Законы диффузии Фика

Молекулярная диффузия с микроскопической и макроскопической точки зрения. Изначально молекулы растворенных веществ находятся на левой стороне барьера (фиолетовая линия), а на правой - нет. Барьер удаляется, и растворенное вещество диффундирует, заполняя весь контейнер. Вверху : одна молекула движется случайным образом. В центре : при увеличении количества молекул наблюдается четкая тенденция, когда растворенное вещество заполняет контейнер все более и более равномерно. Внизу : с огромным количеством молекул растворенного вещества случайность становится необнаружимой: растворенное вещество, кажется, плавно и систематически перемещается из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией. Этот плавный поток описывается законами Фика.

Законы диффузии Фика описывает диффузию и были получены путем Адольфа Фика в 1855. ^[1] Они могут быть использованы для решения для коэффициента диффузии , $D$ . Первый закон Фика можно использовать для вывода его второго закона, который, в свою очередь, идентичен уравнению диффузии .

Процесс диффузии, подчиняющийся законам Фика, называется нормальной диффузией или диффузией Фика; в противном случае это называется аномальной диффузией или нефиковской диффузией.

История [ править ]

В 1855 году физиолог Адольф Фик впервые сообщил ^{[1] о} своих теперь хорошо известных законах, управляющих переносом массы посредством диффузии. Работа Фика была вдохновлена более ранними экспериментами Томаса Грэхема , в которых не были предложены фундаментальные законы, благодаря которым Фик стал известен. Закон Фика аналогичен отношениям, обнаруженным в ту же эпоху другими выдающимися учеными: закону Дарси (гидравлический поток), закону Ома (перенос заряда) и закону Фурье (перенос тепла).

Эксперименты Фика (по образцу Грэма) касались измерения концентраций и потоков соли, диффундирующей между двумя резервуарами через водяные трубки. Примечательно, что работа Фика в первую очередь касалась диффузии в жидкостях, потому что в то время диффузия в твердых телах не считалась вообще возможной. ^[2] Сегодня законы Фика составляют основу нашего понимания диффузии в твердых телах, жидкостях и газах (в двух последних случаях при отсутствии движения жидкости в объеме). Когда процесс диффузии не следует законам Фика (что происходит, среди прочего, в случаях диффузии через пористую среду и диффузии набухающих пенетрантов) ^[3]^[4], это называется нефики .

Первый закон Фика [ править ]

Первый закон Фика связывает диффузный поток с градиентом концентрации. Он постулирует, что поток идет из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией, с величиной, которая пропорциональна градиенту концентрации (пространственная производная), или, упрощенно говоря, концепция, что растворенное вещество будет перемещаться из области высокой концентрации в область низкой концентрации через градиент концентрации. В одном (пространственном) измерении закон может быть записан в различных формах, где наиболее распространенная форма (см. ^[5]^[6] ) находится в молярной основе:

{\ displaystyle J = -D {\ frac {d \ varphi} {dx}}}

где

$J$ - диффузионный поток , размерность которого - количество вещества на единицу площади в единицу времени . $J$ измеряет количество вещества, которое будет протекать через единицу площади за единичный интервал времени.
$D$ - коэффициент диффузии или коэффициент диффузии . Его размерность - это площадь в единицу времени.
$φ$ (для идеальных смесей) - это концентрация, размерность которой - количество вещества в единице объема.
$x$ - позиция, размерность которой равна длине.

$D$ пропорционален квадрату скорости диффундирующих частиц, который зависит от температуры, вязкости жидкости и размера частиц в соответствии с соотношением Стокса – Эйнштейна . В разбавленных водных растворах коэффициенты диффузии большинства ионов близки и имеют значения, которые при комнатной температуре находятся в диапазоне(0.6-2) × 10 ^-9 м ² / с . Для биологических молекул коэффициенты диффузии обычно находятся в диапазоне от 10 ^-11 до 10 ^-10 м ² / с.

