Модель Дике

Модель Дике - это фундаментальная модель квантовой оптики , которая описывает взаимодействие между светом и веществом . В модели Дикке световая составляющая описывается как одиночная квантовая мода, а материя - как набор двухуровневых систем . Когда связь между светом и материей пересекает критическое значение, модель показывает среднего Дике поля фазового переход к сверхизлучательной фазе . Этот переход относится к классу универсальности Изинга и экспериментально реализован в квантовой электродинамике резонатора.эксперименты. Хотя сверхизлучательный переход имеет некоторую аналогию с неустойчивостью генерации , эти два перехода относятся к разным классам универсальности.

Описание [ править ]

Модель Дике - это квантово-механическая модель, которая описывает связь между одномодовым резонатором и двухуровневыми системами , или, что эквивалентно, спин-1/2 степеней свободы. Модель была впервые представлена ​​в 1973 году К. Хеппом и Э. Х. Либом . ^[1] Их исследование было вдохновлено новаторской работой Р. Х. Дике о сверхизлучательном излучении света в свободном пространстве ^[2] и названо в его честь.${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle N}$

Как и любая другая модель в квантовой механике, модель Дика включает в себя набор квантовых состояний ( гильбертово пространство ) и общая энергия оператора (The Гамильтон ). Гильбертово пространство модели Дике дается формулой (тензорное произведение) состояний полости и систем двухуровневых. Гильбертово пространство резонатора может быть охвачено фоковскими состояниями с фотонами , обозначенными как . Эти состояния могут быть построены из вакуумного состояния , используя канонические операторы лестницы , и , что складывать и вычитать фотон из полости соответственно. Состояния каждой двухуровневой системы называются включенными.${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle | п \ rangle}$${\ Displaystyle | п = 0 \ rangle}$${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle a}$и вниз и определяются через операторы спина , удовлетворяющие алгебре спинов . Здесь есть постоянная Планка и указывает на конкретную двухуровневую систему. ^[3]${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {j} = (\ sigma _ {j} ^ {x}, ~ \ sigma _ {j} ^ {y}, ~ \ sigma _ {j} ^ {z })}$ ${\ displaystyle [\ sigma _ {j} ^ {x}, ~ \ sigma _ {k} ^ {y}] = я \ hbar \ sigma _ {j} ^ {z} \ delta _ {j, k}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle J = (0,1,2, ..., N)}$

Гамильтониан модели Дике является

$${\ displaystyle H = \ hbar \ omega _ {c} a ^ {\ dagger} a + \ omega _ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j} ^ {z} + { \ frac {2 \ lambda} {\ sqrt {N}}} (a + a ^ {\ dagger}) \ sum _ {j} \ sigma _ {j} ^ {x} \ ;.}$$

( 1 )

Здесь первое слагаемое описывает энергию полости и равно произведению энергии одного фотона полости (где есть частота резонатора), раз число фотонов в полости, . Второй член описывает энергию двухуровневых систем, где - разность энергий между состояниями каждой двухуровневой системы. Последний член описывает связь между двухуровневыми системами и резонатором и предполагается, что он пропорционален константе , умноженной на величину, обратную квадратному корню из числа двухуровневых систем. Это предположение позволяет получить фазовый переход в пределе (см. Ниже ). Муфту можно записать как сумму двух членов: вращающийся в одном направлении${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {c}}$${\ displaystyle \ omega _ {c}}$${\ displaystyle n_ {c} = a ^ {\ dagger} a}$${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {z}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$член, который сохраняет число возбуждений и пропорционален, а член, вращающийся в противоположных направлениях, пропорционален , где - операторы спиновой лестницы.${\displaystyle a\sigma ^{+}+a^{\dagger }\sigma ^{-}}$${\displaystyle a\sigma ^{-}+a^{\dagger }\sigma ^{+}}$${\displaystyle \sigma ^{\pm }=\sigma ^{x}\pm i\sigma ^{y}}$

Гамильтониан в уравнении. 1 предполагает, что все спины идентичны (т. Е. Имеют одинаковую разность энергий и одинаково связаны с резонатором). В соответствии с этим предположением, можно определить макроскопические спиновые операторы , с , которые удовлетворяют спиновой алгебре , . Используя эти операторы, можно переписать гамильтониан в (5). 1 как${\displaystyle S^{\alpha }=\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha =x,y,z}$${\displaystyle [S^{x},S^{y}]=i\hbar S^{z}}$

$${\displaystyle H=\hbar \omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{z}S^{z}+{\frac {2\lambda }{\sqrt {N}}}(a+a^{\dagger })S^{x}.}$$

