В математике , особенно в многомерной алгебре и теории гомотопий , двойной группоид обобщает понятие группоида и категории на более высокую размерность.
Определение
Двойной группоидом D является многомерным группоидом с участием отношения для обоих `горизонтальных«и 'вертикальных»группоид структур. [1] (Двойной группоид также можно рассматривать как обобщение некоторых многомерных групп. [2] ) Геометрия квадратов и их композиций приводит к общему представлению двойного группоида на следующей диаграмме :
где M - набор «точек», H и V - соответственно «горизонтальный» и «вертикальный» группоиды, а S - набор «квадратов» с двумя композициями. В законах композиции для двойной группоиде D сделать это также описываться как группоид внутренних по отношению к категории группоидов .
Для двух группоидов H и V над множеством M существует двойной группоидс H, V как горизонтальные и вертикальные группоиды ребер и квадраты, заданные четверками
для которого всегда предполагается, что h, h 'находятся в H, а v, v' находятся в V , и что начальная и конечная точки этих ребер совпадают в M, как указано в обозначениях; это, например, sh = sv, th = sv ', ... и т. д. Композиции должны быть унаследованы от композиций H, V ; это:
а также
Эта конструкция является правильным , сопряженный к забывания функтор , который принимает двойной группоид , как указано выше, к паре группоидов H, V над M .
Другие связанные конструкции - это конструкция двойного группоида со связностью [3] и гомотопические двойные группоиды. [4] Гомотопический двойной группоид пары точечных пространств является ключевым элементом доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, впервые доказанной Брауном и Хиггинсом в 1978 г. [5] и получившей обширное рассмотрение в книга. [6]
Примеры
Простой класс примеров можно приготовить, рассматривая скрещенные модули или, что то же самое, данные морфизма групп.
который имеет эквивалентное описание как группоид, внутренний по отношению к категории групп
где
- структурные морфизмы этого группоида. Поскольку группы встраиваются в категорию группоидов, отправляющих группу в категорию с одним объектом и морфизмами, дающими группу , структура выше дает двойной группоид. Приведем явный пример: из расширения группы
и встраивание , существует ассоциированный двойной группоид из двухчленного комплекса групп
с ядром а коядро дается выражением . Это дает связанный гомотопический тип [7] с
а также
Его постниковский инвариант определяется классомв группе когомологий группы. Поскольку это нетривиальный скрещенный модуль, его инвариант постникова равен, Давая гомотопический тип , который не является эквивалентным геометрической реализацией в виде симплициальной абелевой группы .
Гомотопический двойной группоид
Обобщение фундаментального группоида на множестве базисов до размерности 2 было дано Брауном и Хиггинсом в 1978 г. следующим образом. Позволять - тройка пространств, т. е. . Определятькак множество гомотопических классов REL вершин отображений квадрата на X , которые принимают ребро Into A и вершину Into С . Не совсем тривиально доказать, что естественные композиции таких квадратов в двух направлениях наследуются этими гомотопическими классами, давая двойной группоид, который также имеет дополнительную структуру так называемых связей, необходимых для обсуждения идеи коммутативного куба в пространстве. двойной группоид. Этот двойной группоид существенно используется для доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, которая дает новую информацию и вычисления для вторых относительных гомотопических групп как часть скрещенного модуля. Для получения дополнительной информации см. Часть I книги Брауна, Хиггинса, Сиверы, указанную ниже.
Сверточная алгебра
Свертка С * -алгебра двойного группоиде также могут быть построены с использованием квадратной диаграммы D двойного группоиде. [8]
Категория двойных группоидов
Категория , объекты которой двойные группоиды и чьи морфизмы двойных группоида гомоморфизмов , которые являются двойным группоидом диаграммы ( D ) функторы называются двойной группоид категории , или категория двойных группоидов .
Смотрите также
Заметки
- ^ Браун, Рональд и CB Спенсер: «Двойные группоиды и скрещенные модули», Cahiers Top. Геом. Diff. . 17 (1976), 343–362
- ^ Браун, Рональд, Теория многомерных групп. Архивировано 23июля2012 г. в archive.today, объясняет, как концепция группоидов привела к многомерным гомотопическим группоидам, имеющим приложения в теории гомотопий и в групповых когомологиях.
- ^ http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html [ постоянная мертвая ссылка ] Двойной группоид с подключением
- ^ Браун, Р., Харди, К., Кампс, Х. и Т. Портер: 2002, "Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства", Теория и приложения категорий : 10 , 71–93
- ^ Браун, Р. и Хиггинс, П. Дж. "О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств". _Proc. Лондонская математика. Soc._ (3) (36) (1978) 193–212
- ^ Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды " , EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 страницы. (Август 2011).
- ^ Сегарра, Антонио М .; Heredia, Benjamín A .; Ремедиос, Хосуэ (19 марта 2010 г.). «Двойные группоиды и гомотопические 2-типы». arXiv : 1003.3820 [ math.AT ].
- ^ http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidGeometry.html [ постоянная мертвая ссылка ] Двойная группоидная геометрия
Эта статья включает в себя материал из алгебры более высоких измерений на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Рекомендации
- Браун, Рональд и CB Спенсер: « Двойные группоиды и скрещенные модули », Cahiers Top. Геом. Diff. . 17 (1976), 343–362.
- Браун, Р., Харди, К., Кампс, Х. и Т. Портер: 2002, «Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства». Теория и приложения категорий: 10,71–93
- Браун, Рональд, 1987, " От групп к группоидам: краткий обзор ", Bull. Лондонская математика. Soc. 19 : 113–34. Обзор истории группоидов до 1987 г., начиная с работ Брандта о квадратичных формах. В загружаемой версии обновлено множество ссылок.
- Браун, Рональд, 2006. Топология и группоиды. Книжный цех. Пересмотренное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды вводятся в контексте их топологического применения.
- Браун, Рональд, многомерная теория групп . Объясняет, как концепция группоидов привела к многомерным гомотопическим группоидам, имеющим приложения в теории гомотопий и когомологиях групп .
- Ф. Борсё, Г. Джанелидзе, 2001, теории Галуа. Cambridge Univ. Нажмите. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа .
- Каннас да Силва, А. , и А. Вайнштейн , геометрические модели для некоммутативных алгебр. Особенно Часть VI.
- Голубицкий, М. , Ян Стюарт , 2006, " Нелинейная динамика сетей: формализм группоидов ", Бюл. Амер. Математика. Soc. 43 : 305–64
- Хиггинс, П. Дж., "Фундаментальный группоид графа групп ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
- Хиггинс П.Дж. и Тейлор Дж. "Фундаментальный группоид и гомотопический скрещенный комплекс пространства орбит " в теории категорий (Гуммерсбах, 1981), конспект лекций по математике, том 962. Springer, Berlin (1982), 115 –122.
- Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Заметки Ван Ностранда по математике. Переиздано в « Перепечатках» в «Теории и применениях категорий» , № 7 (2005), стр. 1–195; свободно скачиваемый . Существенное введение в теорию категорий с особым упором на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, для обобщения теоремы Грушко , и в топологии, например, в фундаментальном группоиде .
- http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html [ постоянная мертвая ссылка ] «Двойной группоид с подключением».
- Вайнштейн, Алан, « Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии - экскурсия по некоторым примерам». Также доступно в Postscript. , Уведомления AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.