В двух или более измерениях мы должны использовать $\nabla$ , оператор del или градиента , который обобщает первую производную, получая

{\ displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla \ varphi}

где $J$ обозначает вектор диффузионного потока.

Движущей силой одномерной диффузии является величина $- \partial φ / \partial x$ , который для идеальных смесей является градиентом концентрации.

Альтернативные формулировки первого закона [ править ]

Другая форма первого закона - записать его с первичной переменной как массовая доля ( $y i$ , например, в кг / кг), тогда уравнение изменится на:

{\ displaystyle \ mathbf {J_ {i}} = - {\ frac {\ rho D} {M_ {i}}} \ nabla y_ {i}}

где

индекс $i$ обозначает $i-$ й вид,
$J i$ - вектор диффузионного потока $i-$ гокомпонента(например, в моль / м² -с),
$М я$ это молярная масса из $я$ - го вида, и
$ρ$ - плотность смеси (например, в кг / м ³ ).

Обратите внимание, что это находится за пределами оператора градиента . Это потому что: $\rho$

y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }}

где $ρ si$ - парциальная плотность $i-$ го вида.

Помимо этого, в химических системах, отличных от идеальных растворов или смесей, движущей силой диффузии каждого вида является градиент химического потенциала этого вещества . Тогда первый закон Фика (одномерный случай) можно записать

J_{i}=-{\frac {Dc_{i}}{RT}}{\frac {\partial \mu _{i}}{\partial x}}

где

индекс $i$ обозначает $i-$ й вид.
$c$ - концентрация (моль / м ³ ).
$R$ - универсальная газовая постоянная (Дж / К / моль).
$Т$ - абсолютная температура (К).
$µ$ - химический потенциал (Дж / моль).

Движущая сила закона Фика может быть выражена как разница в летучести:

J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}}

Fugacity имеет единицы Па. - парциальное давление компонента i в паровой или жидкой фазе. При парожидкостном равновесии поток испарения равен нулю, потому что . $f_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}^{G}$ $f_{i}^{L}$ $f_{i}^{G}=f_{i}^{L}$

Вывод первого закона Фика для газов [ править ]

Ниже приведены четыре варианта закона Фика для бинарных газовых смесей. Они предполагают: термодиффузия незначительна; сила тела на единицу массы одинакова для обоих видов; и либо давление постоянно, либо оба вещества имеют одинаковую молярную массу. В этих условиях Ref. ^{В [7]} подробно показано, как уравнение диффузии из кинетической теории газов сводится к этой версии закона Фика:

$\mathbf {V_{i}} =-D\nabla \ln y_{i}$ ,

где $V i$ - скорость диффузии компонента $i$ . С точки зрения видового потока это

$\mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}$ .

Если, кроме того, это сводится к наиболее распространенной форме закона Фика, $\nabla \rho =0$

$\mathbf {J_{i}} =-D\nabla \varphi$ .

Если (вместо или в дополнение к ) оба вида имеют одинаковую молярную массу, закон Фика принимает следующий вид: $\nabla \rho =0$

$\mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla x_{i}$ ,

где - мольная доля вида $i$ . $x_{i}$

Второй закон Фика [ править ]

Второй закон Фика предсказывает, как диффузия вызывает изменение концентрации во времени. Это уравнение в частных производных, которое в одном измерении гласит:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}

где

$\varphi$ - концентрация в размерах [(количество вещества) длина ⁻³ ], например моль / м ³ ; $=$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ - функция, которая зависит от местоположения $x$ и времени $t$ $\varphi$
$t$ время, пример s
$D$ - коэффициент диффузии в размере [длина ² раз ^-1 ], например, м ² / с.
$x$ - позиция [длина], пример m

В двух или более измерениях мы должны использовать лапласиан $Δ = 2$ , который обобщает вторую производную, получая уравнение

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\Delta \varphi

Второй закон Фика имеет ту же математическую форму, что и уравнение тепла, и его фундаментальное решение такое же, как и ядро тепла , за исключением переключения теплопроводности с коэффициентом диффузии : $k$ $D$

$\varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right).$

Вывод второго закона Фика [ править ]

Второй закон Фика может быть выведен из первого закона Фика и сохранения массы в отсутствие каких-либо химических реакций:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}J=0\Rightarrow {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)\,=0

Считая коэффициент диффузии $D$ постоянным, можно поменять порядок дифференцирования и умножить на константу:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)=D{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}

и, таким образом, получают форму уравнений Фика, как было указано выше.