( 2 )

Это обозначение упрощает численное исследование модели, поскольку оно включает в себя один спин-S с размером гильбертова пространства , а не спином 1/2, чье гильбертово пространство имеет размер .${\displaystyle S\leq N/2}$${\displaystyle 2S+1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2^{N}}$

Модель Дике имеет одну глобальную симметрию ,

$${\displaystyle {\mathcal {P}}:(a,\sigma ^{\pm })\to (-a,-\sigma ^{\pm })\;.}$$

( 3 )

Поскольку квадраты равны единице (т. Е. Если применить дважды, он возвращает каждое состояние в исходное состояние), он имеет два собственных значения, и . Эта симметрия связана с сохраняющейся величиной : четностью полного числа возбуждений , где${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle P=(-1)^{N_{ex}}}$

$${\displaystyle N_{ex}=a^{\dagger }a+\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\;.}$$

( 4 )

Это сохранение четности можно увидеть из того факта, что каждый член в гамильтониане сохраняет число возбуждения, за исключением членов, вращающихся в противоположных направлениях, которые могут изменить число возбуждения только на . Состояние модели Дике называется нормальным, когда эта симметрия сохраняется, и сверхизлучательным, когда эта симметрия спонтанно нарушается.${\displaystyle \pm 2}$

Связанные модели [ править ]

Модель Дике тесно связана с другими моделями квантовой оптики. В частности, модель Дике с единой двухуровневой системой называется моделью Раби. В отсутствие членов, вращающихся в противоположных направлениях, модель называется Джейнса-Каммингса для и Тэвиса-Каммингса для . Эти две модели сохраняют количество возбуждений и характеризуются симметрией. Самопроизвольное нарушение этой симметрии приводит к возникновению состояния генерации (см. Ниже ).${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N>1}$${\displaystyle N_{ex}}$${\displaystyle U(1)}$

Связь между моделью Дике и другими моделями резюмируется в таблице ниже ^[4]

Название модели	Условия встречного вращения?	симметрия	Количество двухуровневых систем
Джейнс-Каммингс	нет	${\displaystyle U(1)}$	${\displaystyle N=1}$
Тэвис-Каммингс	нет	${\displaystyle U(1)}$	${\displaystyle N>1}$
Модель Раби	да	${\displaystyle {\mathcal {P}}}$	${\displaystyle N=1}$
Дике	да	${\displaystyle {\mathcal {P}}}$	${\displaystyle N>1}$

Сверхизлучательный фазовый переход [ править ]

Ранние исследования модели Дике рассматривали ее равновесные свойства. ^[1] Эти работы считаются пределом (также известный как термодинамический предел ) и принял тепловую функцию секционирования , , где является постоянной Больцмана и является температурой . Было обнаружено, что при переходе связи через критическое значение в модели Дике происходит фазовый переход второго рода , известный как сверхизлучательный фазовый переход . В их первоначальном выводе Хепп и Либ ^[1]${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle Z=\exp(-H/k_{B}T)}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda _{c}}$пренебрегали эффектами встречного вращения членов и, таким образом, фактически рассматривали модель Тэвиса-Каммингса (см. выше). Дальнейшие исследования полной модели Дике показали, что фазовый переход все еще происходит при наличии противовращающихся членов, хотя и при другом критическом взаимодействии. ^[5]

Сверхизлучательный переход спонтанно нарушает симметрию четности , определенную в формуле. 3 . Параметр порядка этого фазового перехода равен . В термодинамическом пределе эта величина стремится к нулю, если система нормальная, или к одному из двух возможных значений, если система сверхизлучательная. Эти два значения соответствуют физическим состояниям поля резонатора с противоположными фазами (см. Уравнение 3 и, соответственно, состояниям спина с противоположными компонентами). Вблизи сверхизлучательного фазового перехода параметр порядка зависит от as . Эта зависимость соответствует критическому показателю среднего поля .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}\sim (\lambda _{c}-\lambda )^{-1/2}}$ ${\displaystyle \beta =1/2}$

Среднее описание перехода [ править ]

