Комплексная группа отражений

В математике , А комплекс группа отражений является конечной группой , действующей на конечномерном комплексном векторном пространстве , который генерируется сложными отражениями : нетривиальные элементы , которые крепят сложную гиперплоскость точечно.

Сложные группы отражений возникают при изучении теории инвариантов из колец многочленов . В середине 20 века они были полностью классифицированы в работах Шепарда и Тодда. Частные случаи включают симметрическую группу перестановок, группы диэдра и, в более общем смысле, все конечные действительные группы отражений ( группы Кокстера или группы Вейля , включая группы симметрии правильных многогранников ).

Определение [ править ]

(Комплексное) отражение r (иногда также называемое псевдоотражением или унитарным отражением ) конечномерного комплексного векторного пространства V - это элемент конечного порядка, который поточечно фиксирует комплексную гиперплоскость, то есть неподвижное пространство имеет коразмерность 1. ${\ displaystyle r \ in GL (V)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fix} (r): = \ operatorname {ker} (r- \ operatorname {Id} _ {V})}$

( Конечная ) комплексная группа отражений - это конечная подгруппа , порожденная отражениями. ${\ Displaystyle W \ substeq GL (V)}$ ${\ Displaystyle GL (V)}$

Свойства [ править ]

Любая реальная группа отражения становится сложной группой отражений , если мы продолжим скаляры от R до C . В частности, все группы Кокстера или группы Вейля дают примеры сложных групп отражений.

Сложная группа отражений W является неприводимым , если только Ш -инвариантного собственного подпространства соответствующего векторного пространства происхождение. В этом случае размерность векторного пространства называется ранг из W .

Число Кокстера неприводимой комплексной группы отражений W ранга определяется как где где обозначает множество отражений и обозначает набор отражающих гиперплоскостей. В случае вещественных групп отражений это определение сводится к обычному определению числа Кокстера для конечных систем Кокстера. ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle n}$ $h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}$ ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {A}}$

Классификация [ править ]

Любая комплексная группа отражений является продуктом неприводимых комплексных групп отражений, действующих на сумме соответствующих векторных пространств. ^[1] Итак, достаточно классифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые сложные группы отражений были классифицированы Г. С. Шепардом и Дж. А. Тоддом ( 1954 ). Они доказали , что каждый неприводимая принадлежала к бесконечному семейству G ( т , р , п ) в зависимости от 3 положительных целочисленных параметров (с р разделяющих м ) или были одним из 34 исключительных случаев, которые они пронумерованы от 4 до 37. ^[2] The группа G ( m , 1, n ) - обобщенная симметрическая группа ; эквивалентно, это сплетение симметрической группы Sym ( n) циклической группой порядка m . В качестве группы матриц ее элементы могут быть реализованы в виде мономиальных матриц , ненулевые элементы которых являются корнями m- й степени из единицы .

Группа G ( m , p , n ) является подгруппой индекса p в G ( m , 1, n ). G ( м , р , п ) имеет порядок т ^п п ! / Р . В виде матриц это может быть реализовано как подмножество, в котором произведение ненулевых элементов является корнем ( m / p ) -й степени из единицы (а не просто корнем m- й степени). Алгебраически G ( m , p , n) является полупрямым произведением абелевой группы порядка m ⁿ / p на симметрическую группу Sym ( n ); элементы абелевой группы имеют вид ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ), где θ - примитивный корень m- й степени из единицы и ∑ a _i ≡ 0 mod p , а Sym ( п ) действует перестановками координат. ^[3]

Группа G ( m , p , n ) действует на C ⁿ неприводимо, за исключением случаев m = 1, n > 1 (симметрическая группа) и G (2, 2, 2) ( четырехгруппа Клейна ). В этих случаях C ⁿ разбивается как сумма неприводимых представлений размерностей 1 и n - 1.

Частные случаи G ( m , p , n ) [ править ]

Группы Кокстера [ править ]

Когда m = 2, представление, описанное в предыдущем разделе, состоит из матриц с действительными элементами, и, следовательно, в этих случаях G ( m , p , n ) является конечной группой Кокстера. В частности: ^[4]

G (1, 1, n ) имеет тип A _{n −1} = [3,3, ..., 3,3] =...; симметрическая группа порядка n !
G (2, 1, n ) имеет тип B _n = [3,3, ..., 3,4] =...; гипероктаэдральной группа 2 - го порядка ^п п !
G (2, 2, n ) имеет тип D _n = [3,3, ..., 3 ^1,1 ] =..., заказываем 2 ⁿ n ! / 2.