Для случая диффузии в двух или более измерениях второй закон Фика принимает вид

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\varphi ,

которое аналогично уравнению теплопроводности .

Если коэффициент диффузии не является постоянным, а зависит от координаты или концентрации, второй закон Фика дает

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla \varphi ).

Важным примером является случай, когда $φ$ находится в установившемся состоянии, то есть концентрация не изменяется со временем, так что левая часть приведенного выше уравнения тождественно равна нулю. В одном измерении с постоянным $D$ решением для концентрации будет линейное изменение концентраций по $x$ . В двух или более измерениях мы получаем

\nabla ^{2}\varphi =0

которое является уравнением Лапласа , решения которого математики называют гармоническими функциями .

Примеры решений и обобщения [ править ]

Второй закон Фика - это частный случай уравнения конвекции-диффузии, в котором нет адвективного потока и нет чистого объемного источника. Его можно вывести из уравнения неразрывности :

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,

где $j$ - полный поток, а $R$ - чистый объемный источник для $φ$ . Предполагается, что единственным источником потока в этой ситуации является диффузионный поток :

\mathbf {j} _{\text{diffusion}}=-D\nabla \varphi

Подставляя определение диффузионного потока к уравнению неразрывности и предполагая, что источника нет ( $R = 0$ ), мы приходим ко второму закону Фика:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}

Если бы поток был результатом как диффузионного, так и адвективного потоков , то результатом было бы уравнение конвекции-диффузии .

Пример решения 1: источник постоянной концентрации и длина диффузии [ править ]

Простым случаем диффузии со временем $t$ в одном измерении (взятом как ось $x$ ) от границы, расположенной в позиции $x = 0$ , где концентрация поддерживается на значении $n 0,$ является

n\left(x,t\right)=n_{0}\mathrm {erfc} \left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right)

.

где $erfc$ - дополнительная функция ошибок . Это тот случай, когда коррозионные газы диффундируют через окислительный слой к поверхности металла (если предположить, что концентрация газов в окружающей среде постоянна, а диффузионное пространство, то есть слой продуктов коррозии, является полубесконечным , начиная с 0 на поверхности и бесконечно глубоко растекаясь в материале). Если, в свою очередь, диффузионное пространство бесконечно (продолжающееся как через слой с $n (x, 0) = 0$ , $x > 0, так$ и через слой с $n (x, 0) = n 0$ , $x \leq 0$ ), то в решение вносятся поправки только с коэффициентом 1/2перед $n 0$ (поскольку теперь диффузия происходит в обоих направлениях). Этот случай справедлив, когда некоторый раствор с концентрацией $n 0$ контактирует со слоем чистого растворителя. (Bokstein, 2005) Длина $2 \sqrt Dt$ называется диффузионной длиной и дает меру того, насколько далеко концентрация распространилась в $x-$ направлении за счет диффузии во времени $t$ (Bird, 1976).

В качестве быстрого приближения функции ошибок можно использовать первые 2 члена ряда Тейлора:

n\left(x,t\right)=n_{0}\left[1-2\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt\pi }}}}\right)\right]

Если $D$ зависит от времени, длина диффузии становится

2{\sqrt {\int _{0}^{t}D\tau \,d\tau }}.

.

Эта идея полезна для оценки длины диффузии в цикле нагрева и охлаждения, где $D$ изменяется в зависимости от температуры.

