Снижение точности (навигация)

Понижение точности ( DOP ) или геометрическое снижение точности ( GDOP ) - это термин, используемый в спутниковой навигации и геоматике для определения распространения ошибки как математического воздействия геометрии навигационного спутника на точность позиционных измерений.

Понимание геометрического снижения точности (GDOP) на простом примере. В A кто-то измерил расстояние до двух ориентиров и нанес их точку как пересечение двух окружностей с измеренным радиусом. В B измерения имеют некоторые пределы погрешности, и их истинное местоположение будет находиться где-нибудь в зеленой зоне. В C ошибка измерения такая же, но погрешность их положения значительно выросла из-за расположения ориентиров.

Навигационные спутники с плохой геометрией для геометрического снижения точности (GDOP).

Навигационные спутники с хорошей геометрией для геометрического снижения точности (GDOP).

Введение [ править ]

Концепция снижения точности (DOP) возникла у пользователей навигационной системы Loran-C . ^[1] Идея геометрического DOP состоит в том, чтобы указать, как ошибки измерения повлияют на окончательную оценку состояния. Это можно определить как: ^[2]

${\ displaystyle GDOP = {\ frac {\ Delta ({\ rm {Output \ Location}})} {\ Delta ({\ rm {Измерено \ Data}})}}}$

Концептуально вы можете геометрически представить ошибки измерения, приводящие к изменению члена. В идеале небольшие изменения в измеренных данных не приведут к большим изменениям в местоположении выхода. Противоположностью этому идеалу является ситуация, когда решение очень чувствительно к ошибкам измерения. Интерпретация этой формулы показана на рисунке справа, где показаны два возможных сценария с приемлемым и плохим GDOP.${\ Displaystyle \ Delta ({\ rm {Измерено \ Data}})}$

В последнее время этот термин стал использоваться гораздо шире с развитием и внедрением GPS. Без учета ионосферных ^[3] и тропосферных ^[4] эффектов сигнал от навигационных спутников имеет фиксированную точность. Следовательно, относительная геометрия спутникового приемника играет важную роль в определении точности предполагаемых местоположений и времени. Из - за относительную геометрию любого данного спутника к приемнику, точность в псевдодальности спутника переводит к соответствующему компоненту в каждом из четырех измерений положения измеренных приемника (т.е. , , , и${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$). Точность нескольких спутников в поле зрения приемника складывается в соответствии с относительным положением спутников для определения уровня точности в каждом измерении приемника. Когда видимые навигационные спутники находятся близко друг к другу в небе, говорят, что геометрия слабая, а значение DOP высокое; когда они далеко друг от друга, геометрия сильная, а значение DOP низкое. Рассмотрим два перекрывающихся кольца или кольца., разных центров. Если они перекрываются под прямым углом, наибольшая степень перекрытия намного меньше, чем если бы они перекрывались почти параллельно. Таким образом, низкое значение DOP представляет лучшую точность позиционирования из-за более широкого углового разнесения между спутниками, используемыми для расчета местоположения объекта. Другими факторами, которые могут увеличить эффективный DOP, являются препятствия, такие как близлежащие горы или здания.

DOP можно выразить как несколько отдельных измерений:

• HDOP - горизонтальное снижение точности
• VDOP - вертикальное снижение точности
• PDOP - позиционное (3D) снижение точности
• TDOP - снижение точности со временем
• GDOP - геометрическое снижение точности

Эти значения математически следуют из положений используемых спутников. Приемники сигналов позволяют отображать эти положения ( небесную диаграмму ), а также значения DOP.

Этот термин также может применяться к другим системам определения местоположения, которые используют несколько географически разнесенных сайтов. Это может происходить в средствах электронного противодействия (радиоэлектронная борьба) при вычислении местоположения источников излучения противника (глушителей радаров и устройств радиосвязи). Использование такой техники интерферометрии может обеспечить определенную геометрическую схему, где есть степени свободы, которые нельзя учесть из-за неадекватных конфигураций.

Влияние геометрии спутников на ошибку местоположения называется геометрическим снижением точности (GDOP) и примерно интерпретируется как отношение ошибки местоположения к ошибке дальности. Представьте, что квадратная пирамида образована линиями, соединяющими четыре спутника с приемником на вершине пирамиды. Чем больше объем пирамиды, тем лучше (меньше) значение GDOP; чем меньше его объем, тем хуже (выше) будет значение GDOP. Аналогично, чем больше количество спутников, тем лучше значение GDOP.

Значение DOP ^{[ необходима ссылка ]} [ редактировать ]

Коэффициенты DOP являются функциями диагональных элементов ковариационной матрицы параметров, выраженных либо в глобальной, либо в локальной геодезической системе координат.

