Введение в анализин бесконечный

Число Эйлера e соответствует заштрихованной области, равной 1, введенной в главе VII.

Introductio в анализ бесконечно малых ( латинский для введения к анализу Бесконечное ) является двухтомная работа Леонарда Эйлера , который закладывает основы математического анализа . Написанное на латыни и опубликованное в 1748 году, Introductio содержит 18 глав в первой части и 22 главы во второй. Он имеет номера Eneström E101 и E102. ^{[1] [2]}

Карл Бойер «лекции s на 1950 Международном конгрессе математиков сравнили влияние Эйлера Введения к тому из Евклида » s элементов , называя элементы передового учебником древних времен, и Introductio „передовой учебником современности“. ^[3] Бойер также писал:

Анализ Эйлера приближается к современной ортодоксальной дисциплине, изучению функций с помощью бесконечных процессов, особенно с помощью бесконечных рядов.

Сомнительно, чтобы какая-либо другая по существу дидактическая работа включала в себя такую ​​большую часть оригинального материала, который сохранился в курсах колледжа сегодня ... Может быть сравнительно легко прочитан современным студентом ... Прототип современных учебников.

Первым переводом на английский был перевод Джона Д. Блэнтона, опубликованный в 1988 году. ^[4] Второй перевод , сделанный Яном Брюсом, доступен в Интернете. ^[5] Список изданий Introductio был составлен В. Фредериком Рики . ^[6]

Глава 1 посвящена концепциям переменных и функций . В главе 4 бесконечные серии вводятся через рациональные функции .

По словам Хенка Боса ,

Введение понимается как обзор концепций и методов анализа и аналитической геометрии предварительной к изучению дифференциального и интегрального исчисления. [Эйлер] сделал из этого обзора мастерское упражнение по максимально возможному введению анализа без использования дифференциации или интегрирования. В частности, он ввел элементарные трансцендентные функции, логарифм, экспоненциальную функцию, тригонометрические функции и их обратные, не прибегая к интегральному исчислению, что было нелегким делом, поскольку логарифм традиционно был связан с квадратурами гиперболы и тригонометрическими функции длины дуги окружности. ^[7]

Эйлер совершил этот подвиг, введя возведение в степень a ^x для произвольной константы a в положительных действительных числах . Он отметил, что отображение x таким образом не является алгебраической функцией , а скорее трансцендентной функцией . При a > 1 эти функции монотонно возрастают и образуют биекции вещественной прямой с положительными действительными числами. Тогда каждое основание a соответствует обратной функции, называемой логарифмом к основанию a , в главе 6. В главе 7 Эйлер вводит e как число, гиперболический логарифм которого равен 1. Здесь ссылка наГрегуар де Сент-Винсент , выполнивший квадратуру гиперболы y = 1 / x посредством описания гиперболического логарифма. В разделе 122 логарифм по основанию e обозначается как «натуральный или гиперболический логарифм ... так как квадратура гиперболы может быть выражена через эти логарифмы». Здесь он также приводит экспоненциальный ряд:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

Затем в главе 8 Эйлер готов обратиться к классическим тригонометрическим функциям как к «трансцендентным величинам, возникающим из круга». Он использует единичный круг и представляет формулу Эйлера . В главе 9 рассматриваются трехчленные множители в многочленах . Глава 16 посвящена разделам - теме теории чисел . Непрерывные дроби - тема главы 18.

Ранние упоминания [ править ]

Страница из Introductio in analysin infinitorum , 1748 г.

• JC Scriba (2007) рецензия на репринт 1983 года немецкого издания 1885 года MR 715928

Обзоры перевода Блэнтона 1988 г. [ править ]

• Дору Стефанеску MR 1025504
• Марко Панса (2007) MR 2384380
• Рикардо Кинтеро Зазуэта (1999) MR 1823258
• Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер (1996) Анализ по его истории , глава 1, стр. 1-79 , Тексты для студентов по математике # 70, ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751 

Ссылки [ править ]