Пример решения 2: броуновская частица и среднеквадратичное смещение [ править ]

Другой простой случай диффузии - это броуновское движение одной частицы. Среднеквадратичное смещение частицы от ее исходного положения составляет:

${\text{MSD}}\equiv \langle (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{2}\rangle =2nDt$

где - размерность броуновского движения частицы. Например, диффузия молекулы через клеточную мембрану толщиной 8 нм представляет собой одномерную диффузию из-за сферической симметрии; Однако диффузия молекулы от мембраны к центру эукариотической клетки представляет собой трехмерную диффузию. Для цилиндрического кактуса диффузия от фотосинтетических клеток на его поверхности к его центру (оси его цилиндрической симметрии) является двумерной диффузией. $n$

Квадратный корень из MSD,, часто используется как характеристика того, как далеко переместилась частица по истечении времени. МСД симметрично распределен в одномерном, двухмерном и трехмерном пространстве. Таким образом, распределение вероятностей величины MSD в 1D является гауссовым, а в 3D - распределением Максвелла-Больцмана. ${\sqrt {2nDt}}$ $t$

Обобщения [ править ]

В неоднородных средах коэффициент диффузии изменяется в пространстве $D = D (x)$ . Эта зависимость не влияет на первый закон Фика, но меняется второй закон:

{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=D(x)\Delta \varphi (x,t)+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial D(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}

В анизотропных средах коэффициент диффузии зависит от направления. Это симметричный тензор $D = D ij$ . Первый закон Фика меняется на

J=-D\nabla \varphi

,

это произведение тензора и вектора:

J_{i}=-\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}.

Для уравнения диффузии эта формула дает

{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.

Симметричная матрица коэффициентов диффузии

D ij

должна быть положительно определенной . Это нужно, чтобы правая часть оператора была эллиптической .

Для неоднородных анизотропных сред эти две формы уравнения диффузии следует объединить в

{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i,j=1}^{3}\left(D_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial D_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}\right).

Подход, основанный на подвижности Эйнштейна и формуле Теорелла, дает следующее обобщение уравнения Фика для многокомпонентной диффузии совершенных компонентов:

{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j}\nabla \cdot \left(D_{ij}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{j}}}\nabla \,\varphi _{j}\right).

где

φ i

- концентрации компонентов, а

D ij

- матрица коэффициентов. Здесь индексы

i

и

j

относятся к различным компонентам, а не к пространственным координатам.

В формулах Чепмена-Энскога для диффузии в газах включают в себя одни и те же сроки. Эти физические модели диффузии отличаются от тестовых моделей $\partial t φ i = j D ij Δ φ j,$ которые действительны для очень малых отклонений от однородного равновесия. Ранее такие члены были введены в уравнение диффузии Максвелла – Стефана .

Для анизотропных многокомпонентных коэффициентов диффузии необходим тензор четвертого ранга, например $D ij, αβ$ , где $i, j$ относятся к компонентам, а $α, β = 1, 2, 3$ соответствуют пространственным координатам.

Приложения [ править ]

Уравнения, основанные на законе Фика, обычно используются для моделирования процессов переноса в пищевых продуктах, нейронах , биополимерах , фармацевтических препаратах , пористых почвах , динамике популяций , ядерных материалах, физике плазмы и процессах легирования полупроводников . Теория вольтамперометрических методов основана на решениях уравнения Фика. С другой стороны, в некоторых случаях «фикианское» описание неадекватно. Например, в науке о полимерах и пищевой промышленности требуется более общий подход для описания переноса компонентов в материалах, претерпевающих стеклование.. Еще одна общая структура - это диффузионные уравнения Максвелла – Стефана ^[8] многокомпонентного массопереноса , из которых можно получить закон Фика как предельный случай, когда смесь чрезвычайно разбавлена и все химические частицы взаимодействуют только с объемной смесью. а не с другими видами. Чтобы учесть присутствие нескольких видов в неразбавленной смеси, используются несколько вариаций уравнений Максвелла – Стефана. См. Также недиагональные связанные транспортные процессы ( отношение Онзагера ).

