В теории вероятностей , то Дуб-Дынкин лемма , названная в честь Джозефа Л. Дуба и Дынкина , характеризует ситуацию , когда одна случайная величины является функцией другого по включению из-алгебры, порожденные случайными величинами. Обычная формулировка леммы формулируется в терминах одной случайной величины, измеримой относительно-алгебра, порожденная другим.
Лемма играет важную роль в условном математическом ожидании в теории вероятностей, где она позволяет заменить условие на случайную величину условием на условие-алгебра , порожденная случайной величиной.
Обозначения и вводные замечания
В лемме ниже - это расширенная линия действительных чисел , а это -алгебра борелевских множеств на Обозначение указывает, что это функция от к и это измеримо относительно -алгебры а также
Кроме того, если а также является измеримым пространством , мы определяем
Легко проверить, что минимальный -алгебра на под которым измеримо, т. е.
Утверждение леммы
Позволять быть функцией из множества в измеримое пространство а также является -измеримый. Далее, пусть - скалярная функция на . потом является -измеримым тогда и только тогда, когда для некоторой измеримой функции
Примечание. Часть «если» просто заявляет, что композиция двух измеримых функций измерима. Часть «только если» доказана ниже.
Доказательство. |
Позволять быть -измеримый. Шаг 1: предположим, что является функцией простой , т.е. для некоторых непустых попарно непересекающихся множеств из Если тогда функция соответствует требованиям. Шаг 2: если , тогда поточечный предел неубывающей последовательности простых функций (см. статью о простых функциях для доказательства). Шаг 1 гарантирует, что Это равенство, в свою очередь, означает, что последовательность не убывает, пока так что функция корректно определено (конечное или бесконечное) для каждого Как поточечный предел измеримой -значные функции, само по себе измеримо (см. статью об измеримых функциях ). Определять Измеримость основан на предположении, что Таким образом, соответствует требованиям. Шаг 3: каждая измеримая функция разница его положительной и отрицательной частей, т.е. где оба а также измеримы и неотрицательны. Шаг 2 гарантирует, что а также Определять Поскольку невозможно, чтобы а также для того же равенство никогда не выполняется, и, следовательно, хорошо определено. Являясь разницей двух измеримых функций, также измеримо. С измеримо, так же Таким образом, соответствует требованиям. |
По определению, существование - измеримый такой же, как для каждого набора Бореля , что совпадает с . Итак, лемму можно переписать в следующей эквивалентной форме.
Лемма. Позволять а также быть как указано выше. потом для некоторой борелевской функции если и только если .
Смотрите также
Рекомендации
- А. Бобровски: Функциональный анализ вероятностных и случайных процессов: введение , Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
- М. М. Рао, Р. Дж. Свифт: теория вероятностей с приложениями , математикой и ее приложениями, т. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7 дои : 10.1007 / 0-387-27731-5