Кроме того, когда m = p и n = 2, группа G ( p , p , 2) является диэдральной группой порядка 2 p ; как группа Кокстера, тип I ₂ ( p ) = [ p ] =(и группа Вейля G ₂ при p = 6).

Другие частные случаи и совпадения [ править ]

Единственные случаи, когда две группы G ( m , p , n ) изоморфны как комплексные группы отражений ^{[ требуется пояснение ],} - это то, что G ( ma , pa , 1) изоморфна G ( mb , pb , 1) для любых натуральных чисел a , b (и обе изоморфны циклической группе порядка m / p ). Однако есть и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Группы G (3, 3, 2) и G (1, 1, 3) изоморфны симметрической группе Sym (3). Группы G (2, 2, 3) и G (1, 1, 4) изоморфны симметрической группе Sym (4). И G (2, 1, 2), и G (4, 4, 2) изоморфны группе диэдра порядка 8. А группы G (2 p , p , 1) циклические порядка 2, как и G ( 1, 1, 2).

Список неприводимых сложных групп отражений [ править ]

В первых трех строках этого списка есть несколько дубликатов; подробности см. в предыдущем разделе.

ST - число Шепарда – Тодда группы отражений.
Ранг - это размерность комплексного векторного пространства, в котором действует группа.
Структура описывает структуру группы. Символ * обозначает центральное произведение двух групп. Для ранга 2 фактор по (циклическому) центру - это группа вращений тетраэдра, октаэдра или икосаэдра ( T = Alt (4), O = Sym (4), I = Alt (5), порядков 12 , 24, 60), как указано в таблице. Обозначение 2 ^{1 + 4} см. В дополнительной специальной группе .
Порядок - это количество элементов в группе.
Reflections описывает количество отражений: 2 ⁶ 4 ¹² означает, что имеется 6 отражений 2-го порядка и 12 4-го порядка.
Степени задают степени фундаментальных инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группы номер 4 образуют кольцо многочленов с двумя образующими степеней 4 и 6.