Течение Фика в жидкостях [ править ]

Когда две смешивающиеся жидкости контактируют и происходит диффузия, макроскопическая (или средняя) концентрация изменяется в соответствии с законом Фика. В мезоскопическом масштабе, то есть между макроскопическим масштабом, описываемым законом Фика, и молекулярным масштабом, где происходят случайные молекулярные блуждания , нельзя пренебрегать флуктуациями. Такие ситуации можно успешно моделировать с помощью флуктуирующей гидродинамики Ландау-Лифшица. В этой теоретической схеме диффузия обусловлена флуктуациями, размеры которых варьируются от молекулярного до макроскопического масштаба. ^[9]

В частности, флуктуирующие уравнения гидродинамики включают член Фика с заданным коэффициентом диффузии, а также уравнения гидродинамики и стохастические члены, описывающие флуктуации. При вычислении флуктуаций пертурбативным подходом приближение нулевого порядка является законом Фика. Первый порядок дает флуктуации, и получается, что флуктуации вносят вклад в диффузию. Это представляет собой своего рода тавтологию , поскольку явления, описываемые приближением более низкого порядка, являются результатом приближения более высокого порядка: эта проблема решается только путем перенормировки флуктуирующих уравнений гидродинамики.

Скорость сорбции и частота столкновений разбавленных растворенных веществ [ править ]

Схема молекулярной диффузии в растворе. Оранжевые точки - это молекулы растворенного вещества, молекулы растворителя не нарисованы, черная стрелка - это пример траектории случайного блуждания, а красная кривая - функция вероятности диффузионного гауссова уширения из закона диффузии Фика. ^[10]^{: Рис. 9}

Скорость адсорбции или абсорбции разбавленного растворенного вещества на поверхности или границе раздела в растворе (газе или жидкости) может быть рассчитана с использованием законов диффузии Фика. Накопленное количество молекул, адсорбированных на поверхности, выражается уравнением Ленгмюра-Шефера на кратковременном пределе путем интегрирования уравнения диффузии во времени: ^[11]

\Gamma =2AC{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}

где - площадь поверхности, - числовая концентрация молекулы в объеме раствора. $A$ $C$

Уравнение Ленгмюра-Шефера может быть расширено до уравнения Уорда-Торда, чтобы учесть «обратную диффузию» отклоненных молекул с поверхности: ^[12]

\Gamma =2AC{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}-A{\sqrt {\frac {D}{\pi }}}\int _{0}^{\sqrt {t}}{\frac {Cb(\tau )}{\sqrt {t-\tau }}}d\tau

где - объемная концентрация, - подповерхностная концентрация (которая является функцией времени в зависимости от модели реакции адсорбции) и является фиктивной переменной. $C$ $Cb$ $\tau$

В пределе ультракороткого времени, в порядке времени диффузии a ² / D , где a - радиус частицы, диффузия описывается уравнением Ланжевена . Со временем уравнение Ланжевена сливается с уравнением Стокса – Эйнштейна . Последнее подходит для состояния разбавленного раствора, в котором учитывается дальняя диффузия. Согласно теореме флуктуации-диссипации, основанной на уравнении Ланжевена в пределе длительного времени и когда частица значительно плотнее окружающей жидкости, зависящая от времени константа диффузии равна: ^[13]

D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})

где

k _B - постоянная Больцмана ;
Т - абсолютная температура .
μ - подвижность частицы в жидкости или газе, которую можно рассчитать с помощью соотношения Эйнштейна (кинетическая теория) .
m - масса частицы.
т время.

Для отдельной молекулы, такой как органические молекулы или биомолекулы (например, белки) в воде, экспоненциальный член пренебрежимо мал из-за небольшого произведения mμ в пикосекундной области.

