В математике , парадокс Крамера или парадокс Крамер-Эйлер [1] является утверждение о том , что число точек пересечения двух кривых высшего порядка в плоскости может быть больше , чем число произвольных точек, которые обычно необходимо , чтобы определить один из таких изгиб. Он назван в честь женевского математика Габриэля Крамера .
Этот парадокс является результатом наивного понимания или неправильного применения двух теорем:
- Теорема Безу (количество точек пересечения двух алгебраических кривых равно произведению их степеней при выполнении некоторых необходимых условий).
- Теорема Крамера (кривая степени n определяется n ( n + 3) / 2 точками, опять же в предположении, что выполняются определенные условия).
Обратите внимание, что для всех n ≥ 3, n 2 ≥ n ( n + 3) / 2, поэтому наивно могло бы показаться, что для степени три или выше может быть достаточно точек, общих для каждой из двух кривых, что эти точки должны определять любую из кривые однозначно.
Разрешение парадокса состоит в том, что в некоторых вырожденных случаях n ( n + 3) / 2 точек недостаточно для однозначного определения кривой.
История
Впервые парадокс был опубликован Колином Маклореном . [2] [3] Крамер и Леонард Эйлер переписывались о парадоксе в письмах 1744 и 1745 годов, и Эйлер объяснил проблему Крамеру. [4] Он стал известен как парадокс Крамера после того, как в его книге 1750 года « Введение в анализ algébriques» , хотя Крамер цитировал Маклорена как источник утверждения. [5] Примерно в то же время Эйлер опубликовал примеры, показывающие кубическую кривую, которая не была однозначно определена 9 точками [4] [6], и обсудил проблему в своей книге Introductio in analysin infinitorum . Результат был опубликован Джеймсом Стирлингом и объяснен Юлиусом Плюккером . [1]
Никакого парадокса для прямых и невырожденных коник
Для кривых первого порядка (то есть линий ) парадокса не возникает, потому что n = 1, поэтому n 2 = 1 < n ( n + 3) / 2 = 2. В общем, две различные прямые L 1 и L 2 пересекаются в одной точке. точка P, если линии не имеют одинаковый уклон (наклон), и в этом случае они вообще не пересекаются. Одной точки недостаточно для определения линии (нужны две); через точку P проходят не только две заданные прямые, но и бесконечное количество других прямых.
Точно так же две невырожденные коники пересекаются не более чем в 4 конечных точках на вещественной плоскости, что меньше, чем 3 2 = 9, заданное как максимум теоремой Безу, и 5 точек необходимы для определения невырожденной коники.
Пример Крамера для кубических кривых
В письме Эйлеру Крамер указал, что кубические кривые x 3 - x = 0 и y 3 - y = 0 пересекаются ровно в 9 точках (каждое уравнение представляет собой набор из трех параллельных прямых x = −1, x = 0, x = +1; и y = −1, y = 0, y = +1 соответственно). Следовательно, 9 точек недостаточно для однозначного определения кубической кривой в таких вырожденных случаях, как этот.
разрешение
Двумерное уравнение степени n имеет коэффициенты 1 + n ( n + 3) / 2, но набор точек, описываемых уравнением, сохраняется, если уравнение делится на один из коэффициентов, оставляя один коэффициент равным 1 и только n ( n + 3) / 2 коэффициентов для характеристики кривой. Учитывая n ( n + 3) / 2 точки ( x i , y i ), каждую из этих точек можно использовать для создания отдельного уравнения, подставив его в общее полиномиальное уравнение степени n , давая n ( n + 3) / 2 уравнения, линейные относительно n ( n + 3) / 2 неизвестных коэффициентов. Если эта система невырождена в смысле наличия ненулевого определителя , неизвестные коэффициенты определяются однозначно и, следовательно, полиномиальное уравнение и его кривая определяются однозначно. Но если этот определитель равен нулю, система вырождена и точки могут находиться более чем на одной кривой степени n .
Рекомендации
- ^ a b Вайсштейн, Эрик В. «Парадокс Крамера-Эйлера». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html
- ^ Маклорен, Колин (1720). Geometria Organica . Лондон.
- ^ Твиди, Чарльз (январь 1891 г.). "V. -" Geometria Organica "Колина Маклорена: исторический и критический обзор" . Труды Королевского общества Эдинбурга . 36 (1-2): 87-150 . Проверено 28 сентября 2012 года .
- ^ а б Струик, DJ (1969). Справочник по математике, 1200-1800 . Издательство Гарвардского университета. п. 182. ISBN. 0674823559.
- ^ Твиди, Чарльз (1915). «Исследование жизни и сочинений Колина Маклорена». Математический вестник . 8 (119): 133–151. JSTOR 3604693 .
- ^ Эйлер, Л. "Sur une противоречивость apparente dans la doctrine des lignes courbes". Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 4, 219-233, 1750
Внешние ссылки
- Эд Сандифер "Парадокс Крамера"
- Парадокс Крамера в MathPages