ST	Классифицировать	Структура и названия	Имена Кокстера	Приказ	Размышления	Градусы	Codegrees
1	п −1	Симметричная группа G (1,1, n ) = Sym ( n )		п !	2 ^{п ( п - 1) / 2}	2, 3, ..., п	0,1, ..., п - 2
2	п	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p \| m ( G (2,2,2) приводима)		m ⁿ n ! / p	2 ^{mn ( n −1) / 2} , d ^{n φ ( d )} ( d \| m / p , d > 1)	м , 2 м , .., ( n - 1) м ; млн / п	0, m , ..., ( n - 1) m, если p < m ; 0, m , ..., ( n - 2) m , ( n - 1) m - n, если p = m
2	2	G ( p , 1,2) p > 1,	p [4] 2 или	2 п ²	2 ^p , d ^{2φ ( d )} ( d \| p , d > 1)	p ; 2p	0, п
2	2	Группа диэдра G ( p , p , 2) p > 2	[ p ] или	2 шт.	2 ^шт.	2, стр	0, стр-2
3	1	Циклическая группа G ( p , 1,1) = Z _p	p [] или	п	d ^{φ ( d )} ( d \| p , d > 1)	п	0
4	2	W (L ₂ ), Z ₂ . Т	3 [3] 3 или , ⟨2,3,3⟩	24	3 ⁸	4,6	0,2
5	2	Z ₆ . Т	3 [4] 3 или	72	3 ¹⁶	6,12	0,6
6	2	Я ₄ . Т	3 [6] 2 или	48	2 ⁶ 3 ⁸	4,12	0,8
7	2	Z ₁₂ . Т	‹3,3,3› ₂ или ⟨2,3,3⟩ ₆	144	2 ⁶ 3 ¹⁶	12,12	0,12
8	2	Я ₄ . О	4 [3] 4 или	96	2 ⁶ 4 ¹²	8,12	0,4
9	2	Z ₈ . О	4 [6] 2 или или ⟨2,3,4⟩ ₄	192	2 ¹⁸ 4 ¹²	8,24	0,16
10	2	Z ₁₂ . О	4 [4] 3 или	288	2 ⁶ 3 ¹⁶ 4 ¹²	12,24	0,12
11	2	Z ₂₄ . О	⟨2,3,4⟩ ₁₂	576	2 ¹⁸ 3 ¹⁶ 4 ¹²	24,24	0,24
12	2	Z ₂ . O = GL ₂ ( F ₃ )	⟨2,3,4⟩	48	2 ¹²	6,8	0,10
13	2	Я ₄ . О	⟨2,3,4⟩ ₂	96	2 ¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z ₆ . О	3 [8] 2 или	144	2 ¹² 3 ¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z ₁₂ . О	⟨2,3,4⟩ ₆	288	2 ¹⁸ 3 ¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z ₁₀ . I , ⟨2,3,5⟩ × Z ₅	5 [3] 5 или	600	5 ⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z ₂₀ . я	5 [6] 2 или	1200	2 ³⁰ 5 ⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z ₃₀ . я	5 [4] 3 или	1800	3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z ₆₀ . я	⟨2,3,5⟩ ₃₀	3600	2 ³⁰ 3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z ₆ . я	3 [5] 3 или	360	3 ⁴⁰	12,30	0,18
21 год	2	Z ₁₂ . я	3 [10] 2 или	720	2 ³⁰ 3 ⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Я ₄ . я	⟨2,3,5⟩ ₂	240	2 ³⁰	12,20	0,28
23	3	W (H ₃ ) = Z ₂ × PSL ₂ (5)	[5,3],	120	2 ¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W (J ₃ (4)) = Z ₂ × PSL ₂ (7), Клейн	[1 1 1 ⁴ ] ⁴ ,	336	2 ²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W (L ₃ ) = W (P ₃ ) = 3 ^{1 + 2.} SL ₂ (3) Гессен	3 [3] 3 [3] 3,	648	3 ²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W (M ₃ ) = Z ₂ × 3 ^{1 + 2} .SL ₂ (3) Гессен	2 [4] 3 [3] 3,	1296	2 ⁹ 3 ²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W (J ₃ (5)) = Z ₂ × ( Z ₃ .Alt (6)), Валентинер	[1 1 1 ⁵ ] ⁴ , [1 1 1 ⁴ ] ⁵ ,	2160	2 ⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28 год	4	W (F ₄ ) = (SL ₂ (3) * SL ₂ (3)). ( Z ₂ × Z ₂ )	[3,4,3],	1152	2 ^{12 + 12}	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W (N ₄ ) = ( Z ₄ * 2 ^{1 + 4} ) .Sym (5)	[1 1 2] ⁴ ,	7680	2 ⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W (H ₄ ) = (SL ₂ (5) * SL ₂ (5)). Z ₂	[5,3,3],	14400	2 ⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31 год	4	W (EN ₄ ) = W (O ₄ ) = ( Z ₄ * 2 ^{1 + 4} ) .Sp ₄ (2)		46080	2 ⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W (L ₄ ) = Z ₃ × Sp ₄ (3)	3 [3] 3 [3] 3 [3] 3,	155520	3 ⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W (K ₅ ) = Z ₂ × Ω ₅ (3) = Z ₂ × PSp ₄ (3) = Z ₂ × PSU ₄ (2)	[1 2 2] ³ ,	51840	2 ⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W (K ₆ ) = Z ₃ Ом^- ₆(3). Z ₂ , группа Митчелла	[1 2 3] ³ ,	39191040	2 ¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35 год	6	W (E ₆ ) = SO ₅ (3) = O^- ₆(2) = PSp ₄ (3). Z ₂ = PSU ₄ (2). Z ₂	[3 ^2,2,1 ],	51840	2 ³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W (E ₇ ) = Z ₂ × Sp ₆ (2)	[3 ^3,2,1 ],	2903040	2 ⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W (E ₈ ) = Z ₂ .O⁺ ₈(2)	[3 ^4,2,1 ],	696729600	2 ¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Для получения дополнительной информации, в том числе диаграмм, презентаций и кодовых диаграмм сложных групп отражений, см. Таблицы в (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier 1998 ).

