Частота среза

Амплитудная передаточная функция полосового фильтра с нижней частотой среза 3 дБ f ₁ и верхней частотой среза 3 дБ f ₂

Боде из фильтра Баттерворта «с частотной характеристикой , с угловой частотой помечены. (Наклон −20 дБ на декаду также равен −6 дБ на октаву .)

В физике и электротехнике , в частоте среза , угловая частота , или частота излома является границей в системы частотной характеристики , при которой энергия течет через систему начинает сокращаться ( ослабляется или отраженный) , а не проездом.

Обычно в электронных системах, таких как фильтры и каналы связи , частота среза применяется к краю в характеристиках lowpass , highpass , bandpass или band-stop - частота, характеризующая границу между полосой пропускания и полосой задерживания . Иногда считается, что это точка в отклике фильтра, где встречаются полоса перехода и полоса пропускания, например, как определено точкой половинной мощности (частота, для которой выходной сигнал схемы равен −3  дБ.номинального значения полосы пропускания). В качестве альтернативы, граничная частота полосы задерживания может быть указана как точка, где встречаются переходная полоса и полоса задерживания: частота, для которой затухание больше, чем требуемое затухание в полосе задерживания, которое, например, может составлять 30 дБ или 100 дБ.

В случае волновода или антенны частоты отсечки соответствуют нижней и верхней длинам волн отсечки .

Электроника [ править ]

В электронике частота среза или граничная частота - это частота, выше или ниже которой выходная мощность схемы , такой как линия , усилитель или электронный фильтр , упала до заданной доли мощности в полосе пропускания . Чаще всего эта пропорция составляет половину мощности полосы пропускания, также называемую точкой 3  дБ, поскольку падение на 3 дБ примерно соответствует половине мощности. По отношению напряжений это падение напряжения в полосе пропускания. ^[1] Другие отношения, кроме точки 3 дБ, также могут иметь значение, например, см. Фильтры Чебышева ниже.${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {1/2}} \ \ приблизительно \ 0.707}$

Пример однополюсной передаточной функции [ править ]

Передаточная функция для простейшего фильтра низких частот ,

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1+ \ alpha s}},}$

имеет один полюс при s = -1 / α . Величина этой функции в плоскости j ω равна

${\ displaystyle \ left | H (j \ omega) \ right | = \ left | {\ frac {1} {1+ \ alpha j \ omega}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {1} {1} + \ alpha ^ {2} \ omega ^ {2}}}}.}$

На отсечке

${\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.}$

Следовательно, частота среза определяется выражением

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.}$

Где s - переменная s-плоскости , ω - угловая частота, а j - мнимая единица .

Чебышевские фильтры [ править ]

Иногда другие соотношения более удобны, чем точка 3 дБ. Например, в случае фильтра Чебышева обычно определяют частоту среза как точку после последнего пика в частотной характеристике, на которой уровень упал до расчетного значения пульсаций полосы пропускания. Величина пульсации в фильтрах этого класса может быть установлена ​​разработчиком на любое желаемое значение, поэтому используемый коэффициент может быть любым. ^[2]

Радиосвязь [ править ]

В радиосвязи , SkyWave связь представляет собой метод , в котором радиоволны передаются под углом в небо и отражаются обратно на Землю слоев заряженных частиц в ионосфере . В этом контексте термин частота отсечки относится к максимальной используемой частоте, означающей частоту, выше которой радиоволна не может отражаться от ионосферы при угле падения, необходимом для передачи между двумя заданными точками путем отражения от слоя.

Волноводы [ править ]

Частота отсечки электромагнитного волновода - это самая низкая частота, на которой в нем будет распространяться мода. В волоконной оптике чаще рассматривают длину волны отсечки , максимальную длину волны, которая будет распространяться в оптическом волокне или волноводе . Частота среза встречаются с характерным уравнением из уравнения Гельмгольца для электромагнитных волн, который является производным от уравнения электромагнитной волны , установив продольное волновое числоравным нулю и решающим для частоты. Таким образом, любая частота возбуждения ниже частоты среза будет ослабляться, а не распространяться. Следующий вывод предполагает стены без потерь. Величина c, скорость света , должна быть принята как групповая скорость света в любом материале, заполняющем волновод.

Для прямоугольного волновода частота отсечки равна

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

где целые числа - это номера мод, а a и b - длины сторон прямоугольника. Для режимов TE (но не разрешено), а для режимов TM .${\displaystyle n,m\geq 0}$${\displaystyle n,m\geq 0}$${\displaystyle n=m=0}$${\displaystyle n,m\geq 1}$

Частота отсечки моды TM ₀₁ (следующая выше доминирующей моды TE ₁₁ ) в волноводе круглого сечения (поперечно-магнитная мода без угловой зависимости и наименьшая радиальная зависимость) определяется выражением

${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}$

где радиус волновода, и является первым корнем , то функция Бесселя первого рода порядка 1.${\displaystyle r}$${\displaystyle \chi _{01}}$${\displaystyle J_{0}(r)}$

Частота среза доминирующей моды TE ₁₁ определяется выражением

${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}}$^[3]

Однако частота отсечки доминирующей моды может быть уменьшена путем введения перегородки внутри волновода круглого поперечного сечения. ^[4] Для одномодового оптического волокна длина волны отсечки - это длина волны, на которой нормализованная частота приблизительно равна 2,405.

Математический анализ [ править ]

Отправной точкой является волновое уравнение (которое выводится из уравнений Максвелла ),

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$

которое становится уравнением Гельмгольца, если рассматривать только функции вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}$

Подстановка и оценка производной по времени дает

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.}$

Функция здесь относится к тому полю (электрическое поле или магнитное поле), которое не имеет векторной составляющей в продольном направлении - «поперечное» поле. Свойством всех собственных мод электромагнитного волновода является то, что по крайней мере одно из двух полей является поперечным. Г ось определяется как вдоль оси волновода.${\displaystyle \psi }$

«Продольную» производную лапласиана можно уменьшить, рассматривая только функции вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}$

где - продольное волновое число , в результате чего${\displaystyle k_{z}}$

${\displaystyle (\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}})\psi (x,y,z)=0,}$

где нижний индекс T обозначает двумерный поперечный лапласиан. Заключительный шаг зависит от геометрии волновода. Проще всего решить геометрию прямоугольного волновода. В этом случае остаток лапласиана можно вычислить до его характеристического уравнения, рассматривая решения вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}$

Таким образом, для прямоугольной направляющей вычисляется лапласиан, и мы приходим к

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}$

Поперечные волновые числа могут быть заданы из граничных условий стоячей волны для поперечного сечения прямоугольной геометрии с размерами a и b :

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}$

${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}$

где n и m - два целых числа, представляющих конкретную собственную моду. Совершая финальную замену, получаем

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},}$

что является дисперсионным соотношением в прямоугольном волноводе. Частота отсечки - это критическая частота между распространением и затуханием, которая соответствует частоте, на которой продольное волновое число равно нулю. Это дается${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle k_{z}}$

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}$

Волновые уравнения справедливы и ниже частоты отсечки, где продольное волновое число является мнимым. В этом случае поле экспоненциально затухает вдоль оси волновода и, таким образом, волна исчезает .

См. Также [ править ]

• Полная ширина на половине максимальной
• Фильтр высоких частот
• Эффект Миллера
• Частота пространственной отсечки (в оптических системах)
• Постоянная времени

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Расчет центральной частоты с помощью среднего геометрического и сравнение с решением среднего арифметического
• Преобразование частоты среза f c и постоянной времени τ
• Математическое определение и информация о функциях Бесселя