 12, используя следующие 6 векторов в 6-мерных комплексных координатах. ω - комплексное число порядка 3, т.е. ω 3 = 1.
(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0),
½ (1, ω, ω, 1,0,0), ½ (ω, 1, ω, 0,1,0), ½ (ω, ω, 1,0,0,1),
Сложив векторы, имеющие скалярное произведение -½, и умножив на ω, мы можем получить все векторы решетки. У нас есть 15 комбинаций двух нулей, умноженных на 16 возможных знаков, что дает 240 векторов; плюс 6 единичных векторов умножить на 2 для знаков дает 240 + 12 = 252 вектора. Умножив его на 3, используя умножение на ω, мы получим 756 единичных векторов в решетке K 12 .
дальнейшее чтение
Решетка Кокстера – Тодда подробно описана в ( Conway & Sloane 1999 , раздел 4.9) и ( Conway & Sloane 1983 ).
Рекомендации
- Конвей, JH; Sloane, NJA (1983), "Кокстера-Todd решетка, группа Митчелла, и связанные с ним сферы упаковки", Математические Труды Кембриджского философского общества , 93 (3): 421-440, DOI : 10,1017 / S0305004100060746 , MR 0698347
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Кокстер, HSM; Тодд, JA (1953), "Крайняя форма двенадцатеричный", Canadian Journal математики , 5 : 384-392, DOI : 10,4153 / CJM-1953-043-4 , МР 0055381
- Шарлау, Рудольф; Венков, Борис Б. (1995), "Род решетки Кокстера-Тодда" , препринт , архивировано с оригинала 12 июня 2007 г.
Внешние ссылки
- Решетка Кокстера – Тодда в каталоге решеток Слоана