Градусы [ править ]

Шепард и Тодд доказали, что конечная группа, действующая в комплексном векторном пространстве, является комплексной группой отражений тогда и только тогда, когда ее кольцо инвариантов является кольцом многочленов ( теорема Шевалле – Шепарда – Тодда ). Поскольку это ранг группы отражений, степени образующих кольца инвариантов называются степенями W и перечислены в столбце выше, озаглавленном «Степени». Они также показали, что многие другие инварианты группы определяются степенями следующим образом: $\ell$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$

Центр неприводимой группы отражений является циклическим, порядка, равного наибольшему общему делителю степеней.
Порядок сложной группы отражений является произведением ее степеней.
Количество отражений - это сумма степеней минус ранг.
Неприводимая комплексная группа отражений получается из реальной группы отражений тогда и только тогда, когда она имеет инвариант степени 2.
Степени d _i удовлетворяют формуле $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$

Codegrees [ править ]

Для того, чтобы быть рангом группы отражений, кодовые деревья W могут быть определены как $\ell$ $d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.$

Для реальной группы отражений кодовые степени - это степени минус 2.
Количество отражающих гиперплоскостей - это сумма кодовых степеней плюс ранг.

Хорошо сгенерированные сложные группы отражения [ править ]

По определению, каждая комплексная группа отражений порождается своими отражениями. Однако набор отражений не является минимальным порождающим множеством, и каждая неприводимая комплексная группа отражений ранга $n$ имеет минимальный порождающий набор, состоящий из $n$ или $n + 1$ отражений. В первом случае группа называется хорошо порожденной .

Свойство быть хорошо сформированным равносильно условию для всех . Так, например, из классификации можно сделать вывод, что группа $G$ $($ $m$ $,$ $p$ $,$ $n$ $)$ хорошо порождена тогда и только тогда, когда p = 1 или m . $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ $1\leq i\leq \ell$

Для неприводимых хорошо сформированных комплексных групп отражений, то число Кокстера $ч$ определен выше составляет наибольшую степень, . Приводимая комплексная группа отражений называется хорошо порожденной, если она является продуктом неприводимых хорошо порожденных комплексных групп отражений. Каждая конечная действительная группа отражений хорошо порождена. $h=d_{\ell }$

Группы шепардов [ править ]

Хорошо сгенерированные сложные группы отражений включают подмножество, называемое группами Шепарда . Эти группы являются группами симметрии правильных комплексных многогранников . В частности, к ним относятся группы симметрии правильных вещественных многогранников. Группы Шепарда можно охарактеризовать как комплексные группы отражений, допускающие "Кокстеровское" представление с линейной диаграммой. То есть с группой Шепарда связаны положительные целые числа $p 1,\dots, p n$ и $q 1,\dots, q n - 1$ такие, что существует порождающий набор $s 1,\dots, s n,$ удовлетворяющий соотношениям

(s_{i})^{p_{i}}=1

для

i = 1,\dots, n

,

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

если ,

|i-j|>1

и

s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots

где продукты на обеих сторонах имеют

q i

членов для

i = 1,\dots, n - 1

.

Эта информация иногда собирается в символе типа Кокстера $p 1 [q 1] p 2 [q 2]\dots [q n - 1] p n$ , как показано в таблице выше.

Среди групп бесконечного семейства $G (m, p, n)$ группы Шепарда - это те, в которых $p = 1$ . Есть также 18 исключительных групп Шепардов, три из которых настоящие. ^[5]^[6]

Матрицы Картана [ править ]

Расширенная матрица Картана определяет унитарную группу. Группы Шепарда группы ранга n имеют n образующих. Обычные матрицы Картана имеют диагональные элементы 2, а унитарные отражения не имеют этого ограничения. ^[7] Например, группа ранга 1 порядка p (с символами p [],) определяется матрицей $1 \times 1$ . $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$

Дано: . $\zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega \ \zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

Ранг 1
Группа		Картан	Группа		Картан
2 []		$\left[{\begin{matrix}2\end{matrix}}\right]$	3 []		$\left[{\begin{matrix}1-\omega \end{matrix}}\right]$
4 []		$\left[{\begin{matrix}1-i\end{matrix}}\right]$	5 []		$\left[{\begin{matrix}1-\zeta _{5}\end{matrix}}\right]$