Когда интересующей областью является размер молекулы (в частности, длинной цилиндрической молекулы, такой как ДНК), уравнение скорости адсорбции представляет собой частоту столкновения двух молекул в разбавленном растворе, при этом одна молекула имеет определенную сторону, а другая - не стерическую. зависимость, т. е. молекула (случайная ориентация) ударилась с одной стороны о другую. Константу диффузии необходимо обновить до относительной постоянной диффузии между двумя диффундирующими молекулами. Эта оценка особенно полезна при изучении взаимодействия между небольшой молекулой и более крупной молекулой, такой как белок. В эффективной константе диффузии преобладает меньшая, вместо нее можно использовать константу диффузии.

Вышеупомянутое уравнение скорости столкновения также полезно для прогнозирования кинетики самосборки молекул на поверхности. В объемном растворе молекулы ориентированы случайным образом. Предполагая, что 1/6 молекул имеет правильную ориентацию относительно участков связывания на поверхности, то есть 1/2 направления z в трех измерениях x, y, z, таким образом, интересующая концентрация составляет всего 1/6 от объемной концентрации. Поместив это значение в уравнение, вы сможете рассчитать теоретическую кинетическую кривую адсорбции с использованием модели адсорбции Ленгмюра . В более жесткой картине 1/6 можно заменить стерическим фактором геометрии привязки.

Биологическая перспектива [ править ]

Первый закон приводит к следующей формуле: ^[14]

{\text{flux}}={-P\left(c_{2}-c_{1}\right)}

в котором,

$P$ - проницаемость, экспериментально определенная « проводимость » мембраны для данного газа при данной температуре.
$c 2 - c 1$ - разница в концентрации газа через мембрану для направления потока (от $c 1$ до $c 2$ ).

Первый закон Фика также важен для уравнений переноса излучения. Однако в этом контексте он становится неточным, когда постоянная диффузии мала и излучение ограничивается скоростью света, а не сопротивлением материала, через который проходит излучение. В этой ситуации можно использовать ограничитель потока .

Скорость обмена газа через жидкую мембрану можно определить, используя этот закон вместе с законом Грэма .

В условиях разбавленного раствора, когда диффузия берет на себя управление, проницаемость мембраны, упомянутая в предыдущем разделе, может быть теоретически рассчитана для растворенного вещества с использованием уравнения, упомянутого в последнем разделе (используйте с особой осторожностью, поскольку уравнение выводится для плотных растворенных веществ, в то время как биологические молекулы не плотнее воды): ^[10]

P=2A_{p}\eta _{tm}{\sqrt {D/(\pi t)}}

где

$A_{P}$ - общая площадь пор на мембране (единица м ² ).
$\eta _{tm}$ трансмембранная эффективность (безразмерная), которую можно рассчитать по стохастической теории хроматографии .
D - постоянная диффузии растворенного вещества м ² с ^-1 .
t - единица времени с.
Концентрация c ₂ , c ₁ должна быть выражена в единицах моль м ⁻³ , поэтому единицей измерения потока становится моль с ⁻¹ .

Приложения для производства полупроводников [ править ]

Технологии изготовления интегральных схем , модельные процессы, такие как CVD, термическое окисление, влажное окисление, легирование и т. Д., Используют уравнения диффузии, полученные из закона Фика.

В некоторых случаях решения получают для граничных условий, таких как диффузия с постоянной концентрацией источника, ограниченная концентрация источника или диффузия по движущейся границе (когда глубина перехода продолжает перемещаться в подложку).