Самый простой способ описать сверхизлучательный переход - использовать приближение среднего поля , в котором операторы поля резонатора заменяются их математическими ожиданиями. В этом приближении, которое является точным в термодинамическом пределе, гамильтониан Дикке уравнения 1 становится суммой независимых членов, каждый из которых действует на другую двухуровневую систему, которую можно диагонализировать независимо. При тепловом равновесии (см. Выше), свободная энергия на двухуровневую систему равна ^[6]

$${\displaystyle F\left({\frac {\langle a\rangle }{\sqrt {N}}}=\alpha \right)=\omega _{c}\alpha ^{2}-k_{B}T\ln \left(2\cosh \left({\frac {\sqrt {\omega _{z}^{2}+16\lambda ^{2}\alpha ^{2}}}{2k_{B}T}}\right)\right).}$$

( 5 )

Критическую связь перехода можно найти с помощью условия , приводящего к${\displaystyle dF/d\alpha (\alpha =0)=0}$

$${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}\coth \left({\frac {\hbar \omega _{z}}{2k_{B}T}}\right)}}.}$$

( 6 )

Для , имеет один минимум, в то время как для , она имеет два минимума. В пределе получит выражение для критической связи сверхизлучающих фазового перехода нулевой температуры, .${\displaystyle \lambda <\lambda _{c}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}$${\displaystyle T\to 0}$${\displaystyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}$

Полуклассический предел и хаос [ править ]

Полуклассический предел [ править ]

Фазовое пространство для модели Дика в симметричном атомном подпространстве с может быть построены путем рассмотрения тензорного произведения из когерентных состояний Глаубера${\displaystyle S=N/2}$

$${\displaystyle \left\vert q,p\right\rangle =D(q,p)\left\vert 0\right\rangle ,}$$

( 7 )

где это оператор сдвига и является фотон вакуумного состояния Фока , и SU (2) когерентные состояния${\textstyle D(q,p)=e^{-{\frac {S}{4}}\left(q^{2}+p^{2}\right)}\exp \left({\sqrt {\frac {S}{2}}}\left(q+ip\right)a^{\dagger }\right)}$${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$

$${\displaystyle \left\vert Q,P\right\rangle =R(Q,P)\left\vert S,-S\right\rangle ,}$$

( 8 )

где - оператор вращения в сфере Блоха , а - состояние, в котором все атомы находятся в основном состоянии. Это дает четырехмерное фазовое пространство с каноническими координатами и .${\textstyle R(Q,P)=\left(1-{\frac {Q^{2}+P^{2}}{4}}\right)^{S}\exp \left({\sqrt {\frac {1}{4-Q^{2}-P^{2}}}}\left(Q+iP\right){\frac {S^{+}}{\hbar }}\right)}$${\textstyle Q^{2}+P^{2}\leq 4,}$${\displaystyle \left\vert {S,-S}\right\rangle }$ ${\textstyle (q,p)}$${\displaystyle (Q,P)}$

Классический гамильтониан получается, беря математическое ожидание гамильтониана Дике, заданного формулой. 2 в этих состояниях, ^{[7] [8]}

$${\displaystyle H_{\text{cl}}(q,p,Q,P)={\frac {\hbar S\omega _{c}}{2}}\left(q^{2}+p^{2}\right)+{\frac {\hbar S\omega _{z}}{2}}\left(Q^{2}+P^{2}\right)+2\hbar S\lambda \,Qq{\sqrt {1-{\frac {Q^{2}+P^{2}}{4}}}}-\hbar S\omega _{z}.}$$

( 9 )

Процент классических траекторий с положительным показателем Ляпунова  в зависимости от энергии, приходящейся на одну частицу, и параметра связи (деленного на критическую связь ). Параметры есть .${\textstyle E/S}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}$${\displaystyle \omega _{c}=\omega _{z}=1}$

В пределе квантовая динамика, задаваемая квантовым гамильтонианом уравнения ( 2 и классическая динамика, заданная формулой. 9 совпадают. Для системы конечного размера существует классическое и квантовое соответствие, которое нарушается во время Эренфеста , которое обратно пропорционально . ${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle N}$

Квантовый хаос [ править ]

Модель Дике представляет собой идеальную систему для изучения квантово-классического соответствия и квантового хаоса . ^[9]

Классическая система, заданная формулой. 9 является хаотичным или регулярным в зависимости от значений параметров , и и энергия . ^{[8] [10]} Обратите внимание, что хаос может быть как в нормальном, так и в сверхизлучательном режимах. ${\textstyle \lambda }$${\textstyle \omega _{c}}$${\textstyle \omega _{z}}$${\textstyle E}$