2 ранг
Группа		Картан	Группа		Картан
G ₄	3 [3] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G ₅	3 [4] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-2\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
G ₆	2 [6] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega +i\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G ₈	4 [3] 4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-i&1\\-i&1-i\end{smallmatrix}}\right]$
G ₉	2 [6] 4	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\(1+{\sqrt {2}})\zeta _{8}&1+i\end{smallmatrix}}\right]$	G ₁₀	3 [4] 4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-i-\omega &1-i\end{smallmatrix}}\right]$
G ₁₄	3 [8] 2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\1-\omega +\omega ^{2}{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₁₆	5 [3] 5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\zeta _{5}&1\\-\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
G ₁₇	2 [6] 5	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\zeta _{5}-i\zeta ^{3}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$	G ₁₈	3 [4] 5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega -\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₀	3 [5] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\\omega (\tau -2)&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₁	2 [10] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega -i\omega ^{2}\tau &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

Ранг 3
Группа		Картан	Группа		Картан
G ₂₂	<5,3,2> ₂	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\tau +i-1&-i+1\\-\tau -i-1&2&i\\i-1&-i&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₃	[5,3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0\\-\tau &2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₄	[1 1 1 ⁴ ] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&-\lambda \\-1&2&-1\\1+\lambda &-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₅	3 [3] 3 [3] 3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}\\0&\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₆	3 [3] 3 [4] 2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &-\omega ^{2}&0\\\omega ^{2}&1-\omega &-1\\0&-1+\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₇	[1 1 1 ⁵ ] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &-\omega \\-\tau &2&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

4 место
Группа			Картан	Группа			Картан
G ₂₈	[3,4,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₉	[1 1 2] ⁴		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0\\-1&2&-i&0\\-i+1&i&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
G ₃₀	[5,3,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0&0\\-\tau &2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₃₂	3 [3] 3 [3] 3		$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}&0\\0&\omega ^{2}&1-\omega &\omega ^{2}\\0&0&-\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

5 место
Группа			Картан	Группа			Картан
G ₃₁	O ₄		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0&-i+1\\-1&2&-i&0&0\\-i+1&i&2&-1&-i+1\\0&0&-1&2&-1\\i+1&0&i+1&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₃₃	[1 2 2] ³		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&-1&0\\0&-1&2&-\omega &0\\0&-1&-\omega ^{2}&2&-\omega ^{2}\\0&0&0&-\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

Ссылки [ править ]

^ Лерер и Тейлор, теорема 1.27.
^ Лерер и Тейлор, стр. 271.
^ Лерер и Тейлор, раздел 2.2.
^ Лерер и Тейлор, пример 2.11.
^ Питер Орлик , Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое изображение для групп Шепарда . Mathematische Annalen . Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]
^ Кокстер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , Cambridge University Press, 1974.
^ Унитарные группы отражения, стр.91-93

Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Rouquier, Raphaël (1995), "О комплексных группах отражений и связанных с ними группах кос", Представления групп (Banff, AB, 1994) (PDF) , CMS Conf. Proc., 16 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–13, MR 1357192
Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Рукье, Рафаэль (1998), "Комплексные группы отражений, группы кос, алгебры Гекке", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 500 : 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515 / crll.1998.064 , ISSN 0075 -4102 , Руководство по ремонту 1637497
Делинь, Пьер (1972), "Les immeubles де Groupes де локоны обобщающий", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273-302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , DOI : 10.1007 / BF01406236 , ISSN 0020-9910 , Руководство по ремонту 0422673
Хиллер, Ховард Геометрия групп Кокстера. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс-Лондон, 1982. iv + 213 стр. ISBN 0-273-08517-4 *
Лерер, Густав I .; Тейлор, Дональд Э. (2009), Унитарные группы отражения , Серия лекций Австралийского математического общества, 20 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3, Руководство по ремонту 2542964
Шепард, GC; Тодд, JA (1954), "Конечные группы унитарным отражения" , Canadian Journal математики , Канадское математическое общество, 6 : 274-304, DOI : 10,4153 / CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914
Кокстер , Конечные группы, порожденные унитарными отражениями , 1966, 4. Графическая запись , таблица n-мерных групп, порожденных n унитарными отражениями. стр. 422–423

Внешние ссылки [ править ]

Страница системы вычислительной алгебры MAGMA

[1] Лерер и Тейлор, теорема 1.27.

[2] Лерер и Тейлор, стр. 271.

[3] Лерер и Тейлор, раздел 2.2.

[4] Лерер и Тейлор, пример 2.11.

[5] Питер Орлик , Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое изображение для групп Шепарда . Mathematische Annalen . Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]

[6] Кокстер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , Cambridge University Press, 1974.

[7] Унитарные группы отражения, стр.91-93

[1]