В математике формула Лежандра дает выражение для показателя степени наибольшей степени простого числа p, которое делит факториал n !. Он назван в честь Адриана-Мари Лежандра . Его также иногда называют формулой де Полиньяка в честь Альфонса де Полиньяка .
Заявление
Для любого простого числа p и любого натурального числа n пусть- показатель наибольшей степени числа p, которая делит n (то есть p -адическая оценка числа n ). потом
где это функция пола . Хотя формула справа представляет собой бесконечную сумму, для любых конкретных значений n и p она имеет только конечное число ненулевых членов: для каждого достаточно большого i , чтобы, надо .
Пример
При n = 6 имеем. Показатели а также можно вычислить по формуле Лежандра следующим образом:
Доказательство
С является произведением целых чисел от 1 до n , мы получаем по крайней мере один множитель p вдля каждого кратного p в, из которых есть . Каждое кратноевносит дополнительный коэффициент p , каждый кратныйвносит еще один множитель p и т. д. Суммирование числа этих множителей дает бесконечную сумму для.
Альтернативная форма
Можно также переформулировать формулу Лежандра в терминах разложения n по основанию p . Позволятьобозначают сумму цифр в разложении по основанию p числа n ; тогда
Например, записав n = 6 в двоичном формате как 6 10 = 110 2 , мы имеем и другие
Точно так же, записывая 6 в троичном формате как 6 10 = 20 3 , мы получаем, что и другие
Доказательство
Писать в основании п . потом, и поэтому
Приложения
Формулу Лежандра можно использовать для доказательства теоремы Куммера . Как частный случай, его можно использовать для доказательства того, что если n - целое положительное число, то 4 делиттогда и только тогда, когда n не является степенью двойки.
Из формулы Лежандра следует, что p -адическая экспоненциальная функция имеет радиус сходимости.
Рекомендации
- Лежандр, AM (1830), Теория Номбр , Париж: Фирмин Дидо Фререс
- Молл, Виктор Х. (2012), Числа и функции , Американское математическое общество , ISBN 978-0821887950, Руководство по ремонту 2963308, стр.77
- Леонард Юджин Диксон , История теории чисел , том 1, Вашингтонский институт Карнеги, 1919, стр. 263.