См. Также [ править ]

Диффузия
Осмос
Поток массы
Диффузия Максвелла – Стефана
Уравнение Черчилля – Бернштейна
Уравнение Нернста – Планка
Газообмен
Ложная диффузия
Адвекция

Заметки [ править ]

^ a b
* Фик, А. (1855). «Ueber Diffusion» . Annalen der Physik (на немецком языке). 94 (1): 59–86. Bibcode : 1855AnP ... 170 ... 59F . DOI : 10.1002 / andp.18551700105 .
- Фик, А. (1855). "V. О диффузии жидкости". Фил. Mag . 10 (63): 30–39. DOI : 10.1080 / 14786445508641925 .
^ Филибер, Жан (2005). «Полтора века распространения: Фик, Эйнштейн, до и после» (PDF) . Основы диффузии . 2 : 1.1–1.10. Архивировано из оригинального (PDF) 5 февраля 2009 года.
Перейти ↑ Vázquez, JL (2006). «Уравнение пористой среды». Математическая теория . Oxford Univ. Нажмите.
^ Горбань, АН ; Саргсян, HP; Вахаб, ГА (2011). «Квазихимические модели многокомпонентной нелинейной диффузии». Математическое моделирование природных явлений . 6 (5): 184–262. arXiv : 1012.2908 . DOI : 10.1051 / mmnp / 20116509 . S2CID 18961678 .
^ Аткинс, Питер; де Паула, Хулио (2006). Физическая химия для наук о жизни .
^ Конлиск, А. Терренс (2013). Основы микро- и нанофлюидики: с приложениями к биологическим и химическим наукам . Издательство Кембриджского университета. п. 43. ISBN 9780521881685.
Перейти ↑ Williams, FA (1985). «Приложение Е». Теория горения . Бенджамин / Каммингс.
^ Тейлор, Росс; Кришна, Р. (1993). «Многокомпонентный массообмен». Вайли. Cite journal requires |journal= (help)
^ Brogioli, D .; Вайлати, А. (2001). «Диффузионный массоперенос неравновесными колебаниями: пересмотр закона Фика». Phys. Rev. E . 63 (1–4): 012105. arXiv : cond-mat / 0006163 . Bibcode : 2001PhRvE..63a2105B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.012105 . PMID 11304296 . S2CID 1302913 .
^ а б Пайл, Джозеф Р .; Чен, Цзисинь (2 ноября 2017 г.). «Фотообесцвечивание YOYO-1 при визуализации единичной флуоресценции ДНК со сверхвысоким разрешением» . Бейльштейнский журнал нанотехнологий . 8 : 2292–2306. DOI : 10.3762 / bjnano.8.229 . PMC 5687005 . PMID 29181286 .
^ Langmuir, I .; Шефер, VJ (1937). «Влияние растворенных солей на нерастворимые монослои». Журнал Американского химического общества . 29 (11): 2400–2414. DOI : 10.1021 / ja01290a091 .
^ Уорд, AFH; Тордай, Л. (1946). «Временная зависимость граничных напряжений решений I. Роль диффузии во временных эффектах». Журнал химической физики . 14 (7): 453–461. DOI : 10.1063 / 1.1724167 .
^ Бянь, Синь; Ким, Чанхо; Карниадакис, Джордж Эм (14 августа 2016 г.). «111 лет броуновского движения» . Мягкая материя . 12 (30): 6331–6346. Bibcode : 2016SMat ... 12.6331B . DOI : 10.1039 / c6sm01153e . PMC 5476231 . PMID 27396746 .
^ Носек, Томас М. «Раздел 3 / 3ч9 / с3ч9_2» . Основы физиологии человека . Архивировано из оригинального 24 марта 2016 года.

Ссылки [ править ]

Смит, У.Ф. (2004). Основы материаловедения и инженерии (3-е изд.). Макгроу-Хилл.
Берг, ХК (1977). Случайные блуждания в биологии . Принстон.
Птица, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (1976). Явления переноса . Джон Вили и сыновья.
Крэнк, Дж. (1980). Математика диффузии . Издательство Оксфордского университета.
Бокштейн Б.С.; Менделев М.И.; Сроловиц, диджей, ред. (2005). Термодинамика и кинетика в материаловедении: краткий курс . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 167 -171.
Фик, А. (1855). «О жидкостной диффузии». Annalen der Physik und Chemie . 94 : 59.- перепечатано в Fick, Adolph (1995). «О жидкостной диффузии». Журнал мембрановедения . 100 : 33–38. DOI : 10.1016 / 0376-7388 (94) 00230-V .