Вычисление значений DOP [ править ]

В качестве первого шага в вычислении DOP рассмотрим единичные векторы от приемника до спутника i: где и где и обозначим положение приемника, а и обозначим положение спутника i. Сформулируйте матрицу A, которая (для 4 уравнений невязки измерения дальности):${\displaystyle \left({\frac {(x_{i}-x)}{R_{i}}},{\frac {(y_{i}-y)}{R_{i}}},{\frac {(z_{i}-z)}{R_{i}}}\right)}$${\displaystyle R_{i}={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{i},y_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {(x_{1}-x)}{R_{1}}}&{\frac {(y_{1}-y)}{R_{1}}}&{\frac {(z_{1}-z)}{R_{1}}}&-1\\{\frac {(x_{2}-x)}{R_{2}}}&{\frac {(y_{2}-y)}{R_{2}}}&{\frac {(z_{2}-z)}{R_{2}}}&-1\\{\frac {(x_{3}-x)}{R_{3}}}&{\frac {(y_{3}-y)}{R_{3}}}&{\frac {(z_{3}-z)}{R_{3}}}&-1\\{\frac {(x_{4}-x)}{R_{4}}}&{\frac {(y_{4}-y)}{R_{4}}}&{\frac {(z_{4}-z)}{R_{4}}}&-1\end{bmatrix}}}$

Первые три элемента каждой строки A являются компонентами единичного вектора от приемника до указанного спутника. Если элементы в четвертом столбце - это c, что обозначает скорость света, тогда коэффициент (временное разбавление) всегда равен 1. Если элементы в четвертом столбце равны -1, то коэффициент рассчитывается правильно. ^[5] Сформулируйте матрицу Q как:${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle Q=\left(A^{T}A\right)^{-1}}$

В общем случае : где -якобиан измерительных датчиков остаточных уравнений , относительно неизвестных, ; - якобиан остаточных уравнений измерения датчика относительно измеряемых величин ; - корреляционная матрица для шума в измеряемых величинах. Для предыдущего случая 4 диапазона измерения остаточных уравнений: , , , , , , , и шумы измерения для различного были предполагаются независимыми , что делает . Эта формула для Q является результатом применения наилучшей линейной несмещенной оценки${\displaystyle Q=(J_{x}^{T}(J_{d}C_{d}J_{d}^{T})^{-1}J_{x})^{-1}}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle f_{i}({\underline {x}},{\underline {d}})=0}$${\displaystyle {\underline {x}}}$${\displaystyle J_{d}}$${\displaystyle {\underline {d}}}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{T}}$${\displaystyle {\underline {d}}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})^{T}}$${\displaystyle \tau =ct}$${\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}$${\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$${\displaystyle f_{i}({\underline {x}},{\underline {d}})={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$${\displaystyle J_{x}=A}$${\displaystyle J_{d}=-I}$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle C_{d}=I}$к линеаризованной версии остаточных уравнений измерения датчика относительно текущего решения , за исключением случая, когда СИНИЙ - это ковариационная матрица шума, а не корреляционная матрица шума, используемая в DOP, и причина, по которой DOP делает эту замену, заключается в получении относительной ошибки. Когда - матрица ковариации шума, - это оценка матрицы ковариации шума в неизвестных из-за шума в измеряемых величинах. Это оценка, полученная вторым моментом первого порядка.${\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*(J_{x}^{T}(J_{d}C_{d}J_{d}^{T})^{-1}f)}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle Q}$(FOSM) метод количественной оценки неопределенности, который был современным в 1980-х годах. Чтобы теория FOSM была строго применимой, либо распределения входного шума должны быть гауссовыми, либо стандартные отклонения шума измерения должны быть небольшими относительно скорости изменения выходного сигнала вблизи решения. В этом контексте обычно удовлетворяется второй критерий.

Это вычисление (т. Е. Для 4 остаточных уравнений измерения диапазона) выполняется в соответствии с ^[6], где весовая матрица установлена ​​равной единичной матрице.${\displaystyle P=(J_{d}C_{d}J_{d}^{T})^{-1}}$

Элементы Q обозначаются как:

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$

PDOP, TDOP и GDOP определяются по:

${\displaystyle {\begin{aligned}PDOP&={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\TDOP&={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\GDOP&={\sqrt {PDOP^{2}+TDOP^{2}}}\\\end{aligned}}}$

в соответствии с Разделом 1.4.9 Принципов спутникового позиционирования . В более общем смысле GDOP - это квадратный корень из следа матрицы.${\displaystyle Q}$

Как уменьшение точности по горизонтали, так и снижение точности по вертикали , зависят от используемой системы координат. Чтобы соответствовать плоскости местного горизонта и местной вертикали, x , y и z должны обозначать положения в системе координат север, восток, вниз или в системе координат восток, север, вверх.${\displaystyle \scriptstyle HDOP={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}}}}$${\displaystyle \scriptstyle \ VDOP={\sqrt {\sigma _{z}^{2}}}}$

См. Также [ править ]

• Вероятна круговая ошибка

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Факторы DOP
• Написание собственных приложений GPS: Часть 2 - Причины ошибок точности
• вычисление GDOP вручную
• ОШИБКИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ HDOP И GPS

• Статья о DOP и программе Trimble: Определение влияния геометрии местного спутника GPS на точность определения местоположения .
• Примечания и изображение в формате GIF при вычислении GDOP вручную: Geographer's Craft
• Ошибки GPS и оценка точности вашего приемника: веб-страница Сэма Уормли о точности GPS
• Точность, ошибки и точность GPS : Radio-Electronics.com