Недавно было обнаружено, что экспоненциальная скорость роста вневременного коррелятора совпадает с классическими показателями Ляпунова ^{[11] [12]} в хаотическом режиме и в неустойчивых точках регулярного режима. Кроме того, эволюция вероятности выживания (т.е. точность состояния с самим собой в более позднее время) первичных когерентных состояний высоко делокализованных в энергетическом базисе хорошо описывается случайной матричной теории , ^{[13] [14]} в то время как начальное когерентные состояния, на которые сильно влияет присутствие квантовых рубцов,  демонстрируют поведение, нарушающее эргодичность . ^{[15] [16]}

Открытая модель Дике [ править ]

Модель Дике уравнения. 1 предполагается, что режим резонатора и двухуровневые системы идеально изолированы от внешней среды. В реальных экспериментах это предположение неверно: связь со свободными модами света может вызвать потерю фотонов резонатора и распад двухуровневых систем (то есть каналов диссипации). Следует отметить, что в этих экспериментах используются управляющие поля (например, лазерные поля ) для реализации связи между модой резонатора и двухуровневыми системами. Различные каналы рассеивания можно описать путем добавления связи к дополнительным степеням свободы окружающей среды. Усредняя по динамике этих внешних степеней свободы, получаем уравнения движения, описывающие открытую квантовую систему. Согласно общему приближению Борна-Маркова, можно описать динамику системы с помощью квантового задающего уравнения в форме Линдблада ^[17]

$${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha }\left(L_{\alpha }\rho L_{\alpha }^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{\alpha }^{\dagger }L_{\alpha },\rho \right\}\right).}$$

( 10 )

Здесь - матрица плотности системы, - оператор Линдблада канала распада и соответствующая скорость распада. Когда гамильтониан задается формулой. 1 модель называется открытой моделью Дике.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$${\displaystyle H}$

Некоторые общие процессы распада, имеющие отношение к экспериментам, приведены в следующей таблице:

-	Кариес	Атомный распад	Атомная дефазировка	Коллективный распад
Линдбладиан	${\displaystyle L=a}$	${\displaystyle L=\sigma _{i}^{-}}$	${\displaystyle L=\sigma _{i}^{z}}$	${\displaystyle L=\sum _{i}\sigma _{i}^{-}}$
Скорость распада	${\displaystyle \kappa }$	${\displaystyle \gamma _{\downarrow }}$	${\displaystyle \gamma _{\phi }}$	${\displaystyle \Gamma _{\downarrow }}$

При теоретическом описании модели часто рассматривается установившееся состояние, когда . В пределе стационарного состояния открытой модели Дике наблюдается непрерывный фазовый переход, часто называемый неравновесным сверхизлучательным переходом . Критические показатели этого перехода такие же, как у равновесного сверхизлучательного перехода при конечной температуре (и отличаются от сверхизлучательного перехода при нулевой температуре).${\displaystyle d\rho /dt=0}$${\displaystyle N\to \infty }$

Сверхизлучательный переход и сверхизлучение Дике [ править ]

Сверхизлучательный переход открытой модели Дике связан со сверхизлучением Дике , но отличается от него .

Сверхизлучение Дике - это коллективное явление, при котором многие двухуровневые системы когерентно излучают фотоны в свободном пространстве. ^{[2] [18]} Это происходит, если двухуровневые системы изначально подготовлены в их возбужденном состоянии и размещены на расстоянии, намного меньшем, чем соответствующая длина волны фотона. В этих условиях спонтанный распад двухуровневых систем становится намного быстрее: двухуровневые системы излучают короткий световой импульс большой амплитуды. В идеальных условиях длительность импульса обратно пропорциональна количеству двухуровневых систем , а максимальная интенсивность излучаемого света масштабируется как . В этом отличие от спонтанного излучения независимых двухуровневых систем, время распада которых не зависит от${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$и где интенсивность импульса масштабируется как .${\displaystyle N}$

Как объяснялось выше, открытая модель Дике скорее моделирует двухуровневые системы, связанные с квантованным резонатором и приводимые в действие внешним насосом. В нормальной фазе интенсивность поля полости не масштабируется с числом атомов , в то время как в сверхизлучательной фазе интенсивность поля полости пропорциональна .${\displaystyle N}$${\displaystyle \langle a^{\dagger }a\rangle \sim N}$