Внешние ссылки [ править ]

Уравнения Фика, преобразование Больцмана и т. Д. (С фигурами и анимацией)
Второй закон Фика об OpenStax

[:0-1] * Фик, А. (1855). «Ueber Diffusion» . Annalen der Physik (на немецком языке). 94 (1): 59–86. Bibcode : 1855AnP ... 170 ... 59F . DOI : 10.1002 / andp.18551700105 .
Фик, А. (1855). "V. О диффузии жидкости". Фил. Mag . 10 (63): 30–39. DOI : 10.1080 / 14786445508641925 .

[2] Фик, А. (1855). "V. О диффузии жидкости". Фил. Mag . 10 (63): 30–39. DOI : 10.1080 / 14786445508641925 .

[2] Филибер, Жан (2005). «Полтора века распространения: Фик, Эйнштейн, до и после» (PDF) . Основы диффузии . 2 : 1.1–1.10. Архивировано из оригинального (PDF) 5 февраля 2009 года.

[3] Перейти ↑ Vázquez, JL (2006). «Уравнение пористой среды». Математическая теория . Oxford Univ. Нажмите.

[GorbanMMNP2011-4] Горбань, АН ; Саргсян, HP; Вахаб, ГА (2011). «Квазихимические модели многокомпонентной нелинейной диффузии». Математическое моделирование природных явлений . 6 (5): 184–262. arXiv : 1012.2908 . DOI : 10.1051 / mmnp / 20116509 . S2CID 18961678 .

[5] Аткинс, Питер; де Паула, Хулио (2006). Физическая химия для наук о жизни .

[6] Конлиск, А. Терренс (2013). Основы микро- и нанофлюидики: с приложениями к биологическим и химическим наукам . Издательство Кембриджского университета. п. 43. ISBN 9780521881685.

[7] Перейти ↑ Williams, FA (1985). «Приложение Е». Теория горения . Бенджамин / Каммингс.

[8] Тейлор, Росс; Кришна, Р. (1993). «Многокомпонентный массообмен». Вайли. Cite journal requires |journal= (help)

[9] Brogioli, D .; Вайлати, А. (2001). «Диффузионный массоперенос неравновесными колебаниями: пересмотр закона Фика». Phys. Rev. E . 63 (1–4): 012105. arXiv : cond-mat / 0006163 . Bibcode : 2001PhRvE..63a2105B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.012105 . PMID 11304296 . S2CID 1302913 .

[Pyle-BJNano-10] а б Пайл, Джозеф Р .; Чен, Цзисинь (2 ноября 2017 г.). «Фотообесцвечивание YOYO-1 при визуализации единичной флуоресценции ДНК со сверхвысоким разрешением» . Бейльштейнский журнал нанотехнологий . 8 : 2292–2306. DOI : 10.3762 / bjnano.8.229 . PMC 5687005 . PMID 29181286 .

[11] Langmuir, I .; Шефер, VJ (1937). «Влияние растворенных солей на нерастворимые монослои». Журнал Американского химического общества . 29 (11): 2400–2414. DOI : 10.1021 / ja01290a091 .

[12] Уорд, AFH; Тордай, Л. (1946). «Временная зависимость граничных напряжений решений I. Роль диффузии во временных эффектах». Журнал химической физики . 14 (7): 453–461. DOI : 10.1063 / 1.1724167 .

[13] Бянь, Синь; Ким, Чанхо; Карниадакис, Джордж Эм (14 августа 2016 г.). «111 лет броуновского движения» . Мягкая материя . 12 (30): 6331–6346. Bibcode : 2016SMat ... 12.6331B . DOI : 10.1039 / c6sm01153e . PMC 5476231 . PMID 27396746 .

[14] Носек, Томас М. «Раздел 3 / 3ч9 / с3ч9_2» . Основы физиологии человека . Архивировано из оригинального 24 марта 2016 года.

[1]