Законы масштабирования сверхизлучения Дике и сверхизлучательного перехода модели Дикке суммированы в следующей таблице:

	Сверхизлучение Дике [2]	Сверхизлучательный переход модели Дике [1]
Среда	Свободное место	Полость
Продолжительность	Переходный	Устойчивое состояние
Интенсивность поля (нормальная)	${\displaystyle N}$	${\displaystyle 1}$
Напряженность поля (сверхизлучение)	${\displaystyle N^{2}}$	${\displaystyle N}$

Экспериментальные реализации [ править ]

Простейшая реализация модели Дике включает дипольную связь между двухуровневыми атомами в резонаторе. В этой системе наблюдению сверхизлучательного перехода препятствуют две возможные проблемы: (1) голая связь между атомами и полостями обычно слабая и недостаточна для достижения критического значения , см. Уравнение. 6 . ^[19] (2) Точное моделирование физической системы требует учета условий, которые согласно запретной теореме могут предотвратить переход. Оба ограничения можно обойти, применив к атомам внешние насосы и создав эффективную модель Дике в правильно вращающейся системе отсчета . ^{[20] [21]}${\displaystyle \lambda _{c}}$${\displaystyle A^{2}}$

В 2010 г. сверхизлучательный переход открытой модели Дике наблюдался экспериментально с использованием нейтральных атомов рубидия, захваченных в оптическом резонаторе. ^[22] В этих экспериментах связь между атомами и полостью не достигается за счет прямой дипольной связи между двумя системами. Вместо этого атомы освещаются внешним насосом, который запускает вынужденный рамановский переход . Этот двухфотонный процесс заставляет двухуровневую систему изменять свое состояние с нижнего на верхнее или наоборот., и испускать или поглощать фотон в резонатор. Эксперименты показали, что количество фотонов в резонаторе резко увеличивается, когда интенсивность накачки превышает критический порог. Этот порог был связан с критическим сцеплением модели Дике.

В экспериментах использовались два разных набора физических состояний как нижнее и верхнее состояния. В некоторых экспериментах ^{[23] [22] [24]} два состояния соответствуют атомам с разными скоростями или импульсами: нижнее состояние имело нулевой импульс и принадлежало конденсату Бозе-Эйнштейна , а верхнее состояние имело импульс, равный сумма импульса фотона резонатора и импульса фотона накачки. ^[25] Напротив, в более поздних экспериментах ^{[26] [27]} использовались два разных сверхтонких уровняатомов рубидия в магнитном поле. Последняя реализация позволила исследователям изучить обобщенную модель Дике (см. Ниже ). В обоих экспериментах система зависит от времени, и (обобщенный) гамильтониан Дике реализуется в системе отсчета, которая вращается с частотой накачки.

Обобщенная модель и генерация [ править ]

Модель Дике может быть обобщена, если учесть влияние дополнительных членов в гамильтониане уравнения (1). 1 . ^[6] Например, в недавнем эксперименте ^{[27] была} реализована открытая модель Дике с независимо настраиваемыми вращающимися и противовращающимися членами. Помимо сверхизлучательного перехода, эта обобщенная модель Дике может испытывать неустойчивость генерации , которая получила название инвертированной генерации или встречной генерации . ^[6] Этот переход вызван встречно вращающимися членами модели Дике и наиболее заметен, когда эти члены больше вращающихся.

Неравновесный сверхизлучательный переход и неустойчивость генерации имеют ряд общих черт и различий. Оба перехода относятся к типу среднего поля и могут быть поняты в терминах динамики одной степени свободы. Сверхизлучательный переход соответствует сверхкритической бифуркации вил , а неустойчивость генерации - неустойчивости Хопфа . Ключевое различие между этими двумя типами бифуркаций состоит в том, что первый приводит к двум устойчивым решениям, а второй - к периодическим решениям ( предельным циклам ). Соответственно, в фазе сверхизлучения поле резонатора статично (в рамках поля накачки), а в фазе генерации оно периодически осциллирует. ^[6]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья была адаптирована из следующего источника по лицензии CC BY 4.0 ( 2020 ) ( отчеты рецензентов ): Mor M Roses; Эмануэле Г. Далла Торре (4 сентября 2020 г.). «Модель Дике». PLOS ONE . 15 (9): e0235197. DOI : 10.1371 / JOURNAL.PONE.0235197 . ISSN  1932-6203 . PMID  32886669 . Викиданные  Q98950147 .